Ação de Einstein-Hilbert
A Ação Einstein-Hilbert , assim designada em homenagem a Albert Einstein e David Hilbert , é um objeto matemático uniforme para funcionar . É usado para derivar as equações de campo da relatividade geral de Einstein por meio de um princípio denominado princípio variacional da menor ação .
A ação de Einstein-Hilbert, notada , é dada por:
S{\ displaystyle S}
S=12κ∫R-gd4x{\ displaystyle S = {1 \ over 2 \ kappa} \ int R {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}
ou :
com:
Derivação das equações de Einstein
Suponha que nossa teoria contenha apenas a ação de Einstein-Hilbert, bem como um termo que descreva qualquer campo da matéria. A ação total é, portanto:
euM{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}}
S=∫[12κR+euM]-gd4x{\ displaystyle S = \ int \ left [{\ frac {1} {2 \ kappa}} R + {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}} \ right] {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}.
A variação da ação em relação ao inverso da métrica deve ser zero para as soluções, dando a equação:
0=δS=∫[12κδ(-gR)δgµν+δ(-geuM)δgµν]δgµνd4x=∫[12κ(δRδgµν+R-gδ-gδgµν)+1-gδ(-geuM)δgµν]δgµν-gd4x{\ displaystyle {\ begin {alinhados} 0 & = \ delta S \\ & = \ int \ left [{\ frac {1} {2 \ kappa}} {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g} } R)} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}})} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} \ right] \ delta g ^ {\ mu \ nu} \, \ mathrm {d} ^ {4} x \\ & = \ int \ left [{\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left ({\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {R} {\ sqrt {-g}}} { \ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} \ right) + {\ frac {1} {\ sqrt {-g}}} {\ frac { \ delta ({\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}})} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} \ right] \ delta g ^ {\ mu \ nu} {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x \ end {alinhado}}}.
Uma vez que esta equação vale para qualquer variação , isso implica que
δgµν{\ displaystyle \ delta g ^ {\ mu \ nu}}
δRδgµν+R-gδ-gδgµν=-2κ1-gδ(-geuM)δgµν{\ displaystyle {\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {R} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt { -g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = - 2 \ kappa {\ frac {1} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta ({\ sqrt {- g}} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}})} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}}}
é a equação de movimento da métrica. O lado direito da equação é (por definição) proporcional ao tensor de energia-momento ,
Tµν: =-2-gδ(-geuM)δgµν=-2δeuMδgµν+gµνeuM{\ displaystyle T _ {\ mu \ nu}: = {\ frac {-2} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L} } _ {\ mathrm {M}})} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = - 2 {\ frac {\ delta {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}} { \ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + g _ {\ mu \ nu} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}}.
para calcular o lado esquerdo da equação, precisamos das variações do escalar de Ricci e do determinante da métrica. Eles podem ser calculados de maneira elementar, conforme mostrado a seguir, um método inspirado principalmente em Carroll 2004 .
R{\ displaystyle R}
Variação do tensor de Riemann, tensor de Ricci e escalar de Ricci
Para calcular a variação da curvatura de Ricci , começamos calculando a variação do tensor de Riemann , depois do tensor de Ricci . Lembre-se de que o tensor de Riemann é definido localmente por
Rρσµν=∂µΓνσρ-∂νΓµσρ+ΓµλρΓνσλ-ΓνλρΓµσλ{\ displaystyle {R ^ {\ rho}} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ parcial _ {\ mu} \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} - \ parcial _ {\ nu} \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ rho} + \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ lambda} - \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ lambda}}.
Uma vez que o tensor de Riemann depende apenas dos símbolos de Christoffel , sua variação pode ser calculada como
Γµνλ{\ displaystyle \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda}}
δRρσµν=∂µδΓνσρ-∂νδΓµσρ+δΓµλρΓνσλ+ΓµλρδΓνσλ-δΓνλρΓµσλ-ΓνλρδΓµσλ{\ displaystyle \ delta {R ^ {\ rho}} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ parcial _ {\ mu} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} - \ parcial _ {\ nu} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ rho} + \ delta \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ lambda } + \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ lambda} - \ delta \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ lambda} - \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ rho} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ lambda}}.
Agora, como é a diferença de duas conexões, é um tensor, do qual podemos calcular a derivada covariante ,
δΓνσρ{\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho}}
∇µ(δΓνσρ)=∂µ(δΓνσρ)+ΓµλρδΓνσλ-ΓµνλδΓλσρ-ΓµσλδΓνλρ{\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} \ right) = \ partial _ {\ mu} (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho}) + \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ lambda} - \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda} \ delta \ Gamma _ {\ lambda \ sigma} ^ {\ rho} - \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ lambda} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ rho }}.
Podemos então observar que a variação do tensor de Riemann acima é exatamente igual à diferença de dois desses termos,
δRρσµν=∇µ(δΓνσρ)-∇ν(δΓµσρ){\ displaystyle \ delta {R ^ {\ rho}} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ nabla _ {\ mu} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} \ direita) - \ nabla _ {\ nu} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ rho} \ right)}.
Podemos agora obter a variação do tensor de Ricci simplesmente contraindo dois índices na expressão para a variação do tensor de Riemann, e então obtemos a identidade Palatini :
δRσν≡δRρσρν=∇ρ(δΓνσρ)-∇ν(δΓρσρ){\ displaystyle \ delta R _ {\ sigma \ nu} \ equiv \ delta {R ^ {\ rho}} _ {\ sigma \ rho \ nu} = \ nabla _ {\ rho} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} \ right) - \ nabla _ {\ nu} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ rho \ sigma} ^ {\ rho} \ right)}.
A curvatura de Ricci é então definida como
R=gσνRσν{\ displaystyle R = g ^ {\ sigma \ nu} R _ {\ sigma \ nu}}.
Portanto, sua variação do inverso da métrica é dada por
gσν{\ displaystyle g ^ {\ sigma \ nu}}
δR=Rσνδgσν+gσνδRσν=Rσνδgσν+∇ρ(gσνδΓνσρ-gσρδΓµσµ){\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ delta R & = R _ {\ sigma \ nu} \ delta g ^ {\ sigma \ nu} + g ^ {\ sigma \ nu} \ delta R _ {\ sigma \ nu } \\ & = R _ {\ sigma \ nu} \ delta g ^ {\ sigma \ nu} + \ nabla _ {\ rho} \ left (g ^ {\ sigma \ nu} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} -g ^ {\ sigma \ rho} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ mu} \ right) \ end {alinhado}}}Na segunda linha, usamos a compatibilidade da métrica com a conexão e o resultado obtido anteriormente na variação do tensor de Ricci.
∇σgµν=0{\ displaystyle \ nabla _ {\ sigma} g ^ {\ mu \ nu} = 0}
O último termo,
∇ρ(gσνδΓνσρ-gσρδΓµσµ){\ displaystyle \ nabla _ {\ rho} \ left (g ^ {\ sigma \ nu} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} -g ^ {\ sigma \ rho} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ mu} \ right)}, ou seja , com ,
∇ρNOρ≡NOλ;λ{\ displaystyle \ nabla _ {\ rho} A ^ {\ rho} \ equiv A ^ {\ lambda} {} _ {; \ lambda}}NOρ=gσνδΓνσρ-gσρδΓµσµ{\ displaystyle A ^ {\ rho} = g ^ {\ sigma \ nu} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} -g ^ {\ sigma \ rho} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ mu}}multiplicado por , torna-se uma [derivada total], uma vez que para qualquer vetor e qualquer densidade tensorial temos:
-g{\ displaystyle {\ sqrt {-g}}}NOλ{\ displaystyle A ^ {\ lambda}}-gNOλ{\ displaystyle {\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ lambda}}
-gNO;λλ=(-gNOλ);λ=(-gNOλ),λ{\ displaystyle {\ sqrt {-g}} \, A _ {; \ lambda} ^ {\ lambda} = ({\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ lambda}) _ {; \ lambda} = ({\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ lambda}) _ {, \ lambda}} ouro
-g∇µNOµ=∇µ(-gNOµ)=∂µ(-gNOµ){\ displaystyle {\ sqrt {-g}} \, \ nabla _ {\ mu} A ^ {\ mu} = \ nabla _ {\ mu} \ left ({\ sqrt {-g}} \, A ^ { \ mu} \ right) = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ mu} \ right)}
e, portanto, pelo teorema de Stokes, não há termo de fronteira sobrando após a integração. O termo sem aresta em geral não é zero, visto que o integrando não depende apenas de, mas também de suas derivadas parciais ; consulte o artigo sobre os termos a bordo do Gibbons - Hawking - York para obter detalhes. Porém, quando a variação da métrica varia nas proximidades da aresta ou quando não há arestas, este termo não contribui para a variação da ação. Então nós temos
δgµν,{\ displaystyle \ delta g ^ {\ mu \ nu},}∂λδgµν≡δ∂λgµν{\ displaystyle \ partial _ {\ lambda} \, \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ equiv \ delta \, \ partial _ {\ lambda} g ^ {\ mu \ nu}}δgµν{\ displaystyle \ delta g ^ {\ mu \ nu}}
δRδgµν=Rµν{\ displaystyle {\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = R _ {\ mu \ nu}}.
fora das bordas.
Variação do determinante
Lembramos o diferencial do determinante
δg=δdet(gµν)=ggµνδgµν{\ displaystyle \ delta g = \ delta \ det (g _ {\ mu \ nu}) = gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu}},
que podemos calcular, por exemplo, através da fórmula explícita do determinante e de uma expansão limitada
. Graças a este resultado, obtemos
δ-g=-12-gδg=12-g(gµνδgµν)=-12-g(gµνδgµν){\ displaystyle \ delta {\ sqrt {-g}} = - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {-g}}}} \ delta g = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}} \ left (g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} \ right) = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}} \ esquerda (g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ direita)}No último empate, usamos o fato de que
gµνδgµν=-gµνδgµν{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} = - g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu}}que segue do diferencial do inverso de uma matriz
δgµν=-gµα(δgαβ)gβν{\ displaystyle \ delta g ^ {\ mu \ nu} = - g ^ {\ mu \ alpha} \ left (\ delta g _ {\ alpha \ beta} \ right) g ^ {\ beta \ nu}}.
Assim, concluímos que
1-gδ-gδgµν=-12gµν{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu}}.
Equação de movimento
Agora temos todas as variações necessárias para obter a equação do movimento. Inserimos as equações calculadas na equação de movimento da métrica para obter
Rµν-12gµνR=8πGvs4Tµν{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} R = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}},
que é a equação de Einstein , e
κ=8πGvs4{\ displaystyle \ kappa = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}}}foi escolhida de forma a obter o limite não relativístico desejado: a lei da gravidade universal de Newton, onde é a constante gravitacional .
G{\ displaystyle G}
Notas e referências
-
Diferencial do determinante ( leia online )
Veja também
Artigos relacionados
Bibliografia
- Carroll, Sean M. (dezembro, 1997). Notas da aula sobre relatividade geral , NSF-ITP-97-147, 231pp, arXiv: gr-qc / 9712019
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