Equação de Darcy-Klinkenberg

A equação de Darcy-Klinkenberg descreve a permeação do gás em um meio poroso em regime rarefeito, ou seja, quando o caminho livre médio no gás é da mesma ordem de magnitude que o tamanho característico dos poros. Foi estabelecido pela primeira vez por LJ Klinkenberg em um ambiente restrito onde os efeitos de rarefação são fracos, usando uma abordagem fenomenológica baseada na experiência. Os efeitos foram então estabelecidos pela teoria, primeiro pelo método do "gás empoeirado" baseado no método Chapman-Enskog aplicado a um meio homogêneo no qual uma das espécies (o sólido) tem uma grande massa que o faz ficar parado. Hoje em dia os métodos de homogeneização das equações cinéticas permitem obter resultados rigorosos que são limitados apenas pelo conhecimento da interação gás-sólido ao nível microscópico. A lei resultante desta análise é chamada de lei de Darcy-Klinkenberg por extensão do domínio.

Problema geral do ambiente rarefeito

Vamos nos colocar no caso de um gás simples: uma única espécie sem grau de liberdade interno como os gases raros. Definimos um número de poro de Knudsen por:

{\ displaystyle Kn = {\ frac {l} {d}}}

l é o caminho livre médio no gás,
$d$ o tamanho de poro característico.

A lei do fluxo de um gás simples em um meio poroso em regime rarefeito é obtida pela mudança de escala da descrição cinética (nível microscópico no poro) para uma descrição macroscópica. A análise revela uma lei do tipo Darcy que dá o fluxo:

{\ displaystyle \ mathbf {q} = \ rho \ mathbf {V} = - {\ mathcal {D}} \ nabla \ rho - {\ mathcal {D}} ^ {T} {\ frac {\ nabla T} { T}}}

${\ mathbf {q}}$ é o fluxo de massa,
$\ rho$ a densidade do gás,
${\ displaystyle \ mathbf {V}}$ sua velocidade média no poroso,
$T$ temperatura,
${\ displaystyle {\ mathcal {D}} \, (\ rho, T)}$ o coeficiente de difusão por gradiente de concentração,
${\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {T} (\ rho, T)}$ o coeficiente de difusão do gradiente térmico (apesar do nome, não é um coeficiente de difusão).

Podemos reescrever esta equação de uma forma diferente usando a lei dos gases ideais :

{\ displaystyle \ mathbf {q} = - \ rho {\ mathcal {D}} \ left [{\ frac {\ nabla p} {p}} + \ left ({\ frac {{\ mathcal {D}} ^ {T}} {\ rho {\ mathcal {D}}}} - 1 \ direita) {\ frac {\ nabla T} {T}} \ direita]}

{\ displaystyle {\ frac {{\ mathcal {D}} ^ {T}} {\ rho {\ mathcal {D}}}}}

é chamado de coeficiente de transpiração térmica. Varia de 0,5 em regime balístico (sem colisão entre partículas) a 1 para regime contínuo (ver curva). A equação obtida neste último caso é a equação de Darcy com uma permeabilidade onde é a viscosidade dinâmica .

{\ displaystyle K = {\ frac {\ mu {\ mathcal {D}}} {p}}}

\ mu

Equação de Klinkenberg

Quando o meio pode ser considerado contínuo com exceção da região próxima à parede chamada de camada de Knudsen, uma simples correção da permeabilidade pode ser usada para levar em consideração o "deslizamento" do gás na parede. Klinkenberg deu uma correção da permeabilidade estabelecida em uma montagem de tubos cilíndricos paralelos:

{\ displaystyle K = K_ {0} \, \ left (1+ \ alpha Kn \ right)}

A partir de um certo número de experimentos, ele mostrou que podemos abordar o termo corretivo por uma relação do tipo:

{\ displaystyle \ alpha Kn \ simeq {\ frac {\ beta} {p}}}

Curiosamente, a permeabilidade de alta pressão é comparada à de um líquido inerte usado nesses experimentos. Não há justificativa teórica para essa identificação, que, entretanto, parece bastante comprovada. $K_ {0}$

Referências

(in) Klinkenberg, LJ, The permeability of Porous Media to Liquids and Gases , Drilling and Production Practice, American Petroleum Institute, 1941, pp. 200-213
(in) EA Mason, AP Malinauskas, Gas Transport in Porous Media: the Dusty-Gas Model , Chemical Engineering Monographs, Elsevier, 1983 ( ISBN 0-444-42190-4 )
(in) GL Vignoles, P. Charrier, Ch Preux, B. Dubroca, Rarefied Pure Gas Transport in Non-isothermal Porous Media: Effective Transport Properties from Homogenization of the Kinetic Equation , Transport in Porous Media, Vol. 73, nº 2, junho de 2008, pp. 211-232 [1]