Decomposição primária
A decomposição primária é uma generalização da decomposição de um número inteiro em fatores primos . Esta última decomposição, conhecida desde Gauss (1832) com o nome de teorema fundamental da aritmética , estende-se naturalmente ao caso de um elemento de um anel principal . Uma decomposição mais geral é a de um ideal de um anel Dedekind como um produto de ideais primários ; foi obtido em 1847 por Kummer (no formalismo ainda pesado dos "números ideais") durante sua pesquisa sobre o último teorema de Fermat, então formalizado quase definitivamente por volta de 1871 por Dedekind , a quem devemos a noção de ideal. A decomposição primária, que é o assunto deste artigo, é ainda mais geral; é devido a Lasker que, em um grosso artigo publicado em 1905, considerou a decomposição de ideais de "anéis afins" (isto é, de álgebras de tipo finito sobre um campo comutativo ) e de ideais de anéis de séries convergentes , e Emmy Noether que, em um artigo notável datado de 1921, colocou essa decomposição primária em sua estrutura final, a dos anéis que hoje chamamos de Noetherianos . A teoria de E. Noether foi sobre a decomposição primária de um ideal em um anel Noetherian; Este quadro foi expandido nos elementos matemáticos de Bourbaki onde pela primeira vez foi considerada a decomposição primária de um tipo de módulo sobre um anel noetheriano. Existe uma teoria de decomposição primária em anéis não comutativos chamados firs ( anéis ideais livres ), e em particular em anéis principais não comutativos . No entanto, não há decomposição primária em nenhum anel Noetheriano não comutativo, como Krull mostrou em 1928.
Introdução
Comecemos examinando a fatoração no anel ℤ dos inteiros relativos, o que nos permitirá introduzir algumas noções essenciais. Seja n um número inteiro relativo. Pode ser escrito exclusivamente como
não=±∏1≤eu≤kpeumeu{\ displaystyle n = \ pm \ prod \ limits _ {1 \ leq i \ leq k} p_ {i} ^ {m_ {i}}}onde o são inteiros estritamente positivos e onde o são números primos distintos. Observe o ideal de ℤ gerado por n e o ideal gerado pormeu{\ displaystyle m_ {i}}peu{\ displaystyle p_ {i}}no{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}qeu{\ displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {i}}peumeu.{\ displaystyle p_ {i} ^ {m_ {i}}.}
Os ideais têm a seguinte propriedade: se são tais que , e se , então existe um inteiro tal que (basta pegar ). Uma verificação ideal dessa propriedade é considerada primária .
qeu{\ displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {i}}r,s∈Z{\ displaystyle r, s \ in \ mathbb {Z}}rs∈qeu{\ displaystyle rs \ in {\ mathfrak {q}} _ {i}}r∉qeu{\ displaystyle r \ notin {\ mathfrak {q}} _ {i}}m>0{\ displaystyle m> 0}sm∈qeu{\ displaystyle s ^ {m} \ in {\ mathfrak {q}} _ {i}}m=meu{\ displaystyle m = m_ {i}}
Qualquer um . Esse ideal é primo, pois é gerado por um número primo; mais especificamente ,, e se são tais que e se , então . Esse ideal primordial é chamado de radical de e é observado . O ideal é considerado primário . A decomposição de n em fatores primos acima pode ser escrita
peu=(peu){\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i} = \ left (p_ {i} \ right)}peu⫋Z{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i} \ subsetneqq \ mathbb {Z}}r,s∈Z{\ displaystyle r, s \ in \ mathbb {Z}}rs∈peu{\ displaystyle rs \ in {\ mathfrak {p}} _ {i}}r∉peu{\ displaystyle r \ notin {\ mathfrak {p}} _ {i}}s∈peu{\ displaystyle s \ in {\ mathfrak {p}} _ {i}}peu{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}qeu{\ displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {i}}qeu{\ displaystyle {\ sqrt {{\ mathfrak {q}} _ {i}}}}qeu{\ displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {i}}peu{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}
no=⋂1≤eu≤kqeu{\ displaystyle {\ mathfrak {a}} = \ bigcap \ limits _ {1 \ leq i \ leq k} {\ mathfrak {q}} _ {i}}e essa decomposição é considerada primária . Diz-se que o primeiro ideal está associado a . O conjunto de ideais principais associados a é determinado exclusivamente por . Da mesma forma, o conjunto de ideais primários envolvidos na decomposição primária de é determinado exclusivamente porpeu=qeu{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i} = {\ sqrt {{{\ mathfrak {q}} _ {i}}}}no{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}no{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}no{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}qeu{\ displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {i}}no{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}no.{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}.}
Decomposição primária de um ideal
Decomposição primária e teoremas de unicidade
Agora, vamos passar ao caso geral. A seguir, todos os anéis são comutativos. Ou Um anel e um ideal de Uma . Como acima, diremos que é primário se tiver a seguinte propriedade: se são tais que , e se , então existe um inteiro tal queq{\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}q{\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}r,s∈NO{\ displaystyle r, s \ in A}rs∈q{\ displaystyle rs \ in {\ mathfrak {q}}}r∉q{\ displaystyle r \ notin {\ mathfrak {q}}}m>0{\ displaystyle m> 0}sm∈q.{\ displaystyle s ^ {m} \ in {\ mathfrak {q}}.}
- Por exemplo, os ideais primários em ℤ são e onde p é um número primo e é um inteiro estritamente positivo.(0){\ displaystyle \ left (0 \ right)}(pm){\ displaystyle \ left (p ^ {m} \ right)}m{\ displaystyle m}
O radical de um ideal de A é o conjunto
no{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}
no={x∈NO|∃m∈NÃO:xm∈no}{\ displaystyle {\ sqrt {\ mathfrak {a}}} = \ left \ {x \ in A | \ exists m \ in \ mathbb {N}: x ^ {m} \ in {\ mathfrak {a}} \ direito \}}(onde ℕ é o conjunto de inteiros estritamente positivos). Mostramos que é um ideal, e mais precisamente que se trata da intersecção de todos os ideais primos que contêm, em particular, o radical do ideal primário é o menor que contém o ideal primo . (Vemos aqui uma primeira diferença com o caso particular : um ideal primo diferente de não é mais necessariamente máximo e, portanto, pode existir ideais primos como .) Observe que se for um ideal primo, o ideal gerado por produtos (onde e é um inteiro ) não é necessariamente um ideal primário, embora seu radical seja ; e, inversamente, um ideal primário de um radical não é necessariamente um poder de . Em contraste, os poderes de um ideal máximo são primários.
no{\ displaystyle {\ sqrt {\ mathfrak {a}}}}no.{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}.}q{\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}q.{\ displaystyle {\ mathfrak {q}}.}NO=Z{\ displaystyle A = \ mathbb {Z}}{0}{\ displaystyle \ left \ {0 \ right \}}p,p′{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}, {\ mathfrak {p}} ^ {\ prime}}{0}⫋p⫋p′{\ displaystyle \ left \ {0 \ right \} \ subsetneqq {\ mathfrak {p}} \ subsetneqq {\ mathfrak {p}} ^ {\ prime}}p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}pm{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} ^ {m}}x1...xm{\ displaystyle x_ {1} ... x_ {m}}xeu∈p{\ displaystyle x_ {i} \ in {\ mathfrak {p}}}m{\ displaystyle m}≥2{\ displaystyle \ geq 2}p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}q{\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}} m{\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}m{\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}
Ou Um anel e um ideal de Uma . Uma decomposição primária de é uma expressão
no{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}no{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}
no=⋂1≤eu≤kqeu{\ displaystyle {\ mathfrak {a}} = \ bigcap \ limits _ {1 \ leq i \ leq k} {\ mathfrak {q}} _ {i}}
onde os ideais são primordiais. Se esses ideais são tais que (i) os ideais primos são distintos e (ii) , essa decomposição primária é considerada reduzida . Se admite uma decomposição primária (caso em que dizemos que é decomposto ), podemos reduzir-nos ao caso em que esta se reduz ignorando os termos redundantes e agrupando-os com o mesmo radical, porque se e são dois ideais primários tendo mesmo radical , então é novamente -primário (demonstração fácil).
qeu{\ displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {i}}peu=qeu{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i} = {\ sqrt {{{\ mathfrak {q}} _ {i}}}}qeu⊉⋂j≠euqj{\ displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {i} \ nsupseteq \ bigcap \ nolimits _ {j \ neq i} {\ mathfrak {q}} _ {j}} (1≤eu≤k){\ displaystyle \ left (1 \ leq i \ leq k \ right)}no{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}no{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}qeu{\ displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {i}}q1{\ displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {1}}q2{\ displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {2}}p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}q1∩q2{\ displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {1} \ cap \ mathbf {q} _ {2}}p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}
Pois , denote o conjunto de tal . É imediato que é um ideal e temos o seguinte resultado:
x∈NO{\ displaystyle x \ in A}(no:x){\ displaystyle \ left ({\ mathfrak {a}}: x \ right)}y∈NO{\ displaystyle y \ in A}xy∈no{\ displaystyle xy \ in {\ mathfrak {a}}}(no:x){\ displaystyle \ left ({\ mathfrak {a}}: x \ right)}
Primeiro teorema da unicidade - Suponha que o ideal sejadecomposto e sejauma decomposição primária reduzida de. Qualquer um. Os ideais primáriossão aqueles que fazem parte do conjunto de ideais() e, portanto, são independentes da decomposição particular de.
no{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}no=⋂1≤eu≤kqeu{\ displaystyle {\ mathfrak {a}} = \ bigcap \ nolimits _ {1 \ leq i \ leq k} {\ mathfrak {q}} _ {i}}no{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}peu=qeu{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i} = {\ sqrt {{{\ mathfrak {q}} _ {i}}}} (1≤eu≤k){\ displaystyle \ left (1 \ leq i \ leq k \ right)}peu{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}(no:x){\ displaystyle {\ sqrt {\ left ({\ mathfrak {a}}: x \ right)}}}x∈NO{\ displaystyle x \ in A}no{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}
Como na introdução, vamos dizer que os ideais primos são associados com . Um ideal é primário se, e somente se, tiver um único ideal primário associado a ele. Entre esses ideais primos ( ), existem os mínimos (vimos, de fato, que pode haver, portanto, ideais primos como ). Eles são chamados de ideais primários isolados , os outros sendo chamados de submersos .
peu{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}no{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}q{\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}peu{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}(1≤eu≤k){\ displaystyle \ left (1 \ leq i \ leq k \ right)}p,p′{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}, {\ mathfrak {p}} ^ {\ prime}}{0}⫋p⫋p′{\ displaystyle \ left \ {0 \ right \} \ subsetneqq {\ mathfrak {p}} \ subsetneqq {\ mathfrak {p}} ^ {\ prime}}
Nós temos o seguinte resultado:
Segundo teorema da unicidade - Let Serum ideal decomponível,uma decomposição primária reduzida de, eum conjunto de ideais primos isolados associados com. Entãoé independente da decomposição.
no{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}no=⋂1≤eu≤kqeu{\ displaystyle {\ mathfrak {a}} = \ bigcap \ nolimits _ {1 \ leq i \ leq k} {\ mathfrak {q}} _ {i}}no{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}{peu1,...,peur}{\ displaystyle \ left \ {{\ mathfrak {p}} _ {i_ {1}}, ..., {\ mathfrak {p}} _ {i_ {r}} \ right \}}no{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}qeu1∩...∩qeur{\ displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {i_ {1}} \ cap ... \ cap {\ mathfrak {q}} _ {i_ {r}}}
Diz- se que um anel A é lasseriano se algum ideal de A puder ser decomposto.
Teorema Lasker-Noether - Um anel Noetherian é Laskerian.
Interpretação em geometria algébrica
A terminologia usada acima vem da geometria algébrica : seja k um campo comutativo algebraicamente fechado e um ideal de . Este ideal é do tipo finito, pois de acordo com o teorema da base de Hilbert , o anel A é noetheriano. O conjunto de tal que para qualquer polinômio é um conjunto algébrico em “espaço afim” ; esse conjunto algébrico está associado ao ideal e é anotado . O teorema dos zeros de Hilbert mostra isso , daí a importância dos radiciels ideais , a saber, aqueles que são iguais à sua raiz. Para qualquer conjunto algébrico , denote o ideal de raiz (determinado exclusivamente) tal que . (Para esclarecer o que acaba de ser dito, a aplicação do conjunto de ideais radiais de A para o conjunto de subconjuntos algébricas de , esses conjuntos serem ordenados por inclusão, é uma bijeção diminuindo cujo recíproco bijection é .) Um conjunto algébrico é dito será irredutível se não for vazio e se não for uma união de dois subconjuntos algébricos e distintos de . Um conjunto algébrico irredutível é chamado de variedade algébrica . Um conjunto algébrico pode ser expresso como a união de um número finito de variedades algébricas , ..., exclusivamente determinado se a condição para for necessária . Eles são então chamados de componentes irredutíveis de . Um conjunto algébrico é irredutível se, e somente se, o ideal for primo. Os ideais primos isolados correspondem aos componentes irredutíveis de enquanto os ideais primos imersos correspondem a variedades imersas nos componentes irredutíveis. Sejam ( ) os ideais primos isolados associados ao ideal ; temos onde estão os componentes irredutíveis de .
no{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}NO=k[X1,...,Xnão]{\ displaystyle A = k \ left [X_ {1}, ..., X_ {n} \ right]}(x1,...,xnão)∈knão{\ displaystyle \ left (x_ {1}, ..., x_ {n} \ right) \ in k ^ {n}}f(x1,...,xnão)=0{\ displaystyle f \ left (x_ {1}, ..., x_ {n} \ right) = 0}f∈no{\ displaystyle f \ in {\ mathfrak {a}}}knão{\ displaystyle k ^ {n}}no{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}Z(no){\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {a}} \ right)}Z(no)=Z(no){\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {a}} \ right) = {\ mathcal {Z}} \ left ({\ sqrt {\ mathfrak {a}}} \ right)}V{\ displaystyle V}eu(V){\ displaystyle {\ mathfrak {I}} \ left (V \ right)}no{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}Z(no)=V{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {a}} \ right) = V}no↦Z(no){\ displaystyle {\ mathfrak {a}} \ mapsto {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {a}} \ right)}knão{\ displaystyle k ^ {n}}V↦eu(V){\ displaystyle V \ mapsto {\ mathfrak {I}} \ left (V \ right)}V∈knão{\ displaystyle V \ in k ^ {n}}V1{\ displaystyle V_ {1}}V2{\ displaystyle V_ {2}}V{\ displaystyle V}V{\ displaystyle V}V1{\ displaystyle V_ {1}}Vr{\ displaystyle V_ {r}}Veu⊉Vj{\ displaystyle V_ {i} \ nsupseteq V_ {j}}eu≠j{\ displaystyle i \ neq j}Veu{\ displaystyle V_ {i}}V{\ displaystyle V}V=Z(no){\ displaystyle V = {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {a}} \ right)}eu(V){\ displaystyle {\ mathfrak {I}} \ left (V \ right)}V{\ displaystyle V}peu{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}1≤eu≤k′{\ displaystyle 1 \ leq i \ leq k '}no{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}Z(no)=⋃1≤eu≤k′Z(peu){\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {a}} \ right) = \ bigcup \ nolimits _ {1 \ leq i \ leq k ^ {\ prime}} {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {p}} _ {i} \ right)}Z(peu){\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {p}} _ {i} \ right)}Z(no){\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {a}} \ right)}
-
Exemplo : Let , , , . O conjunto algébrico é a linha ; é uma variedade que coincide com , enquanto é o conjunto , ou seja, a origem. Tudo desaparece no com uma multiplicidade originalmente, e, inversamente, todos com esta propriedade é um múltiplo , . Temos as duas decomposições primárias reduzidas distintas , o que mostra que não há exclusividade da decomposição primária reduzida. O primeiro ideal está submerso, o que corresponde ao fato de o primeiro ideal , por outro lado, estar isolado. Observe que, embora o ideal não seja primário, o conjunto algébrico é uma variedade algébrica. Observe também que é um exemplo de um ideal primário que não é uma potência de seu radical .NO=k[X,Y]{\ displaystyle A = k \ left [X, Y \ right]}no=(X2,XY){\ displaystyle {\ mathfrak {a}} = \ left (X ^ {2}, XY \ right)}p1=(X){\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {1} = \ left (X \ right)}p2=(X,Y){\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {2} = \ left (X, Y \ right)}Z(no){\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {a}} \ right)}x=0{\ displaystyle x = 0}Z(p1){\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {p}} _ {1} \ right)}Z(p2){\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {p}} _ {2} \ right)}x=0,y=0{\ displaystyle x = 0, y = 0}f∈no{\ displaystyle f \ in {\ mathfrak {a}}}x=0{\ displaystyle x = 0}≥2{\ displaystyle \ geq 2}f∈NO{\ displaystyle f \ in A}gX{\ displaystyle gX}g∈p2{\ displaystyle g \ in {\ mathfrak {p}} _ {2}}no=p1∩p22=p1∩(X2,Y){\ displaystyle {\ mathfrak {a}} = {\ mathfrak {p}} _ {1} \ cap {\ mathfrak {p}} _ {2} ^ {2} = {\ mathfrak {p}} _ {1 } \ cap \ left (X ^ {2}, Y \ right)}p2{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {2}}Z(p2)=(0,0)⊊Z(p1).{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {p}} _ {2} \ right) = \ left (0,0 \ right) \ varsubsetneq {\ mathcal {Z}} \ left ({ \ mathfrak {p}} _ {1} \ right).}p1{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {1}}no{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}Z(no){\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {a}} \ right)}(X2,Y){\ displaystyle \ left (X ^ {2}, Y \ right)}(X,Y){\ displaystyle \ left (X, Y \ right)}
Spec, Supp e Ass
A seguir, A denota um anel comutativo.
Espectro principal de um anel
Deixe- X do conjunto de ideais primos de A . Para cada subconjunto P de A incluem todos os ideais primos de um contendo P . Se for o ideal gerado por P , temos , e este conjunto ainda é igual a . A aplicação é decrescente para a inclusão de relações em X e A . Era , e é facilmente mostrado que as partes são conjuntos fechados de uma topologia em X , chamada de topologia de Zariski .
V(P){\ displaystyle {\ mathcal {V}} \ left (P \ right)}no{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}V(P)=V(no){\ displaystyle {\ mathcal {V}} \ left (P \ right) = {\ mathcal {V}} \ left ({\ mathfrak {a}} \ right)}V(no){\ displaystyle {\ mathcal {V}} \ left ({\ sqrt {\ mathfrak {a}}} \ right)}P↦V(P){\ displaystyle P \ mapsto {\ mathcal {V}} \ left (P \ right)}V(0))=X{\ displaystyle {\ mathcal {V}} \ left (0) \ right) = X}V(NO)=0{\ displaystyle {\ mathcal {V}} \ left (A \ right) = 0}V(P){\ displaystyle {\ mathcal {V}} \ left (P \ right)}
Este conjunto X , fornecido com a topologia de Zariski, é chamado de espectro principal de A e é denotado .
Spevs(NO){\ displaystyle Spec \ left (A \ right)}
Suporte de um módulo
Ou M um A -module e um ideal primo de um .
p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}
O conjunto é uma parte multiplicativa de A , a saber, se , então (na verdade, se , então ou , por definição de um ideal primo). Pode-se assim formar as porções de anel consistindo de fracções , , , isto é o anel de fracções , , . Lembre-se que se, e somente se houver tal que .
S=NO-p{\ displaystyle S = A - {\ mathfrak {p}}}s,t∈S{\ displaystyle s, t \ in S}st∈S{\ displaystyle st \ in S}st∈p{\ displaystyle st \ in {\ mathfrak {p}}}s∈p{\ displaystyle s \ in {\ mathfrak {p}}}t∈p{\ displaystyle t \ in {\ mathfrak {p}}} S-1NO=NOp{\ displaystyle S ^ {- 1} A = A _ {\ mathfrak {p}}}x/s{\ displaystyle x / s}x∈NO{\ displaystyle x \ in A}s∈S{\ displaystyle s \ in S}x/s{\ displaystyle x / s}x∈NO{\ displaystyle x \ in A}s∉p{\ displaystyle s \ notin {\ mathfrak {p}}}x/s=0{\ displaystyle x / s = 0}t∈NO-p{\ displaystyle t \ in A - {\ mathfrak {p}}}tx=0{\ displaystyle tx = 0}
Denotamos o produto tensorial , que é canonicamente dotado de uma estrutura -módulo. Qualquer elemento de está na forma . Para que seja zero, é necessário e suficiente que exista tal .
Mp{\ displaystyle M _ {\ mathfrak {p}}}NOp⊗M{\ displaystyle A _ {\ mathfrak {p}} \ otimes M}NOp{\ displaystyle A _ {\ mathfrak {p}}}Mp{\ displaystyle M _ {\ mathfrak {p}}}m/s{\ displaystyle m / s} (m∈M,s∈NO-p){\ displaystyle \ left (m \ in M, s \ in A - {\ mathfrak {p}} \ right)}m/s{\ displaystyle m / s}t∈NO-p{\ displaystyle t \ in A - {\ mathfrak {p}}}sm=0{\ displaystyle sm = 0}
Chamamos suporte de M , e denotamos pelo conjunto de ideais primos de A tal que .
Svocêpp(M){\ displaystyle Supp \ left (M \ right)}p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}Mp≠0{\ displaystyle M _ {\ mathfrak {p}} \ neq 0}Para qualquer submódulo N de M , denote o cancelador de N , ou seja, o ideal composto pelos elementos a de A tal que , e denote o cancelador de Am . Indicamos, sem ser exaustivos, algumas propriedades do suporte:
NOnãonão(NÃO){\ displaystyle Ann \ left (N \ right)}noNÃO=0{\ displaystyle aN = 0}NOnãonão(m){\ displaystyle Ann \ left (m \ right)}
Propriedades de suporte -
(eu)
Svocêpp(M)=⋃m∈MV(NOnãonão(m)).{\ displaystyle Supp \ left (M \ right) = \ bigcup \ limits _ {m \ in M} {\ mathcal {V}} \ left (Ann \ left (m \ right) \ right).(Ii) Em particular, se M é do tipo finito, temos e este conjunto é fechado emSvocêpp(M)=V(NOnãonão(M)){\ displaystyle Supp \ left (M \ right) = {\ mathcal {V}} \ left (Ann \ left (M \ right) \ right)}Spevs(NO).{\ displaystyle Spec \ left (A \ right).}
(iii) se, e somente seM≠{0}{\ displaystyle M \ neq \ left \ {0 \ right \}}Svocêpp(M)≠∅.{\ displaystyle Supp \ left (M \ right) \ neq \ varnothing.}
(iv) Se , entãop∈Svocêpp(M){\ displaystyle {\ mathfrak {p}} \ in Supp \ left (M \ right)}V(p)⊂Svocêpp(M).{\ displaystyle {\ mathcal {V}} \ left ({\ mathfrak {p}} \ right) \ subset Supp \ left (M \ right).}
Demonstração
(i): Temos se, e somente se não houver t em e m em M tal que . Isso equivale a dizer que se , então , ou que if ( ), então , ainda é para tudo . Isso prova que
Mp≠0{\ displaystyle M _ {\ mathfrak {p}} \ neq 0}NO-p{\ displaystyle A - {\ mathfrak {p}}}tm=0{\ displaystyle tm = 0}tm=0{\ displaystyle tm = 0}t∈p{\ displaystyle t \ in {\ mathfrak {p}}}t∈NOnãonão(m){\ displaystyle t \ in Ann \ left (m \ right)}m∈M{\ displaystyle m \ in M}t∈p{\ displaystyle t \ in {\ mathfrak {p}}}NOnãonão(m)⊂p{\ displaystyle Ann \ left (m \ right) \ subset {\ mathfrak {p}}}m∈M{\ displaystyle m \ in M}
Svocêpp(M)=⋃m∈MV(NOnãonão(m)){\ displaystyle Supp \ left (M \ right) = \ bigcup \ limits _ {m \ in M} {\ mathcal {V}} \ left (Ann \ left (m \ right) \ right)}.
(ii): Se M é do tipo finito, gerado por , então
m1,...,mk{\ displaystyle m_ {1}, ..., m_ {k}}
⋃m∈MV(NOnãonão(m))=⋃1≤eu≤kV(NOnãonão(mk))=V(NOnãonão(M)){\ displaystyle \ bigcup \ limits _ {m \ in M} {\ mathcal {V}} \ left (Ann \ left (m \ right) \ right) = \ bigcup \ limits _ {1 \ leq i \ leq k} {\ mathcal {V}} \ left (Ann \ left (m_ {k} \ right) \ right) = {\ mathcal {V}} \ left (Ann \ left (M \ right) \ right)},
conjunto que é fechado por definição da topologia de Zariski.
Spevs(NO){\ displaystyle Spec \ left (A \ right)}
(iii): Se existe em M , então existe um ideal máximo contendo de acordo com o teorema de Krull . Este ideal máximo é primo, portanto . O oposto é óbvio.
m≠0{\ displaystyle m \ neq 0}p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}NOnãonão(m){\ displaystyle Ann \ left (m \ right)}Svocêpp(M)⊃V(NOnãonão(m))≠∅{\ displaystyle Supp \ left (M \ right) \ supset {\ mathcal {V}} \ left (Ann \ left (m \ right) \ right) \ neq \ varnothing}
(iv): Se e , então a partir da prova de (i).
p∈Svocêpp(M){\ displaystyle {\ mathfrak {p}} \ in Supp \ left (M \ right)}p′⊃p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} ^ {\ prime} \ supset {\ mathfrak {p}}}p′∈Svocêpp(M){\ displaystyle {\ mathfrak {p}} ^ {\ prime} \ in Supp \ left (M \ right)}
-
Exemplo : Considerando o anel A como um módulo sobre si mesmo, temos . Mais geralmente, seja um ideal de A ; então .Svocêpp(NO)=Spevs(NO){\ displaystyle Supp \ left (A \ right) = Spec \ left (A \ right)}no{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}Svocêpp(NO/no)=V(no){\ displaystyle Supp \ left (A / {\ mathfrak {a}} \ right) = {\ mathcal {V}} \ left ({\ mathfrak {a}} \ right)}
Ideais principais associados a um módulo
Seja A um anel e M um módulo A. Dizemos que um ideal primo está associado a M se existe um elemento m de M tal que . Observe o conjunto de ideais primos associados M .
p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}p=NOnãonão(m){\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = Ann \ left (m \ right)}NOss(M){\ displaystyle Ass \ left (M \ right)}-
Exemplo : Seja k um campo comutativo algebricamente fechado e um subconjunto algébrico de (veja acima ). Uma função é considerada regular ativada se for a restrição a uma função polinomial ativada . Observe o toque de funções regulares ativado . Duas funções polinomiais têm a mesma restrição sobre se, e somente se sua diferença pertence a ; portanto, é isomorfo à álgebra , e pode ser identificado com ela (esta álgebra é reduzida, isto é, seu nilradical é reduzido a ). Sejam , ..., os componentes irredutíveis de . Os ideais principais associados são os ideais , ..., . Esses são, portanto, os ideais primordiais isolados já mencionados.NO=k[X1,...,Xnão]{\ displaystyle A = k \ left [X_ {1}, ..., X_ {n} \ right]}V{\ displaystyle V}knão{\ displaystyle k ^ {n}}f:V→k{\ displaystyle f: V \ rightarrow k}V{\ displaystyle V}V{\ displaystyle V}knão{\ displaystyle k ^ {n}}NO(V){\ displaystyle \ mathbf {A} \ left (V \ right)}V{\ displaystyle V}V{\ displaystyle V}no=eu(V){\ displaystyle {\ mathfrak {a}} = {\ mathfrak {I}} \ left (V \ right)}NO(V){\ displaystyle \ mathbf {A} \ left (V \ right)}NO/no{\ displaystyle A / {\ mathfrak {a}}}{0}{\ displaystyle \ left \ {0 \ right \}}V1{\ displaystyle V_ {1}}Vr{\ displaystyle V_ {r}}V{\ displaystyle V}NO/no{\ displaystyle A / {\ mathfrak {a}}}eu(V1){\ displaystyle {\ mathfrak {I}} \ left (V_ {1} \ right)}eu(Vr){\ displaystyle {\ mathfrak {I}} \ left (V_ {r} \ right)}
Sim então . Por outro lado, se A for noetheriano e , então . Se A é noetheriano e M é do tipo finito, então é finito.
M={0}{\ displaystyle M = \ left \ {0 \ right \}}NOss(M)=∅{\ displaystyle Ass \ left (M \ right) = \ varnothing}NOss(M)=∅{\ displaystyle Ass \ left (M \ right) = \ varnothing}M={0}{\ displaystyle M = \ left \ {0 \ right \}}NOss(M){\ displaystyle Ass \ left (M \ right)}
Relação entre Supp e Ass
Mostramos o seguinte: Qualquer ideal primo de A contendo um elemento de pertence a . Se A é noetheriano, inversamente, todo ideal contém um elemento de . Nesse caso, esses dois conjuntos têm os mesmos elementos mínimos, e estes últimos coincidem com os elementos mínimos do conjunto de ideais primos que os contém .
p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}NOss(M){\ displaystyle Ass \ left (M \ right)}Svocêpp(M){\ displaystyle Supp \ left (M \ right)}p∈Svocêpp(M){\ displaystyle {\ mathfrak {p}} \ in Supp \ left (M \ right)}NOss(M){\ displaystyle Ass \ left (M \ right)}NOss(M)⊂Svocêpp(M){\ displaystyle Ass \ left (M \ right) \ subset Supp \ left (M \ right)}NOnãonão(M){\ displaystyle Ann \ left (M \ right)}
Se A é noetheriano e M é do tipo finito, temos
NOnãonão(M)=⋂p∈Svocêpp(M)p=⋂p∈NOss(M)p.{\ displaystyle {\ sqrt {Ann \ left (M \ right)}} = \ bigcap \ limits _ {{\ mathfrak {p}} \ in Supp \ left (M \ right)} {\ mathfrak {p}} = \ bigcap \ limits _ {{\ mathfrak {p}} \ in Ass \ left (M \ right)} {\ mathfrak {p}}.}
Decomposição primária de um módulo
Submódulos primários
Seja M um módulo A e Q um submódulo próprio de M (isto é, um submódulo de M diferente de M ). Dizemos que Q é -primário em M se a seguinte condição for satisfeita: se e são tais que e , então , onde está o ideal primo . Dizemos que o ideal primeiro pertence ao módulo principal Q .
p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}no∈NO{\ displaystyle a \ in A}m∈M{\ displaystyle m \ in M}nom∈Q{\ displaystyle am \ in Q}m∉Q{\ displaystyle m \ notin Q}no∈p.{\ displaystyle a \ in {\ mathfrak {p}}.}p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}NOnãonão(M/Q){\ displaystyle {\ sqrt {Ann \ left (M / Q \ right)}}}p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}} Observe que se, e somente se existe um inteiro s tal que , ie . Se o anel A é Noetheriano, o ideal é do tipo finito, então s pode ser considerado independente de a , e essa condição é, portanto, equivalente a .
no∈p{\ displaystyle a \ in {\ mathfrak {p}}}nos∈NOnãonão(M/Q){\ displaystyle a {^ {s}} \ in Ann (M / Q)}nosM⊂Q{\ displaystyle a {^ {s}} M \ subconjunto Q}p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}psM⊂Q{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} {^ {s}} M \ subconjunto Q}
- Suponha A noetherian e M de tipo finito. Então Q é -primário em M se, e somente se for co - primário , isto é , é reduzido a um único elemento, viz .p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}M/Q{\ displaystyle M / Q}NOss(M/Q){\ displaystyle Ass (M / Q)}NOss(M/Q)={p}{\ displaystyle Ass \ left (M / Q \ right) = \ left \ {{\ mathfrak {p}} \ right \}}
- Seja M um módulo e submódulos que são primários (para o mesmo ). Então é primário.Q1,...,Qr{\ displaystyle Q_ {1}, ..., Q_ {r}}p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}Q1∩...∩Qr{\ displaystyle Q_ {1} \ cap ... \ cap Q_ {r}}p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}
- Dizemos que um submódulo N de M é irredutível se não pode ser escrito na forma com . Se A é um anel Noetheriano, então um submódulo irredutível de M é um submódulo primário.NÃO=NÃO1∩NÃO2{\ displaystyle N = N_ {1} \ cap N_ {2}}NÃOeu≠NÃO{\ displaystyle N_ {i} \ neq N}
Decomposição primária
Ou M um módulo e N um sub-módulo M . Dizemos que N admite uma decomposição primária em M se N pode ser escrito como uma interseção finita de submódulos primários em M :
NÃO=Q1∩...∩Qr{\ displaystyle N = Q_ {1} \ cap ... \ cap Q_ {r}}.
Usando a propriedade mencionada acima, podem ser agrupados são -primários para o mesmo , e então eliminar os elementos redundantes para obter uma decomposição primária onde os ideais primos pertencentes a diferentes são todos distintos. Diz-se que essa decomposição primária é reduzida . Seja uma decomposição primária reduzida, seja o ideal primo pertencente a Si ( ), dizemos que o ideal primo está isolado (e que está imerso no caso oposto). O seguinte resultado generaliza os dois teoremas de unicidade declarados acima:
Qeu{\ displaystyle Q_ {i}}p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}Qeu{\ displaystyle Q_ {i}}NÃO=Q1∩...∩Qr{\ displaystyle N = Q_ {1} \ cap ... \ cap Q_ {r}}peu{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}Qeu.{\ displaystyle Q_ {i}.}peu⊉pj{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i} \ nsupseteqq {\ mathfrak {p}} _ {j}}eu≠j{\ displaystyle i \ neq j}peu{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}
Teorema da unicidade da decomposição primária -
Seja N um submódulo de M e
NÃO=Q1∩...∩Qr=Q1′∩...∩Qs′{\ displaystyle N = Q_ {1} \ cap ... \ cap Q_ {r} = Q_ {1} ^ {\ prime} \ cap ... \ cap Q_ {s} ^ {\ prime}}duas decomposições primárias reduzidas por N .
(i) Então, e o conjunto de ideais primos pertencentes a coincide com o conjunto de ideais primos pertencentes a (esses ideais primos são, portanto, exclusivamente determinados).
r=s{\ displaystyle r = s}Q1,...,Qr{\ displaystyle Q_ {1}, ..., Q_ {r}}Q1′,...,Qs′{\ displaystyle Q_ {1} ^ {\ prime}, ..., Q_ {s} ^ {\ prime}}
(ii) Se é o conjunto de ideais primos isolados pertencentes a essas decomposições, então porque , em outras palavras, os módulos primários correspondentes a ideais primos isolados são únicos.
{p1,...,pm}{\ displaystyle \ left \ {{\ mathfrak {p}} _ {1}, ..., {\ mathfrak {p}} _ {m} \ right \}}Qeu=Qeu′{\ displaystyle Q_ {i} = Q_ {i} ^ {\ prime}}eu=1,...,m{\ displaystyle i = 1, ..., m}
Um A -módulo M é chamado de Laskeriano se for do tipo finito e se algum submódulo de M admitir uma decomposição primária.
Teorema Lasker-Noether - Se A é um anel Noetheriano, qualquermódulo finito do tipo A é Laskeriano.
Observe novamente o seguinte ponto:
Propriedade de decomposição primária reduzida - Se A for um anel Noetheriano e
NÃO=Q1∩...∩Qr{\ displaystyle N = Q_ {1} \ cap ... \ cap Q_ {r}},
NOss(M/Qeu)={peu}{\ displaystyle Ass \ left (M / Q_ {i} \ right) = \ left \ {{\ mathfrak {p}} _ {i} \ right \}}
é uma decomposição primária reduzida de um submódulo adequado N de M , entãoNOss(M/NÃO)={p1,...,pr}.{\ displaystyle Ass \ left (M / N \ right) = \ left \ {{\ mathfrak {p}} _ {1}, ..., {\ mathfrak {p}} _ {r} \ right \}. }
Esta decomposição primária reduzida pode, portanto, ser escrita na forma
NÃO=⋂p∈NOss(M/NÃO)Q(p){\ displaystyle N = \ bigcap \ limits _ {{\ mathfrak {p}} \ in Ass \ left (M / N \ right)} Q \ left ({\ mathfrak {p}} \ right)}onde para todos , é -primary em H .
p∈NOss(M/NÃO){\ displaystyle {\ mathfrak {p}} \ in Ass \ left (M / N \ right)}Q(p){\ displaystyle Q \ left ({\ mathfrak {p}} \ right)}p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}
Também temos o resultado abaixo, que generaliza o teorema de estrutura de grupos cíclicos :
Mergulhando o quociente em uma soma direta - Considere a decomposição primária reduzida acima. Existe um monomorfismo
M/NÃO↪⨁p∈NOss(M/NÃO)M/Q(p).{\ displaystyle M / N \ hookrightarrow \ bigoplus \ limits _ {{\ mathfrak {p}} \ in Ass \ left (M / N \ right)} M / Q \ left ({\ mathfrak {p}} \ right) .}Se A é um anel principal e N é um ideal de A , esse monomorfismo é um isomorfismo .
M=NO{\ displaystyle M = A}
Demonstração
Qualquer um . Uma vez que existe um mapa linear induzido
f:M→Mr:m↦(m,...,m){\ displaystyle f: M \ rightarrow M ^ {r}: m \ mapsto \ left (m, ..., m \ right)}NÃO=⋂1≤eu≤rQeu{\ displaystyle N = \ bigcap \ nolimits _ {1 \ leq i \ leq r} Q_ {i}}
f¯:M/NÃO→Mr/∏1≤eu≤rQeu≅⨁1≤eu≤rM/Qeu{\ displaystyle {\ bar {f}}: M / N \ rightarrow M ^ {r} / \ prod \ nolimits _ {1 \ leq i \ leq r} Q_ {i} \ cong \ bigoplus _ {1 \ leq i \ leq r} M / Q_ {i}}que é injetiva. No caso em que é um anel principal, cada um tem a forma em
que é primo em A e onde é um inteiro. Temos então para , do qual segue que é sobrejetora de acordo com o teorema do resto chinês .
M=NO{\ displaystyle M = A}Qeu{\ displaystyle Q_ {i}}(peumeu){\ displaystyle \ left (p_ {i} ^ {m_ {i}} \ right)}peu{\ displaystyle p_ {i}}meu≥1{\ displaystyle m_ {i} \ geq 1}Qeu+Qj=NO{\ displaystyle Q_ {i} + Q_ {j} = A}eu≠j{\ displaystyle i \ neq j}f¯{\ displaystyle {\ bar {f}}}
Interpretação em geometria algébrica
Terminemos com uma interpretação da decomposição primária de um módulo à luz da geometria algébrica. As notações são as mesmas da primeira interpretação dada acima sobre a decomposição primária de um ideal. Deixe- H ser um A -module, N um sub-módulo de H , e . Ou então ; este conjunto algébrico está associado ao módulo . Ao posar como acima , temos onde . Então, ao posar , temos
no=NOnãonão(M/NÃO){\ displaystyle {\ mathfrak {a}} = Ann \ left (M / N \ right)}p=no{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = {\ sqrt {\ mathfrak {a}}}}V=Z(p){\ displaystyle V = {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {p}} \ right)}M/NÃO{\ displaystyle M / N}NOss(M/NÃO)={p1,...,pr}{\ displaystyle Ass \ left (M / N \ right) = \ left \ {{\ mathfrak {p}} _ {1}, ..., {\ mathfrak {p}} _ {r} \ right \}}p=⋂1≤eu≤rpeu{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = \ bigcap \ nolimits _ {1 \ leq i \ leq r} {\ mathfrak {p}} _ {i}}NOss(M/Qeu)={peu}{\ displaystyle Ass \ left (M / Q_ {i} \ right) = \ left \ {{\ mathfrak {p}} _ {i} \ right \}}Veu=Z(peu){\ displaystyle V_ {i} = {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {p_ {i}}} \ right)}
V=⋃1≤eu≤rVeu{\ displaystyle V = \ bigcup \ nolimits _ {1 \ leq i \ leq r} V_ {i}}.
Se os ideais primos são todos isolados, variedades algébricas são os componentes irredutíveis do conjunto algébrica V . A dimensão do conjunto algébrico V é definida como sendo sua dimensão Krull (como um espaço topológico, quando é dotado da topologia de Zariski).
peu{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}Veu{\ displaystyle V_ {i}}
Se e , temos , conseqüentemente, a segunda interpretação dada aqui generaliza a primeira.
M=NO{\ displaystyle M = A}NÃO=no{\ displaystyle N = {\ mathfrak {a}}}no=NOnãonão(M/NÃO){\ displaystyle {\ mathfrak {a}} = Ann \ left (M / N \ right)}
Notas, referências e bibliografia
Notas e referências
-
Gauss 1832.
-
Kummer 1847.
-
Bourbaki 2006a, “Commutative Algebra. Teoria dos números algébricos ”.
-
Dedekind 1876.
-
Lasker 1905.
-
Noether 1921.
-
Bourbaki 2006b (primeira edição: 1961).
-
Cohn 2006, §3.5.
-
Para obter mais detalhes, consulte L. Lesieur e R. Croisot 1963.
-
Atiyah e Macdonald 1969, Prop. 1,14.
-
Atiyah e Macdonald 1969, Prop. 4.2.
-
Atiyah e Macdonald 1969, Thm. 4.5.
-
Atiyah e Macdonald 1969, Thm. 4,10.
-
Bourbaki 2006b, §IV.2, Exerc. 23
-
Podemos especificar que é uma variedade algébrica afim . Alguns autores chamam de variedade algébrica o que aqui chamamos de conjunto algébrico , de acordo com a terminologia usada por Hartshorne (1977) e Lang (2002).
-
Hartshorne 1977, Prop. 1.5 e Cor. 1.6.
-
Hartshorne 1977, Cor. 1.4.
-
Atiyah e Macdonald 1969, cap. 4; Reid 1995, § 7.10; Eisenbud 1999, §3.8.
-
Bourbaki 2006b, n ° II.4.3.
-
Bourbaki 2006b, n ° II.2.2.
-
Dieudonné 1974, §I.2; Eisenbud 1999, §1.6. Para outros autores, por exemplo Hartshorne 1977, §I.3, a noção de função regular é diferente.
-
Bourbaki 2006b, n ° IV.1.1.
-
Bourbaki 2006b, n ° IV.1.4, Cor. de Thm. 2.
-
Bourbaki 2006b, n ° IV.1.3, Prop. 7 e Cor. 1; n ° IV.1.4, Thm. 2
-
Lang 2002, §X.2.
-
Matsumura 1999, §6.
-
Matsumura 1999, Exerc. 6,8.
-
Lang 2002, cap. X, Prop. 3.1.
-
Matsumura 1999, Thm. 6.8.
-
Lang 2002, cap. X, Thm. 3.2.
-
Matsumura 1999, Thm.6.8; Bourbaki 2006b, §IV.2, Thm.1.
Bibliografia
- (pt) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald , Introdução à Álgebra Comutativa , Addison-Wesley,1969, 138 p. ( leia online )
- Nicolas Bourbaki , Elements of History of Mathematics , Springer, 2006a, 380 p. ( ISBN 978-3-540-33938-0 e 3-540-33938-8 )
- N. Bourbaki , Elements of mathematics , Commutative algebra, Capítulos 1 a 4 , Springer, 2006b, 356 p. ( ISBN 978-3-540-33937-3 e 3-540-33937-X )
- (pt) Paul Moritz Cohn , Free Ideal Rings and Localization in General Rings , Cambridge (GB), Cambridge University Press,2006, 572 p. ( ISBN 0-521-85337-0 )
- Richard Dedekind , “ Sobre a teoria dos inteiros algébricos ”, Boletim de ciências matemáticas e astronômicas , vol. 11,1876, p. 278-288 ( ler online )
- Jean Dieudonné , Curso de geometria algébrica. 2) Preciso de geometria algébrica elementar , Presses Universitaires de France,1974, 219 p. ( ISBN 2-13-032711-7 )
- (pt) David Eisenbud , Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry , Springer,1999, 813 p. ( ISBN 0-387-94269-6 )
- (la) Carl Friedrich Gauss , " Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda " , Commentationes novae ,1832( leia online )
- (en) Robin Hartshorne , Algebraic Geometry , New York / Berlin / Paris etc., Springer Verlag,1977, 496 p. ( ISBN 0-387-90244-9 )
- (de) Ernst Kummer , “ Beweis des Fermat'schen Satzes der Unmöglichkeit von x λ + y λ = z λ für eine unendliche Anzahl Primzahlen λ ” , Monatsber. Akad. d. Wiss. Berlim ,1847, p. 132-139, 140-141, 305-319
- Serge Lang , Algebra [ detalhe das edições ]
- (de) Emanuel Lasker , “ Zur Theorie der Moduln und Ideale ” , Mathematische Annalen , vol. 60,1905, p. 20-116 ( DOI 10.1007 / BF01447495 )
- L. Lesieur e R. Croisot , “ Non-commutative Noetherian algebra ”, Memorial of mathematical sciences , vol. 154,1963, p. 1-119 ( ler online )
- (de) Emmy Noether , “ Idealtheorie in Ringbereichen ” , Mathematische Annalen , vol. 83, n o 1,1921, p. 20-116 ( DOI 10.1007 / BF01464225 )
- (en) Hideyuki Matsumura , Commutative Ring Theory , Cambridge, Cambridge University Press,1989, 320 p. ( ISBN 0-521-36764-6 )
- (en) Miles Reid , Graduação em Álgebra Comutativa , Cambridge, Cambridge University Press,1995, 153 p. ( ISBN 0-521-45889-7 )
Veja também
Artigos relacionados