Equação de Bateman
Em física nuclear , a equação de Bateman é um modelo matemático que descreve as abundâncias e atividades em uma cadeia de decaimento em função do tempo, com base na taxa de decaimento e nas abundâncias iniciais.
Se, no instante t, houver átomos do isótopo que decaem em isótopos na taxa , as quantidades desses isótopos na k-ésima etapa da cadeia de decaimento evoluem como:
NÃOeu(t){\ displaystyle N_ {i} (t)}eu{\ displaystyle i}eu+1{\ displaystyle i + 1}λeu{\ displaystyle \ lambda _ {i}}
dNÃO1(t)dt=-λ1NÃO1(t){\ displaystyle {\ frac {dN_ {1} (t)} {dt}} = - \ lambda _ {1} N_ {1} (t)}
dNÃOeu(t)dt=-λeuNÃOeu(t)+λeu-1NÃOeu-1(t){\ displaystyle {\ frac {dN_ {i} (t)} {dt}} = - \ lambda _ {i} N_ {i} (t) + \ lambda _ {i-1} N_ {i-1} ( t)}
dNÃOk(t)dt=λk-1NÃOk-1(t){\ displaystyle {\ frac {dN_ {k} (t)} {dt}} = \ lambda _ {k-1} N_ {k-1} (t)}
(pode ser adaptado para acomodar ramais). Embora isso possa ser resolvido explicitamente , as fórmulas rapidamente se tornam complicadas para strings mais longas.
eu=2{\ displaystyle i = 2}
Harry Bateman encontrou uma fórmula geral explícita para quantidades tomando a transformada de Laplace dessas variáveis.
NÃOnão(t)=∑eu=1não[NÃOeu(0)×(∏j=eunão-1λj)×(∑j=eunão(e-λjt∏p=eu,p≠jnão(λp-λj)))]{\ displaystyle N_ {n} (t) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left [N_ {i} (0) \ times \ left (\ prod _ {j = i} ^ {n- 1} \ lambda _ {j} \ right) \ times \ left (\ sum _ {j = i} ^ {n} \ left ({\ frac {e ^ {- \ lambda _ {j} t}} {\ prod _ {p = i, p \ neq j} ^ {n} (\ lambda _ {p} - \ lambda _ {j})}} \ right) \ right) \ right]}(é possível expandi-lo com termos de origem, se mais átomos do isótopo forem fornecidos de fora a uma taxa constante).
eu{\ displaystyle i}
Embora a fórmula de Bateman possa ser facilmente implementada em código de computador, se para alguns pares de isótopos o cancelamento pode levar a erros de cálculo. Portanto, outros métodos, como integração numérica ou o método da matriz exponencial, também são usados.
λp≈λj{\ displaystyle \ lambda _ {p} \ approx \ lambda _ {j}}
Veja também
Referências
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(in) Harry Bateman , " Solução de um Sistema de Equações Diferenciais que Ocorrem na Teoria das Transformações Radioativas " , Proc. Camb. Phil. Soc. , vol. 16,1910, p. 423 ( ler online )
-
(em) " Decaimento radioativo e a equação de Bateman " ,19 de janeiro de 2011(acessado em 11 de maio de 2016 ) , p. 24
-
(em) " Cadeias de deterioração radioativa " em nucleonica.com
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(em) Logan J. Harr , " Precise Calculation of Complex Radioactive Decay Chains " , tese de M.Sc Air Force Institute of Technology ,2007( leia online , consultado em 11 de maio de 2016 )
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