Equação quártica
Em matemática , uma equação quártica é uma equação polinomial de grau 4.
As equações quárticas foram resolvidas assim que os métodos de resolução de equações de terceiro grau foram conhecidos . O método Ferrari e o método Descartes foram desenvolvidos sucessivamente .
O método de Lagrange , descrito abaixo, é derivado das propriedades de polinômios simétricos construídos a partir de n raízes de um polinômio de grau n .
Fragmentos de história
O método de resolver a equação quártica foi estabelecido há dois séculos por Ludovico Ferrari (1522-1565). Seu método permite reduzir a uma equação de grau três, chamada resolução cúbica (in) - ou reduzida - da equação de quarto grau; foi publicado pela primeira vez em 1545 por Jérôme Cardan em sua obra Ars Magna (Cardan diz explicitamente que este método foi indicado a ele por Ferrari, a seu pedido). O método aqui desenvolvido utiliza as propriedades das variações de expressões envolvendo as raízes dos polinômios. Esta análise corresponde ao trabalho de Joseph-Louis Lagrange que busca compreender os princípios gerais que regem as resoluções de equações de grau dois, três e quatro. A ideia de considerar as raízes dos polinômios como quantidades formais intervenientes nos polinômios, simétricos ou não, é uma iniciativa frutífera que, aplicada a polinômios de grau maior ou igual a 5, levará ao teorema de Évariste Galois que mostra que , em geral, uma equação polinomial de grau 5 ou mais não tem solução radical .
Eliminação do grau 3 do termo
Por uma técnica comum às equações polinomiais (de qualquer grau), a equação
nox4+bx3+vsx2+dx+e=0(1){\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e = 0 \ quad (1)}reduz, após divisão por um e mudar de variável de uma equação da formax=y-b4no{\ displaystyle x = y - {\ frac {b} {4a}}}
y4+py2+qy+r=0(2){\ displaystyle y ^ {4} + py ^ {2} + qy + r = 0 \ quad (2)}com
p=vsno-3b28no2,q=dno-bvs2no2+b38no3er=eno-bd4no2+vsb216no3-3b4256no4{\ displaystyle p = {\ frac {c} {a}} - {\ frac {3b ^ {2}} {8a ^ {2}}} \ quad {\ text {,}} \ quad q = {\ frac {d} {a}} - {\ frac {bc} {2a ^ {2}}} + {\ frac {b ^ {3}} {8a ^ {3}}} \ quad {\ text {e}} \ quad r = {\ frac {e} {a}} - {\ frac {bd} {4a ^ {2}}} + {\ frac {cb ^ {2}} {16a ^ {3}}} - { \ frac {3b ^ {4}} {256a ^ {4}}}}.
Pode-se então resolver a equação (2) pelo método de Ferrari , o de Descartes , ou aquele abaixo “de Lagrange”. Todos os três fornecem, sob diferentes aparências, a mesma fórmula para as quatro soluções.
Método de Lagrange
Princípio do método
É uma questão de encontrar uma expressão envolvendo as 4 raízes de
y1,y2,y3,y4{\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}, y_ {4}}
y4+py2+qy+r=0{\ displaystyle y ^ {4} + py ^ {2} + qy + r = 0}e permitindo obter, por permutações, apenas 3 valores distintos.
É o caso, por exemplo, do qual, por permutações, só permite dar os valores
-(y1+y2)(y3+y4){\ displaystyle - (y_ {1} + y_ {2}) (y_ {3} + y_ {4})}
z1=-(y1+y2)(y3+y4){\ displaystyle z_ {1} = - (y_ {1} + y_ {2}) (y_ {3} + y_ {4})},
z2=-(y1+y3)(y2+y4){\ displaystyle z_ {2} = - (y_ {1} + y_ {3}) (y_ {2} + y_ {4})},
z3=-(y1+y4)(y2+y3){\ displaystyle z_ {3} = - (y_ {1} + y_ {4}) (y_ {2} + y_ {3})}.
Qualquer polinômio simétrico de pode ser expresso como um polinômio simétrico de .
z1,z2,z3{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}y1,y2,y3,y4{\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}, y_ {4}}
Em particular, os coeficientes do polinômio podem ser expressos usando p , q e r . É certo que a propriedade
R(z)=(z-z1)(z-z2)(z-z3){\ displaystyle R (z) = (z-z_ {1}) (z-z_ {2}) (z-z_ {3})}
y1+y2+y3+y4=0{\ displaystyle y_ {1} + y_ {2} + y_ {3} + y_ {4} = 0}facilita cálculos.
Mostramos isso então:
-
z1+z2+z3=-2p{\ displaystyle z_ {1} + z_ {2} + z_ {3} = - 2p} ;
-
Σeu<jzeuzj=p2-4r{\ displaystyle \ Sigma _ {i <j} z_ {i} z_ {j} = p ^ {2} -4r} ;
-
z1z2z3=q2{\ displaystyle z_ {1} z_ {2} z_ {3} = q ^ {2}}.
Os três números reais são então soluções da equação
z1,z2,z3{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}
z3+2pz2+(p2-4r)z-q2=0(3){\ displaystyle z ^ {3} + 2pz ^ {2} + (p ^ {2} -4r) zq ^ {2} = 0 \ quad (3)}.
Resta agora ser encontrado com base no conhecimento disso .
y1,y2,y3,y4{\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}, y_ {4}}z1,z2,z3{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}y1+y2+y3+y4=0{\ displaystyle y_ {1} + y_ {2} + y_ {3} + y_ {4} = 0}
Então notamos que
z1=(y1+y2)2=(y3+y4)2{\ displaystyle z_ {1} = (y_ {1} + y_ {2}) ^ {2} = (y_ {3} + y_ {4}) ^ {2}}
z2=(y1+y3)2=(y2+y4)2{\ displaystyle z_ {2} = (y_ {1} + y_ {3}) ^ {2} = (y_ {2} + y_ {4}) ^ {2}}
z3=(y1+y4)2=(y2+y3)2{\ displaystyle z_ {3} = (y_ {1} + y_ {4}) ^ {2} = (y_ {2} + y_ {3}) ^ {2}}
de modo a
y1+y2=z1{\ displaystyle y_ {1} + y_ {2} = {\ sqrt {z_ {1}}}}e ,
y3+y4=-z1{\ displaystyle y_ {3} + y_ {4} = - {\ sqrt {z_ {1}}}}
y1+y3=z2{\ displaystyle y_ {1} + y_ {3} = {\ sqrt {z_ {2}}}}e ,
y2+y4=-z2{\ displaystyle y_ {2} + y_ {4} = - {\ sqrt {z_ {2}}}}
y1+y4=z3{\ displaystyle y_ {1} + y_ {4} = {\ sqrt {z_ {3}}}} e
y2+y3=-z3{\ displaystyle y_ {2} + y_ {3} = - {\ sqrt {z_ {3}}}}
(a notação deve ser entendida aqui como uma das raízes quadradas de ).
zeu{\ displaystyle {\ sqrt {z_ {i}}}}zeu{\ displaystyle z_ {i}}
Os valores de são encontrados por simples adição.
yeu{\ displaystyle y_ {i}}
balanço patrimonial
Soluções
y4+py2+qy+r=0{\ displaystyle y ^ {4} + py ^ {2} + qy + r = 0}estão
y1=12(z1+z2+z3){\ displaystyle y_ {1} = {\ tfrac {1} {2}} ({\ sqrt {z_ {1}}} + {\ sqrt {z_ {2}}} + {\ sqrt {z_ {3}} })}
y2=12(z1-z2-z3){\ displaystyle y_ {2} = {\ tfrac {1} {2}} ({\ sqrt {z_ {1}}} - {\ sqrt {z_ {2}}} - {\ sqrt {z_ {3}} })}
y3=12(-z1+z2-z3){\ displaystyle y_ {3} = {\ tfrac {1} {2}} (- {\ sqrt {z_ {1}}} + {\ sqrt {z_ {2}}} - {\ sqrt {z_ {3} }})}
y4=12(-z1-z2+z3){\ displaystyle y_ {4} = {\ tfrac {1} {2}} (- {\ sqrt {z_ {1}}} - {\ sqrt {z_ {2}}} + {\ sqrt {z_ {3} }})}
onde , e são as três raízes do polinômio R , de grau 3 , chamado cúbico de resolução, ou reduzido:
z1{\ displaystyle z_ {1}}z2{\ displaystyle z_ {2}}z3{\ displaystyle z_ {3}}
R(z)=z3+2pz2+(p2-4r)z-q2{\ displaystyle R (z) = z ^ {3} + 2pz ^ {2} + (p ^ {2} -4r) zq ^ {2}}.
Por , devemos entender, um dos números cujo quadrado vale . Percebemos que, ao mesmo tempo, transformar todos em seus opostos transforma o todo em . Portanto, é necessário escolher raízes quadradas "boas", para que o produto valha –q .
zeu{\ displaystyle {\ sqrt {z_ {i}}}}zeu{\ displaystyle z_ {i}}zeu{\ displaystyle {\ sqrt {z_ {i}}}}{y1,y2,y3,y4}{\ displaystyle \ {y_ {1}, \, y_ {2}, \, y_ {3}, \, y_ {4} \}}{-y1,-y2,-y3,-y4}{\ displaystyle \ {- y_ {1}, - y_ {2}, - y_ {3}, - y_ {4} \, \}}z1z2z3{\ displaystyle {\ sqrt {z_ {1}}} {\ sqrt {z_ {2}}} {\ sqrt {z_ {3}}}}
Inventário de caixa
Se os coeficientes p , q e r são reais, notamos que o produto das raízes do polinômio R é , estamos, portanto, limitados na forma das raízes do polinômio R e nas soluções da equação quártica.
q2{\ displaystyle q ^ {2}}
- Se as três raízes de R forem realmente positivas, obteremos quatro valores reais.
- Se todas as três raízes de R forem reais e duas forem negativas, obteremos dois pares de complexos conjugados.
- se R tem uma raiz real e duas raízes complexas conjugadas, a raiz real é positiva e obtemos dois valores reais e dois complexos conjugados.
Equações especiais
Entre as equações de grau quatro, algumas, em particular, podem ser resolvidas apenas com o auxílio de equações quadráticas ; este é o caso para equações bicarregadas e equações simétricas ou, mais geralmente, equações como .
nox4+bx3+vsx2+dx+e=0{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e = 0}nod2=eb2{\ anúncio displaystyle ^ {2} = eb ^ {2}}
Equações quádruplas
Eles são escritos na forma
nox4+bx2+vs=0{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {2} + c = 0}e são resolvidos alterando a variável
y=x2{\ displaystyle y = x ^ {2}}e a resolução de
noy2+by+vs=0{\ displaystyle ay ^ {2} + por + c = 0}.
Equações quádruplas, assim como algumas outras equações de grau 4, também podem ser resolvidas por trigonometria circular ou hiperbólica .
Equações simétricas
Eles são escritos na forma
nox4+bx3+vsx2+bx+no=0{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + bx + a = 0}e são resolvidos alterando a variável
z=x+1x{\ displaystyle z = x + {\ frac {1} {x}}}e a resolução de
noz2+bz+vs-2no=0{\ displaystyle az ^ {2} + bz + c-2a = 0}.
Este processo é generalizado para equações da forma
nox4+bx3+vsx2+kbx+k2no=0{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + kbx + k ^ {2} a = 0}(com k ≠ 0 ), que são resolvidos definindo
z=x+kx{\ displaystyle z = x + {\ frac {k} {x}}}.
Notas e referências
-
van der Waerden 1985 .
-
Joseph Louis de Lagrange , Reflexões sobre a resolução algébrica de equações ,1770( leia online ) , p. 263-268.
-
Olivier Gebuhrer, " convite à reflexão sobre a resolução de equações algébricas ", L'Ouvert , IREM de Strasbourg, n o 45,1986, p. 31-39 ( ler online ).
-
Ver, por exemplo, o capítulo 4 (Métodos especiais de resolução) e o exercício 4-6 da lição da Wikiversidade sobre as equações de grau 4, seguindo o link no final desta página .
-
Para um relato mais fiel dos métodos de Lagrange 1770 , ver Serret 1879 , p. 475-480, ou o final do capítulo “Método de Lagrange” na Wikiversidade .
-
Para mais detalhes sobre toda esta seção, veja o Capítulo 4 (Métodos Especiais de Resolução) da lição da Wikiversidade sobre equações de 4º grau .
Veja também
Artigos relacionados
Bibliografia
: documento usado como fonte para este artigo.
-
Pequena enciclopédia de matemática , Didier
-
Jacqueline Lelong-Ferrand e Jean-Marie Arnaudiès , curso de Matemática - Álgebra , Dunod
-
Joseph-Alfred Serret , Curso de álgebra superior , t. 2,1879, 4 th ed. ( 1 st ed. 1849) ( linha de leitura ) , p. 471-482
-
(pt) BL van der Waerden , A History of Algebra , Springer ,1985( ISBN 3-642-51601-7 )