Equação diferencial de Bernoulli
A equação diferencial de Bernoulli é uma primeira ordem de equação diferencial da forma .
y′(x)+no(x)y(x)=b(x)ym(x) {\ displaystyle y '(x) + a (x) y (x) = b (x) y ^ {m} (x) ~}
Descrição
Portanto, consideramos a equação:
y′(x)+no(x)y(x)=b(x)ym(x) {\ displaystyle y '(x) + a (x) y (x) = b (x) y ^ {m} (x) ~}
onde m é um real diferente de 0 e 1 e onde a e b são mapas definidos em um intervalo aberto I de e com valores reais. Em geral, é um número natural, mas podemos tomar m real com a condição de que procuremos por y com valores estritamente positivos. Em geral, a e b são funções contínuas.
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
m{\ displaystyle m}
Esta forma de equação foi proposta por Jacques Bernoulli em 1695 e resolvida um ano depois por Leibniz graças a uma mudança de função que remete a uma equação diferencial linear .
Supondo que a função y tenha valores estritamente positivos no intervalo I , podemos dividir a equação por y m ( x ) e obter
y′(x)ym(x)+no(x)1ym-1(x)=b(x){\ displaystyle {\ frac {y '(x)} {y ^ {m} (x)}} + a (x) {\ frac {1} {y ^ {m-1} (x)}} = b (x)}
Nós posamos
você(x)=1ym-1(x)=y1-m(x){\ displaystyle u (x) = {\ frac {1} {y ^ {m-1} (x)}} = y ^ {1-m} (x)}
portanto
você′(x)=(1-m)y-m(x)y′(x)=(1-m)y′(x)ym(x).{\ displaystyle u '(x) = (1-m) y ^ {- m} (x) y' (x) = {\ frac {(1-m) y '(x)} {y ^ {m} (x)}}.}
A equação de Bernoulli em y é, portanto, equivalente à equação diferencial linear de ordem um em u :
11-mvocê′(x)+no(x)você(x)=b(x){\ displaystyle {\ frac {1} {1-m}} u '(x) + a (x) u (x) = b (x)}
cuja solução geral é
você(x)=exp(-(1-m)∫no(t)dt)(VS+(1-m)∫b(t)exp((1-m)∫no(s)ds) dt),{\ displaystyle u (x) = \ exp \ left (- (1-m) \ int a (t) \ mathrm {d} t \ right) \ left (C + (1-m) \ int b (t) \ exp \ left ((1-m) \ int a (s) \ mathrm {d} s \ right) ~ \ mathrm {d} t \ right),}
que dá para a função :
y=você1/(1-m){\ displaystyle y = u ^ {1 / (1-m)}}
y(x)=exp(-∫no(t)dt)(VS+(1-m)∫b(t)exp((1-m)∫no(s)ds) dt)11-m{\ displaystyle y (x) = \ exp \ left (- \ int a (t) \ mathrm {d} t \ right) \ left (C + (1-m) \ int b (t) \ exp \ left ( (1-m) \ int a (s) \ mathrm {d} s \ right) ~ \ mathrm {d} t \ right) ^ {1 \ over 1-m}}
A solução desta equação que passa pelo ponto ( x 0 , y 0 ) é a função y definida por:
y(x)=y0exp(-∫x0xno(t)dt)(1+(1-m)y0m-1∫x0xb(t)[exp(-∫x0tno(s)ds)]m-1 dt)11-m{\ displaystyle y (x) = y_ {0} \ exp \ left (- \ int _ {x_ {0}} ^ {x} a (t) \ mathrm {d} t \ right) \ left (1+ ( 1-m) y_ {0} ^ {m-1} \ int _ {x_ {0}} ^ {x} b (t) \ left [\ exp \ left (- \ int _ {x_ {0}} ^ {t} a (s) \ mathrm {d} s \ direita) \ direita] ^ {m-1} ~ \ mathrm {d} t \ direita) ^ {\ frac {1} {1-m}}}![{\ displaystyle y (x) = y_ {0} \ exp \ left (- \ int _ {x_ {0}} ^ {x} a (t) \ mathrm {d} t \ right) \ left (1+ ( 1-m) y_ {0} ^ {m-1} \ int _ {x_ {0}} ^ {x} b (t) \ left [\ exp \ left (- \ int _ {x_ {0}} ^ {t} a (s) \ mathrm {d} s \ direita) \ direita] ^ {m-1} ~ \ mathrm {d} t \ direita) ^ {\ frac {1} {1-m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77841d5932824bd76b89c936a5d48605b8a97007)
.
As soluções podem ser buscadas entre as funções que não são positivas em todos os lugares em seu domínio de definição, mas então muitos cuidados devem ser tomados quanto aos domínios de validade das soluções.
Notas e referências
Veja também
Fontes e bibliografia
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