Anel Noetheriano

Em matemática , um anel noetheriano é um caso especial de anel , isto é, de um conjunto provido de uma adição e de uma multiplicação compatível com a adição, no sentido da distributividade .

Muitas questões matemáticas são expressas em um contexto de anel, os endomorfismos de um espaço vetorial ou de um módulo em um anel , inteiros algébricos da teoria dos números algébricos ou mesmo superfícies da geometria algébrica . Se os anéis forem numerosos, raros são aqueles que têm propriedades comuns aos exemplos mais simples, como números inteiros relativos ou polinômios com coeficientes em um campo . A divisão euclidiana geralmente não existe mais, os ideais , principais ferramentas da teoria dos anéis , nem sempre são mais os principais e o teorema fundamental da aritmética não tem mais equivalente.

A abordagem de olhar para uma questão apenas da perspectiva das propriedades específicas de uma estrutura de anel particular tem se mostrado bem-sucedida. Richard Dedekind usou-o com sucesso na aritmética e David Hilbert na geometria algébrica . Em 1920-1921, Emmy Noether escolheu um número mais limitado de propriedades verificadas por certos anéis e demonstrou numerosos resultados neles.

O termo “anel noetheriano” aparece em 1943 da pena de Claude Chevalley.

Abordagem intuitiva

Em um anel principal , todos os ideais são principais . Em outras palavras, se o anel é considerado um módulo sobre si mesmo, então seus ideais são submódulos gerados por um elemento. Mas muitos anéis comuns não são primários. O anel ℤ [ X ] de polinômios com coeficientes inteiros é um exemplo de anel não principal .

Na aritmética, é comum usar anéis de inteiros algébricos , como o anel ℤ [ i 5 ], que é um exemplo de anel de inteiros quadráticos não principais . Porém, em ℤ [ i 5 ], todos os ideais são gerados por um ou dois elementos. A configuração é análoga a qualquer anel de inteiros algébricos de um campo numérico . Assim, em tal anel, os ideais, não sendo gerados por um único elemento, são gerados por um número finito de elementos. Esta propriedade, indicando que todo ideal de um anel A admite uma família geradora finita, é frequente em matemática. Corresponde à noção formalizada pela definição de anel noetheriano .

Essa configuração é encontrada na teoria dos grupos . Se um grupo abeliano (visto como ℤ-módulo) é do tipo finito (isto é, admite uma parte geradora finita), todos os seus subgrupos são submódulos do tipo finito . A propriedade é a mesma, mesmo que se aplique a um módulo e não mais a um anel. Mais geralmente, um módulo de tipo finito em que cada submódulo é do tipo finito é um bom substituto para a hipótese de dimensão finita em álgebra linear e corresponde à noção de módulo de Noetherian .

Definições

Anel e módulo

Assim como um campo comutativo é um espaço vetorial sobre si mesmo, é possível considerar um anel A como um módulo- A . Se o anel não for comutativo, existem dois produtos externos diferentes. Seja λ um elemento de A visto como um escalar e um elemento de A visto como um vetor, os dois produtos externos se associam respectivamente com (λ, a ) os vetores λ. a e a .λ. O anel A tem, portanto, duas estruturas de módulo A , uma à esquerda e outra à direita, que coincidem se A for comutativo.

Uma segunda diferença reside nos subespaços vetoriais . Um corpo contém apenas dois: espaço zero e o próprio corpo. Para um anel A , considerado como módulo A à esquerda (resp. À direita), a noção de submódulo coincide com a de ideal à esquerda (resp. À direita).

Sendo um anel A sempre considerado unitário neste artigo , o A- módulo A tem uma família geradora composta de um único elemento: a unidade (ou qualquer elemento invertível).

Noetherianity

A noetherianidade também é definida simplesmente em um módulo. A definição de um anel noetheriano torna-se então um caso especial, onde o anel é considerado um módulo sobre si mesmo (à esquerda ou à direita).

No caso de anéis comutativos, essas três definições coincidem.

Propriedades

Seja P um submódulo de M , o módulo M é Noetheriano se e somente se P e M / P forem.

Demonstração

Deduzimos imediatamente:

Temos duas definições alternativas e equivalentes da noção de módulo Noetherian (que são imediatamente traduzidas para anéis):

Seja M um módulo A. As três propriedades a seguir são equivalentes:

  1. M é noetheriano;
  2. toda sequência crescente de submódulos de M é estacionária;
  3. qualquer conjunto não vazio de submódulos de M admite um elemento máximo para inclusão .

Propriedades 2 e 3 constituem a condição corrente ascendente em submódulos de M .

Demonstração

Seja ( M n ) uma sequência de aumento de submódulos de M . Denote por N a união de todos os módulos M n . Como eles estão aninhados, N é um submódulo. Pela hipótese 1, N admite uma família geradora finita ( m j ). Cada um desses vetores m j pertence a N , portanto a um dos M n (e a todos os seguintes): existe, portanto, um índice n j tal que este vetor m j pertence a todos os M i para i maior que ou igual a n j . Ou n os índices da família finitos máximos n j se i é maior do que n , em seguida, H i contém a família ( m j ) e, por conseguinte, N . Isso mostra que a sequência de submódulos é constante a partir da classificação n e, portanto, estacionária.

Raciocinando por contraposição, supomos, portanto, que um conjunto não vazio F de submódulos não possui um elemento máximo. Iremos definir uma sequência ( M n ) estritamente elementos crescentes de F . Deixe H 0 qualquer elemento de F . Supomos que a seqüência definida na ordem n , M n não é um elemento máximo de F , podemos, portanto, escolher em F um elemento M n +1 contendo estritamente M n . Existe então uma sequência estritamente crescente para inclusão. Por contraposição, a proposição é comprovada.

Sendo a propriedade 3 hereditária ( ou seja, verificada por qualquer submódulo de M assim que for verificada por M ), é suficiente mostrar que qualquer módulo M que a satisfaça é de tipo finito. Considere o conjunto F sub-módulos de tipo finito M . Por hipótese 3, M tem um elemento máxima N . Mostram que M = N . Por construção, N é do tipo finito: existe uma família finita ( f i ) que o gera. Ou m qualquer elemento de H , considerar o submódulo P gerado pela família consistindo de m e f i  : P é, por conseguinte, uma quantidade finita pertence a F . Como N é máxima e P o contém N é igual a P . Conseqüentemente, N contém o vetor m . Como m é qualquer vetor de M , N é igual a M , o que mostra que o módulo M é do tipo finito.

A decomposição dos ideais é mais delicada. No anel comutativo principal ℤ por exemplo, o 12ℤ ideal é igual tanto ao produto dos ideais 2ℤ, 2ℤ e 3ℤ, quanto à interseção dos ideais 2 2 ℤ e 3ℤ (que também é o produto deles). Em um anel comutativo Noetheriano apenas, três propriedades se aproximam dele (a primeira é usada no artigo "  Anel de avaliação discreta  ", a quarta é o teorema de Lasker-Noether ):

Seja A um anel comutativo Noetheriano.

  1. Cada ideal de A contém um produto de ideais primos , ou mais precisamente, qualquer ideal I de A contém um produto de ideais primos contendo I .
  2. Para qualquer ideal de A , existe um número finito de ideais primos mínimos que contêm esse ideal.
  3. Cada raiz ideal de A é uma interseção finita de ideais primos.
  4. Qualquer ideal de A é decomposto, ou seja, uma interseção finita de ideais primários .
  5. Se A for integral, qualquer elemento diferente de zero e não invertível é o produto de um número finito de elementos irredutíveis .
Manifestações

Qualquer endomorfismo sobrejetivo de um módulo Noetherian é um automorfismo.

Exemplos

Primeiros casos

Qualquer campo comutativo é manifestamente noetheriano, pela ausência de ideais não triviais. Todo anel principal também é Noetheriano porque todo ideal é gerado por um elemento único, portanto ℤ, K [ X ] o anel de polinômios com coeficientes em um campo é Noetheriano. Por outro lado, quando possível, é mais fácil estudá-los usando uma divisão euclidiana ou, o que sempre é possível, usando o teorema fundamental da aritmética no âmbito de um fatorial de anel .

Qualquer anel finito é noetheriano, encontramos sua presença, por exemplo, no contexto da geometria algébrica ou teoria dos números algébricos.

Polinômios e séries formais

Um anel de polinômios nem sempre é o principal; ℤ [ X ] é um exemplo já citado. Um anel polinomial em várias variáveis Um [ X , Y ] não é primário, o ideal de polinómios de grau maior do que ou igual a 1 requer dois geradores, indeterminado X e Y .

O seguinte teorema, descoberto por David Hilbert em 1888, às vezes é chamado de teorema da base de Hilbert  :

Seja A um anel comutativo Noetheriano, o anel dos polinômios A [ X ] é Noetheriano.

Pode ser facilmente generalizado (por indução) para o caso de vários indeterminados  :

Deixe que A seja um anel Noetheriano conmutativo e n um inteiro natural, o anel de polinómios Um [ X 1 , ..., X n ] é Noetheriano.

Por outro lado, um anel de polinômios sobre um número infinito de indeterminados nunca é noetheriano (qualquer que seja o anel de coeficientes): a sequência de ideais cujo n- ésimo é gerado por ( X 1 , ..., X n ) está aumentando mas não estacionário.

Como exemplo de uso, pode-se imaginar em geometria uma superfície algébrica S definida como o conjunto de raízes de uma família infinita de polinômios com vários indeterminados e sobre um anel Noetheriano. O teorema da base de Hilbert diz que é suficiente para considerar um conjunto finito de polinômios para S . De fato, o conjunto de polinômios cancelando em S forma um ideal.

Prova do teorema da base de Hilbert

Seja J qualquer ideal de A [ X ]; o objetivo é mostrar que J é do tipo finito, o que provará que A [ X ] é noetheriano.

Seja ( D n ) a sequência de ideais de A definidos por:

Essa sequência ( D n ) é crescente (carro ) e, portanto, constante a partir de um posto r (porque A é noetheriano). A união de todos os D n é, portanto, igual a D r .

Para cada inteiro n , o ideal D n é do tipo finito (porque A é noetheriano), portanto, tem uma família geradora finita ( a n, i ) (o segundo índice, i , atravessa um conjunto finito I n ). Para cada um desses a n, i , seja P n, i um polinômio de J de grau n e de coeficiente dominante igual a a n, i .

Mostram que a família finito ( P n, i ), duplamente indexados por n menos do que ou igual a r e i em que n , gera J . Esta afirmação significa que qualquer polinômio Q de J é expresso como uma combinação linear com coeficientes em A [ X ] desta família ( P n, i ).

Se Q for zero, é imediato. Caso contrário, voltamos a este caso por indução no grau d de Q  : suponha que a família gere todos os polinômios de J de grau estritamente inferior ao inteiro natural d (para d = 0 é adquirido, o único polinômio de grau <0 sendo o polinômio zero). Vamos q ser o coeficiente dominante de Q e s = min ( R , d ). Então q pertence a D d = D s . Existe, conseqüentemente, uma família (μ i ) de elementos de A tal que

A hipótese de indução mostra que Q é gerado pela família ( P n, i ), que encerra a prova.

Por um argumento semelhante (tendo como base os coeficientes diferentes de zero de grau inferior em vez dos coeficientes dominantes), provamos o seguinte teorema (que é generalizado da mesma maneira para vários indeterminados):

Seja A um anel comutativo Noetheriano, o anel da série formal A [[ X ]] é Noetheriano.

Anel de inteiros

Vários exemplos de anéis noetherianos vêm da aritmética por meio do estudo das equações diofantinas , mesmo que seu uso agora vá muito além dessa estrutura. Um exemplo simples é dado pelo teorema dos dois quadrados de Fermat , que envolve o anel gaussiano de inteiros . É o anel de inteiros de um campo quadrático, portanto, como o anel de inteiros de qualquer campo numérico , é um anel de Dedekind e um tipo finito mod-módulo. Em particular, ele é noetheriano. De forma geral :

Ser

Tem um anel comutativo integral, K seu corpo de frações , L uma extensão separável finita de K , e B elementos de anel de L inteiros sobre um .

Se A é noetheriano e integralmente fechado, então B é um módulo A de tipo finito.

(O artigo "  Elemento inteiro  " mostra que B é um anel. Claramente, ele contém A e é comutativo unitário e se integra.) Observe que, de acordo com esta afirmação, B é noetheriano como módulo A, mas também como um anel , uma vez que é um quociente de um anel de polinômios em um número finito de indeterminados com coeficientes em A.

Demonstração

A demonstração aqui proposta utiliza a forma de traço , que também é utilizada para definir o discriminante de um anel . A forma traço de L sobre K é não degenerada, portanto, o determinante Δ de sua matriz M , em uma base ( b 1 ,…, b n ) do espaço vetorial K L , é diferente de zero. Ao seleccionar b k em B , M é mais coeficientes em um . Para concluir, basta verificar que B está incluído no sub- módulo A de L gerado por b 1 / Δ, ..., b n / Δ, usando a fórmula de Laplace  :

No mesmo cadastro, também temos:

Teorema Krull-Akizuki  -  Let A ser um anel conmutativo incorpora Noetheriano cuja primeira diferente de zero ideal é máxima, K seu campo de fracções, L uma extensão finita de K , e B um subanel de L contendo uma . Então B é Noetheriano, e qualquer ideal primo diferente de zero de B é máximo. Além disso, para qualquer ideal diferente de zero J de B , omódulo A B / J é do tipo finito.

Classe de Anéis Noetherianos

A maioria das operações algébricas mantém a noetherianidade. Vamos relembrar e completar os exemplos acima:

Por outro lado, em geral,

Notas e referências

  1. (em) Claude Chevalley, "Sobre a Teoria dos Anéis Locais", The Annals of Mathematics , Segunda Série, Vol. 44, No. 4 (outubro de 1943), pp. 690-708.
  2. Por exemplo, o ideal gerado pelos elementos 2 e X não é principal.
  3. Em um anel principal, não há diferença entre um elemento irredutível e um elemento primo . Porém, em ℤ [ i 5 ], mostramos que 2 é irredutível. No entanto, ele divide (1- i 5 ) (1+ i 5 ) sem dividir nenhum dos dois fatores. Portanto, não é o primeiro. Portanto, ℤ [ i 5 ] não pode ser um ideal principal.
  4. Mesmo assim - Teorema Cohen  (em) - todos os ideais primeiro do anel são finitamente  : cf. N. Bourbaki , Elements of mathematics  : Commutative algebra ( leia online ), capítulo II, § 1, exercício 6.
  5. (in) Serge Lang , Algebra [ edições de varejo ], 1965, pág.  144 .
  6. (in) Michael Artin , Algebra [ detalhes de publicação ], p.  469 .
  7. Nessas duas afirmações, é claro, permitimos repetições do mesmo ideal primo no produto (caso contrário, contra-exemplo, para o segundo: o ideal de múltiplos de 4, no anel de inteiros).
  8. Esta fatoração em geral não é única, mesmo até a multiplicação por invertíveis. Assim, o anel noetheriano A é fatorial se e somente se seus elementos irredutíveis são primos .
  9. (in) Alberto Facchini, Teoria do Módulo: Anéis de endomorfismo e Decomposições de Soma Direta em Algumas Classes de Módulos , Birkhauser , al.  "Progress in Matemática" ( N O  167),1998, 288  p. ( ISBN  978-3-7643-5908-9 , apresentação online ) , p.  46.
  10. As evidências de Hilbert geraram muita controvérsia em sua época. A prova de fato não é construtiva . Gordan , especialista na questão, exclamou: Isso não é matemática, é teologia , ele acaba admitindo essa prova alguns anos depois e disse: Estou convencido de que a teologia também tem suas vantagens (J. Boniface, Hilbert e os noção de existência em matemática , Librairie Philosophique Vrin, 2004, cap. 2, p.  53 e cap. 1, p.  15 ( ISBN  2711616061 ) ).
  11. Lang 1965 , p.  145
  12. Lang 1965 , p.  146-147.
  13. Para resultados mais gerais, cf. Bourbaki AC IX § 4.
  14. (in) David Eisenbud , Commutative Algebra: With a View Toward Algebraic Geometry , Springer al.  "  GTM  " ( N O  150)1995, 785  p. ( ISBN  978-0-387-94269-8 , apresentação online ) , p.  298.
  15. Bourbaki AC VII, § 2, n ° 5, visualização no Google Livros .

Veja também

Artigos relacionados

links externos

Bibliografia