O axioma da escolha contável , denotado AC ω, é um axioma da teoria dos conjuntos que afirma que qualquer conjunto contável de conjuntos não vazios deve ter uma função de escolha , ou seja, para qualquer resultado ( A ( n )) de conjuntos não vazios, existe é uma função de f conjunto com N (o conjunto de números naturais ) como f ( n ) ∈ um ( n ) para todos os n ∈ N .
O axioma da escolha contável (AC ω ) é estritamente mais fraco do que o axioma da escolha dependente (DC), que por sua vez é mais fraco do que o axioma da escolha (AC). Paul Cohen mostrou que AC ω não é demonstrável na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) sem o axioma da escolha. AC ω é verdadeiro no modelo de Solovay (en) .
ZF + AC ω é suficiente para provar que a união de uma família contável de conjuntos contáveis é contável. Também é suficiente provar que qualquer conjunto infinito é um conjunto infinito de Dedekind (in) (de forma equivalente: tem um subconjunto infinito contável).
AC ω é particularmente útil para o desenvolvimento da análise , onde muitos resultados dependem da existência de uma função de escolha para uma família contável de conjuntos de números reais . Por exemplo, para provar que qualquer ponto de acumulação x de um conjunto S ⊆ R é o limite de uma sequência de elementos de S \ { x }, precisamos (uma forma fraca) do axioma da escolha contável. Quando formulado para os pontos de acumulação de espaços métricos arbitrários, o enunciado torna-se equivalente a AC ω .
Um equívoco comum é que AC ω tem uma natureza recorrente e, portanto, pode ser demonstrado como um teorema (em ZF, ou equivalente, ou mesmo em sistemas mais fracos) por indução. No entanto, este não é o caso; esta falsa ideia é o resultado da confusão da noção de escolha contável com a noção de escolha finita para um conjunto finito de tamanho n (para n escolhido arbitrariamente), é este último resultado (que é um teorema elementar em análise combinatória) que é demonstrável por indução. No entanto, pode ser mostrado que alguns conjuntos infinitos contáveis de conjuntos não vazios têm uma função de escolha em ZF sem qualquer forma de axioma de escolha. Estes incluem V ω \ {Ø} e o conjunto de intervalos abertos próprios e limitados de números reais com limites racionais.
Como um exemplo de aplicação de AC ω , aqui está uma prova (de ZF + AC ω ) de que qualquer conjunto infinito é um conjunto infinito de Dedekind:
Seja X um conjunto infinito. Para qualquer número natural n , definimos A n o conjunto de todos os subconjuntos de X com 2 n elementos. Como X é infinito, cada A n tem pelo menos um elemento. Um primeiro mapa de AC ω dá uma sequência ( B n ) onde cada B n é um subconjunto de X com 2 n elementos. Os conjuntos B n não são necessariamente disjuntos, mas podemos definir C 0 = B 0 C n = a diferença de B n e a união de todos C j , para todos j < n . Claramente, cada conjunto C n tem pelo menos 1 e no máximo 2 n elementos, e os C n são dois por dois disjuntos. Um segundo mapa de AC ω dá uma sequência ( c n ) com c n ∈ C n . Portanto, todos os c n são distintos e X contém um conjunto contável. A função que associa c n +1 com cada c n (e fixa todos os outros elementos de X ) é uma injeção não sobrejetiva de X em X , o que prova que X é um conjunto infinito de Dedekind.(en) Gonçalo Gutierres da Conceição, “ O Axioma da Escolha Contável na Topologia ”