Equação de Fokker-Planck

A equação de Fokker-Planck ( equação de Fokker-Planck ou FPE ) é uma equação diferencial parcial linear que deve satisfazer a densidade de probabilidade de transição de um processo de Markov . Originalmente, uma forma simplificada dessa equação tornou possível estudar o movimento browniano . Como a maioria das equações diferenciais parciais, ele só dá soluções explícitas em casos muito específicos relacionados tanto à forma da equação quanto à forma do domínio em que ela é estudada (refletindo ou absorvendo as condições para as partículas brownianas e a forma do espaço em que eles estão confinados, por exemplo). É nomeado em homenagem a Adriaan Fokker e Max Planck , os primeiros físicos a propô-lo.

Equação

Essa equação diz respeito a um processo de Markov , um processo estocástico que possui a propriedade markoviana : a probabilidade de surgimento de um estado do sistema em um dado instante depende apenas de sua história mais recente. Assim, o processo é caracterizado por uma probabilidade de transição entre dois estados acompanhada por uma condição inicial.

Para evitar inconsistências, a probabilidade de transição deve satisfazer uma condição de compatibilidade que é expressa por uma equação integral chamada equação de Chapman - Kolmogorov - Smoluchowski. Isso significa que, dados três estados sucessivos, a transição do estado 1 para o estado 3 é obtida fazendo a transição de 1 para 2, então a transição de 2 para 3. Se o processo for estacionário, a densidade de probabilidade do processo é obtida esticando a duração da transição ao infinito.

A equação integral é transformada em uma equação diferencial parcial de acordo com um método definido por Wang e Uhlenbeck. A equação apresentada a seguir, limitada à segunda ordem, não é a mais geral.

Em uma dimensão, a equação de Fokker Planck com um coeficiente de difusão D 2 ( x , t ) e a tendência (uma deriva) D 1 ( x , t ) é escrita:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} P (x, t) = - {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left [D_ {1} (x, t) P (x, t) \ right] + {1 \ over 2} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} \ left [D_ {2} (x, t) P ( x, t) \ right].}

P é a probabilidade de encontrar a partícula no ponto xe no tempo t.

No caso mais geral com N variáveis, a densidade de probabilidade conjunta satisfaz a equação:

{\ frac {\ partial f} {\ partial t}} = - \ sum _ {{i = 1}} ^ {{N}} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} \ left [D_ {i} ^ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {N}) f \ right] + {1 \ over 2} \ sum _ {{i = 1}} ^ {{N}} \ sum _ {{j = 1}} ^ {{N}} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x_ {i} \, \ parcial x_ {j}}} \ left [D _ { {ij}} ^ {2} (x_ {1}, \ ldots, x_ {N}) f \ right],

onde está o vetor de deriva e o tensor de difusão. $D ^ {1}$ $D ^ {2}$

Caso de movimento browniano

No caso de um movimento de uma partícula e no âmbito da equação de Smoluchowski que diz respeito a partículas como , normalmente, moléculas ou objetos de massa "desprezível" (moléculas atmosféricas, proteínas em biologia ...): $\ gamma v \ gg ma$

{\ displaystyle \ gamma {\ dot {X}} + F (X) = \ sigma B}

onde B é o ruído branco , o coeficiente de viscosidade e F (x) um campo de força. Se p (x, t) é a probabilidade de encontrar a partícula no ponto x no tempo t, pela aplicação do lema de Itô temos então: $\ textstyle \ gamma$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial p (x, t)} {\ partial t}} = {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2 \ gamma ^ {2}}} \ Delta p (x, t) + \ nabla \ left ({\ frac {F (x)} {\ gamma}} p (x, t) \ right)}

onde o coeficiente de difusão . $\ textstyle {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2 \ gamma ^ {2}}} = D$

Essa equação de Fokker-Planck em particular torna possível, com condições adequadas de contorno e origem, estudar o movimento browniano de uma partícula em um campo de força.

Caso de sistemas dinâmicos não lineares

Lembrete sobre sistemas lineares e linearizáveis

Encontrar a resposta de um determinado sistema a uma excitação é um problema comum na física e em várias técnicas. Esta resposta é geralmente definida por uma equação diferencial ou, mais geralmente, por um sistema diferencial com várias variáveis. Por uma questão de simplicidade, vamos nos ater a uma equação clássica de segunda ordem, esta equação correspondendo em particular às oscilações de um sistema mecânico provido de uma força restauradora e um amortecimento (ver Sistemas oscilantes com um grau de liberdade ).

O problema mais comum é a excitação sinusoidal. Se a equação for linear, a própria resposta é senoidal. Pelo contrário, quando contém termos não lineares, em geral só podemos encontrar soluções aproximadas: soluções numéricas, procura de uma aproximação senoidal pela linearização equivalente ou expansão em uma série de senoides pelo método de perturbação.

Às vezes, também encontramos equações diferenciais estocásticas nas quais a excitação é representada por um processo aleatório que é aproximadamente um conjunto de funções com as mesmas propriedades estatísticas. Nessas condições, a solução também é um processo aleatório caracterizado por uma densidade de probabilidade que diz respeito, para a segunda ordem, às excursões e às velocidades. Se nos limitarmos a uma excitação gaussiana, a resposta dada por uma equação linear também é gaussiana e pode ser determinada por meio de técnicas de descrição espectral .

Sistemas não lineares excitados por ruído branco

No caso geral, um sistema mecânico com um grau de liberdade é descrito por uma equação diferencial da forma

m {\ ddot {X}} + g (X, {\ ponto {X}}) = F (t)

Se a excitação pode ser considerada como uma realização de um processo aleatório, falamos de uma equação diferencial estocástica cuja solução que representa a excursão é ela própria um processo aleatório . Nessas condições, é conveniente introduzir o processo de velocidade , o que leva a duas equações de primeira ordem: $F (t) \,$ $X (t) \,$ $U (t) \,$

{\ dot {X}} = U

m {\ ponto {U}} + g (X, U) = F (t)

Considerando uma pequena variação no tempo, as equações diferenciais são substituídas por equações de diferença (ver Método das Diferenças Finitas ): $\ Delta t \,$

X_ {t} = X _ {{t-dt}} + U_ {t} \ Delta t \,

U_ {t} = U _ {{t-dt}} + {1 \ over m} (F_ {t} -g (X_ {t}, U_ {t})) \ Delta t

Se a excitação é ruído branco gaussiano , uma sucessão de pulsos independentes, o estado do sistema depende apenas do que estava acontecendo no instante anterior. Possui propriedade Markoviana e uma equação de Fokker-Planck permite determinar a densidade de probabilidade conjunta de movimento e velocidade. A aproximação do ruído branco é melhor porque o sistema é menos amortecido ( ressonância mais aguda).

Como a maioria das equações diferenciais parciais, ele apenas fornece soluções explícitas em casos muito específicos relacionados tanto à forma da equação quanto à natureza da excitação. O método se aplica em particular à equação com uma força de restauração não linear:

m {\ ddot {X}} + b {\ ponto {X}} + h (X) = F (t)

em que representa um ruído branco gaussiano de densidade espectral (densidade expressa em unidades ao quadrado por radiano por segundo). $F (t) \,$ $S_ {0} \,$

A densidade de probabilidade conjunta da excursão e da velocidade é escrita

p _ {{X {\ dot {X}}}} (x, {\ dot {x}}) = Ce ^ {{- {b {\ mathcal {E}}} / {\ pi S_ {0}} }}

Nesta fórmula, é a energia total do sistema não amortecido. A densidade de probabilidade da velocidade permanece gaussiana, enquanto a da excursão não é mais. Obviamente, torna-se assim novamente quando a função é linear. ${\ mathcal {E}} = {1 \ over 2} \, m \, {{\ dot {x}} ^ {2}} \, + \, \ int _ {0} ^ {x} h (\ xi) d \ xi$ $h \,$

É notável que esta solução relativamente simples seja exata, ao passo que não existe tal coisa para uma excitação senoidal. Por outro lado, essa solução exata não existe mais se for o amortecimento que não é linear; neste caso, há uma solução exata para uma equação mais abstrata que fornece uma melhor aproximação não linear do que a aproximação linear.

Referências

Philippe-André Martin, Física estatística dos processos irreversíveis https://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00092959/document
Ch. Ancey, Simulações estocásticas - Aplicações a fluxos geofísicos e turbulência, http://www.toraval.fr/articlePDF/stochastique.pdf
I. Kosztin, Mecânica Estatística de Não Equilíbrio, capítulo 4: Equação de Difusão de Smoluchowski, http://www.ks.uiuc.edu/~kosztin/PHYCS498NSM/LectureNotes/chp4.pdf
H. Risken, "The Fokker - Planck Equation: Methods of Solutions and Applications", 2ª edição, Springer Series in Synergetics, Springer, ( ISBN 3-540-61530-X ) .
S. Redner: Um guia para os processos de primeira passagem. Cambridge University Press, (2001)
(pt) YK Lin , Teoria Probabilística de Dinâmica Estrutural , Nova York, Robert E. Krieger Publishing Company,Julho de 1976, 368 p. ( ISBN 978-0-88275-377-5 e 0882753770 , LCCN 75042154 )

Thomas L. Paez, Vibrações aleatórias: Avaliação do Estado da Arte, http://www.osti.gov/bridge/servlets/purl/3882-OeSEmc/webviewable/3882.pdf
Thomas K. Caughey, Derivation and Application of the Fokker-Planck Equation to Discrete Nonlinear Dynamic Systems Sujeito a White Random Excitation, http://authors.library.caltech.edu/4087/01/CAUjasa63a.pdf

Veja também