Radiação de frenagem contínua
O bremsstrahlung ou bremsstrahlung ( pronunciado em alemão [ b ʁ ɛ m s ˌ ʃ t ʁ tem ː o ʊ ŋ ] para bremsen "lento" e Strahlung "radiação", ou seja, d. "Frenagem por radiação" ou "radiação de desaceleração") é amplo radiação eletromagnética do espectro criada pela desaceleração das cargas elétricas. Também falamos de radiação branca .
Quando um alvo sólido é bombardeado por um feixe de elétrons , eles são freados e desviados pelo campo elétrico dos núcleos do alvo. Agora, como as equações de Maxwell descrevem , qualquer carga cuja velocidade varie, em valor absoluto ou na direção, irradia. Como a energia relacionada à desaceleração dos elétrons é quantificada seguindo altas gradações (conforme exigido pela função de distribuição de translação associada), ela cria um fluxo de fótons cujo espectro de energia é quase contínuo.
Formulários
Este processo é usado em particular para produzir raios X , em geradores de raios X e síncrotrons . Essas duas fontes não fornecem o mesmo tipo de espectro . Na verdade, a radiação síncrotron é puramente contínua, ao contrário de um tubo de raios X, que possui algumas linhas espectrais, devido às transições eletrônicas .
Forma do espectro
A energia máxima dos fótons é a energia cinética inicial E 0 dos elétrons. O espectro de energia, portanto, pára neste valor E 0 . Se plotarmos o espectro em comprimento de onda (a representação mais frequente), temos um espectro que começa em λ 0 que é igual a
λ0=hvsE0{\ displaystyle \ lambda _ {0} = {\ frac {hc} {E_ {0}}}}ou
λ0=hvsevocê{\ displaystyle \ lambda _ {0} = {\ frac {hc} {eU}}}e cuja energia é máxima para λ max que é igual a
λmnox=32λ0{\ displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {3} {2}} \ lambda _ {0}}ou
Bremsstrahlung térmica
Em um plasma , os elétrons livres produzem constantemente um Bremsstrahlung quando colidem com os íons . Em um plasma uniforme contendo elétrons térmicos, a densidade espectral de potência do Bremsstrahlung emitido é calculada a partir da equação diferencial :
dPBrdω=423π[nãoere3]2[mevs2kBTe]1/2[mevs2re3]ZeffE1(Cm),{\ displaystyle {dP _ {\ mathrm {Br}} \ over d \ omega} = {4 {\ sqrt {2}} \ over 3 {\ sqrt {\ pi}}} \ left [n_ {e} r_ { e} ^ {3} \ direita] ^ {2} \ esquerda [{\ frac {m_ {e} c ^ {2}} {k_ {B} T_ {e}}} \ direita] ^ {1/2} \ left [{m_ {e} c ^ {2} \ over r_ {e} ^ {3}} \ right] Z _ {\ mathrm {eff}} E_ {1} (w_ {m}),}onde é a densidade dos elétrons, é o raio clássico do elétron , é a massa do elétron, é a constante de Boltzmann e é a velocidade da luz no vácuo. Os primeiros dois fatores entre colchetes à direita da igualdade são adimensionais. O estado da carga "efetiva" de um íon, é uma média da carga de todos os íons:
nãoe{\ displaystyle n_ {e}}re{\ displaystyle r_ {e}}me{\ displaystyle m_ {e}}kB{\ displaystyle k_ {B}}vs{\ displaystyle c}Zeff{\ displaystyle Z _ {\ mathrm {eff}}}
Zeff=∑ZZ2nãoZnãoe{\ displaystyle Z _ {\ mathrm {eff}} = \ sum _ {Z} Z ^ {2} {n_ {Z} \ over n_ {e}}} ,
onde é o número de densidade de íons carregando uma carga de . A função é um exponencial integral . A função é calculada de acordo com:
nãoZ{\ displaystyle n_ {Z}}Z{\ displaystyle Z}E1{\ displaystyle E_ {1}}Cm{\ displaystyle w_ {m}}
Cm=ω2me2km2kBTe{\ displaystyle w_ {m} = {\ omega ^ {2} m_ {e} \ mais de 2k_ {m} ^ {2} k_ {B} T_ {e}}}com o número máximo de onda ou corte. quando eV (para uma única espécie de íons; 27,2 eV é o dobro da energia de ionização do hidrogênio), onde K é um número puro e é o comprimento de onda de De Broglie . Caso contrário, onde está a distância de Coulomb clássica de acordo com a trajetória mais próxima.
km{\ displaystyle k_ {m}}km=K/λB{\ displaystyle k_ {m} = K / \ lambda _ {B}}kBTe>27,2Z2{\ displaystyle k_ {B} T_ {e}> 27,2Z ^ {2}}λB=ℏ/(mekBTe)1/2{\ displaystyle \ lambda _ {B} = \ hbar / (m_ {e} k_ {B} T_ {e}) ^ {1/2}}km∝1/euvs{\ displaystyle k_ {m} \ propto 1 / l_ {c}}euvs{\ displaystyle l_ {c}}
dPBr/dω{\ displaystyle dP _ {\ mathrm {Br}} / d \ omega}é infinito em e diminuindo rapidamente de acordo com . Em alguns casos específicos, é possível calcular analiticamente a antiderivada da equação diferencial.
ω=0{\ displaystyle \ omega = 0}ω{\ displaystyle \ omega}
Para o caso , temos
km=K/λB{\ displaystyle k_ {m} = K / \ lambda _ {B}}
Cm=12K2[ℏωkBTe]2{\ displaystyle w_ {m} = {1 \ over 2K ^ {2}} \ left [{\ frac {\ hbar \ omega} {k_ {B} T_ {e}}} \ right] ^ {2}} .
Neste caso, a densidade de potência, integrada em todas as frequências, é finita e vale a pena
PBr=83[nãoere3]2[kBTemevs2]1/2[mevs3re4]ZeffαK{\ displaystyle P _ {\ mathrm {Br}} = {8 \ over 3} \ left [n_ {e} r_ {e} ^ {3} \ right] ^ {2} \ left [{k_ {B} T_ {e} \ over m_ {e} c ^ {2}} \ right] ^ {1/2} \ left [{m_ {e} c ^ {3} \ over r_ {e} ^ {4}} \ right ] Z _ {\ mathrm {eff}} \ alpha K} .
A constante de estrutura fina aparece devido à natureza quântica de . Na prática, uma versão comumente usada desta fórmula é:
α{\ displaystyle \ alpha}λB{\ displaystyle \ lambda _ {B}}
PBr[W / m3]=[nãoe7,69×1018m-3]2Te[eV]1/2Zeff{\ displaystyle P _ {\ mathrm {Br}} [{\ textrm {W / m}}} ^ {3}] = \ left [{n_ {e} \ over 7,69 \ times 10 ^ {18} { \ textrm {m}} ^ {- 3}} \ right] ^ {2} T_ {e} [{\ textrm {eV}}] ^ {1/2} Z _ {\ mathrm {eff}}} .
Esta fórmula se aproxima do valor teórico se K = 3,17; o valor K = 3 é sugerido por Ichimaru.
Para temperaturas muito altas, as correções relativísticas devem ser feitas adicionando termos da ordem k B T e / m e c 2 .
Se o plasma for opticamente fino, a radiação do Bremsstrahlung deixa o plasma, levando embora parte de sua energia. Este efeito é denominado "resfriamento Bremsstrahlung".
Descrição da mecânica quântica
Toda a descrição usando a mecânica quântica foi realizada pela primeira vez por Bethe e Heitler. Eles assumiram uma onda plana para elétrons que são espalhados pelo núcleo atômico e deduziram uma seção transversal que relaciona toda a geometria desse fenômeno à freqüência do fóton emitido. A seção transversal, que mostra uma simetria da mecânica quântica para a criação de pares , é:
d4σ=Z2αfeunãoe3ℏ2(2π)2|p→f||p→eu|dωωdΩeudΩfdΦ|q→|4××[p→f2pecado2Θf(Ef-vs|p→f|porqueΘf)2(4Eeu2-vs2q→2)+p→eu2pecado2Θeu(Eeu-vs|p→eu|porqueΘeu)2(4Ef2-vs2q→2)+2ℏ2ω2p→eu2pecado2Θeu+p→f2pecado2Θf(Ef-vs|p→f|porqueΘf)(Eeu-vs|p→eu|porqueΘeu)-2|p→eu||p→f|pecadoΘeupecadoΘfporqueΦ(Ef-vs|p→f|porqueΘf)(Eeu-vs|p→eu|porqueΘeu)(2Eeu2+2Ef2-vs2q→2)].{\ displaystyle {\ begin {alinhados} d ^ {4} \ sigma & = {\ frac {Z ^ {2} \ alpha _ {fine} ^ {3} \ hbar ^ {2}} {(2 \ pi) ^ {2}}} {\ frac {| {\ vec {p}} _ {f} |} {| {\ vec {p}} _ {i} |}} {\ frac {d \ omega} {\ omega}} {\ frac {d \ Omega _ {i} d \ Omega _ {f} d \ Phi} {| {\ vec {q}} | ^ {4}}} \ times \\ & \ times \ left [{\ frac {{\ vec {p}} _ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {f}} {(E_ {f} -c | {\ vec {p}} _ {f} | \ cos \ Theta _ {f}) ^ {2}}} \ left (4E_ {i} ^ {2} -c ^ {2} {\ vec {q}} ^ {2} \ right) \ right. \\ & + {\ frac {{\ vec {p}} _ {i} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}} {(E_ {i} -c | {\ vec {p}} _ {i} | \ cos \ Theta _ {i}) ^ {2}}} \ left (4E_ {f} ^ {2} -c ^ {2} {\ vec {q}} ^ {2} \ direita) \\ & + 2 \ hbar ^ {2} \ omega ^ {2} {\ frac {{\ vec {p}} _ {i} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i} + {\ vec {p}} _ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {f}} {(E_ {f} -c | {\ vec {p}} _ {f} | \ cos \ Theta _ {f}) (E_ {i} -c | {\ vec {p}} _ {i} | \ cos \ Theta _ {i})}} \\ & - 2 \ esquerda. {\ frac {| {\ vec {p}} _ {i} || {\ vec {p}} _ {f} | \ sin \ Theta _ {i} \ sin \ Theta _ {f} \ cos \ Phi} {(E_ {f} -c | {\ vec {p}} _ {f} | \ cos \ Theta _ {f}) (E_ {i} -c | {\ vec {p}} _ { i} | \ cos \ Theta _ {i})}} \ left (2E_ {i} ^ {2} + 2E_ {f} ^ {2} -c ^ {2} {\ vec {q}} ^ {2 } \ right) \ right]. \ end {alinhado}}}Onde está o número atômico , a constante de estrutura fina , a constante de Planck reduzida e a velocidade da luz . A energia cinética do elétron no estado inicial e final está relacionada à sua energia total e seu momento pela fórmula:
Z{\ displaystyle Z}αfeunãoe≈1/137{\ displaystyle \ alpha _ {fine} \ aproximadamente 1/137}ℏ{\ displaystyle \ hbar}vs{\ displaystyle c}Ekeunão,eu/f{\ displaystyle E_ {kin, i / f}} Eeu,f{\ displaystyle E_ {i, f}} p→eu,f{\ displaystyle {\ vec {p}} _ {i, f}}
Eeu,f=Ekeunão,eu/f+mevs2=me2vs4+p→eu,f2vs2,{\ displaystyle E_ {i, f} = E_ {kin, i / f} + m_ {e} c ^ {2} = {\ sqrt {m_ {e} ^ {2} c ^ {4} + {\ vec {p}} _ {i, f} ^ {2} c ^ {2}}},}
onde está a massa do elétron . A conservação de energia dá
me{\ displaystyle m_ {e}}
Ef=Eeu-ℏω,{\ displaystyle E_ {f} = E_ {i} - \ hbar \ omega,}
onde está a energia cinética do fóton. As direções do fóton emitido e do elétron espalhado são dadas por
ℏω{\ displaystyle \ hbar \ omega}
Θeu=∢(p→eu,k→),Θf=∢(p→f,k→),Φ=Ângulo entre ondas planas (p→eu,k→) e (p→f,k→),{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ Theta _ {i} & = \ sphericalangle ({\ vec {p}} _ {i}, {\ vec {k}}), \\\ Theta _ {f} & = \ sphericalangle ({\ vec {p}} _ {f}, {\ vec {k}}), \\\ Phi & = {\ text {Ângulo entre as ondas planas}} ({\ vec {p}} _ {i}, {\ vec {k}}) {\ text {et}} ({\ vec {p}} _ {f}, {\ vec {k}}), \ end {alinhado}}}
onde está o momento do fóton.k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}
Os diferenciais são dados por
dΩeu=pecadoΘeu dΘeu,dΩf=pecadoΘf dΘf.{\ displaystyle {\ begin {alinhados} d \ Omega _ {i} & = \ sin \ Theta _ {i} \ d \ Theta _ {i}, \\ d \ Omega _ {f} & = \ sin \ Theta _ {f} \ d \ Theta _ {f}. \ end {alinhado}}}
O valor absoluto da fotões virtuais entre o núcleo do átomo e é o electrão
-q→2=-|p→eu|2-|p→f|2-(ℏvsω)2+2|p→eu|ℏvsωporqueΘeu-2|p→f|ℏvsωporqueΘf+2|p→eu||p→f|(porqueΘfporqueΘeu+pecadoΘfpecadoΘeuporqueΦ).{\ displaystyle {\ begin {alinhados} - {\ vec {q}} ^ {2} & = - | {\ vec {p}} _ {i} | ^ {2} - | {\ vec {p}} _ {f} | ^ {2} - \ left ({\ frac {\ hbar} {c}} \ omega \ right) ^ {2} +2 | {\ vec {p}} _ {i} | {\ frac {\ hbar} {c}} \ omega \ cos \ Theta _ {i} -2 | {\ vec {p}} _ {f} | {\ frac {\ hbar} {c}} \ omega \ cos \ Theta _ {f} \\ & + 2 | {\ vec {p}} _ {i} || {\ vec {p}} _ {f} | (\ cos \ Theta _ {f} \ cos \ Theta _ {i} + \ sin \ Theta _ {f} \ sin \ Theta _ {i} \ cos \ Phi). \ end {alinhado}}}
A validade é dada pela aproximação de Born
v≫Zvs137{\ displaystyle v \ gg {\ frac {Zc} {137}}}
onde esta relação é verdadeira para a velocidade do elétron no estado inicial e final.
v{\ displaystyle v}
Para aplicações práticas (por exemplo, códigos de Monte Carlo) pode ser interessante focar na relação entre a frequência do fóton emitido e o ângulo entre este fóton e o elétron inserido. Köhn e Ebert integrado a secção transversal de Bethe e Heitler em e e obtido:
Φ{\ displaystyle \ Phi}Θf{\ displaystyle \ Theta _ {f}}
d2σ(Eeu,ω,Θeu)dωdΩeu=∑j=16euj{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ sigma (E_ {i}, \ omega, \ Theta _ {i})} {d \ omega d \ Omega _ {i}}} = \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {6} I_ {j}}com
eu1=2πNOΔ22+4peu2pf2pecado2Θeuem(Δ22+4peu2pf2pecado2Θeu-Δ22+4peu2pf2pecado2Θeu(Δ1+Δ2)+Δ1Δ2-Δ22-4peu2pf2pecado2Θeu-Δ22+4peu2pf2pecado2Θeu(Δ1-Δ2)+Δ1Δ2)×[1+vsΔ2pf(Eeu-vspeuporqueΘeu)-peu2vs2pecado2Θeu(Eeu-vspeuporqueΘeu)2-2ℏ2ω2pfΔ2vs(Eeu-vspeuporqueΘeu)(Δ22+4peu2pf2pecado2Θeu)],eu2=-2πNOvspf(Eeu-vspeuporqueΘeu)em(Ef+pfvsEf-pfvs),eu3=2πNO(Δ2Ef+Δ1pfvs)2+4m2vs4peu2pf2pecado2Θeu×em(((Ef+pfvs)(4peu2pf2pecado2Θeu(Ef-pfvs)+(Δ1+Δ2)((Δ2Ef+Δ1pfvs)-(Δ2Ef+Δ1pfvs)2+4m2vs4peu2pf2pecado2Θeu)))((Ef-pfvs)(4peu2pf2pecado2Θeu(-Ef-pfvs)+(Δ1-Δ2)((Δ2Ef+Δ1pfvs)-(Δ2Ef+Δ1pfvs)2+4m2vs4peu2pf2pecado2Θeu)))-1)×[-(Δ22+4peu2pf2pecado2Θeu)(Ef3+Efpf2vs2)+pfvs(2(Δ12-4peu2pf2pecado2Θeu)Efpfvs+Δ1Δ2(3Ef2+pf2vs2))(Δ2Ef+Δ1pfvs)2+4m2vs4peu2pf2pecado2Θeu-vs(Δ2Ef+Δ1pfvs)pf(Eeu-vspeuporqueΘeu)-4Eeu2pf2(2(Δ2Ef+Δ1pfvs)2-4m2vs4peu2pf2pecado2Θeu)(Δ1Ef+Δ2pfvs)((Δ2Ef+Δ1pfvs)2+4m2vs4peu2pf2pecado2Θeu)2+8peu2pf2m2vs4pecado2Θeu(Eeu2+Ef2)-2ℏ2ω2peu2pecado2Θeupfvs(Δ2Ef+Δ1pfvs)+2ℏ2ω2pfm2vs3(Δ2Ef+Δ1pfvs)(Eeu-vspeuporqueΘeu)((Δ2Ef+Δ1pfvs)2+4m2vs4peu2pf2pecado2Θeu)],eu4=-4πNOpfvs(Δ2Ef+Δ1pfvs)(Δ2Ef+Δ1pfvs)2+4m2vs4peu2pf2pecado2Θeu-16πEeu2pf2NO(Δ2Ef+Δ1pfvs)2((Δ2Ef+Δ1pfvs)2+4m2vs4peu2pf2pecado2Θeu)2,eu5=4πNO(-Δ22+Δ12-4peu2pf2pecado2Θeu)((Δ2Ef+Δ1pfvs)2+4m2vs4peu2pf2pecado2Θeu)×[ℏ2ω2pf2Eeu-vspeuporqueΘeu×Ef[2Δ22(Δ22-Δ12)+8peu2pf2pecado2Θeu(Δ22+Δ12)]+pfvs[2Δ1Δ2(Δ22-Δ12)+16Δ1Δ2peu2pf2pecado2Θeu]Δ22+4peu2pf2pecado2Θeu+2ℏ2ω2peu2pecado2Θeu(2Δ1Δ2pfvs+2Δ22Ef+8peu2pf2pecado2ΘeuEf)Eeu-vspeuporqueΘeu+2Eeu2pf2{2(Δ22-Δ12)(Δ2Ef+Δ1pfvs)2+8peu2pf2pecado2Θeu[(Δ12+Δ22)(Ef2+pf2vs2)+4Δ1Δ2Efpfvs]}((Δ2Ef+Δ1pfvs)2+4m2vs4peu2pf2pecado2Θeu)+8peu2pf2pecado2Θeu(Eeu2+Ef2)(Δ2pfvs+Δ1Ef)Eeu-vspeuporqueΘeu],eu6=16πEf2peu2pecado2ΘeuNO(Eeu-vspeuporqueΘeu)2(-Δ22+Δ12-4peu2pf2pecado2Θeu),{\ displaystyle {\ begin {alinhados} I_ {1} & = {\ frac {2 \ pi A} {\ sqrt {\ Delta _ {2} ^ {2} + 4p_ {i} ^ {2} p_ {f } ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}}}} \ ln \ left ({\ frac {\ Delta _ {2} ^ {2} + 4p_ {i} ^ {2} p_ { f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i} - {\ sqrt {\ Delta _ {2} ^ {2} + 4p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}}} (\ Delta _ {1} + \ Delta _ {2}) + \ Delta _ {1} \ Delta _ {2}} {- \ Delta _ {2 } ^ {2} -4p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i} - {\ sqrt {\ Delta _ {2} ^ {2} + 4p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}}} (\ Delta _ {1} - \ Delta _ {2}) + \ Delta _ { 1} \ Delta _ {2}}} \ direita) \\ & \ times \ left [1 + {\ frac {c \ Delta _ {2}} {p_ {f} (E_ {i} -cp_ {i} \ cos \ Theta _ {i})}} - {\ frac {p_ {i} ^ {2} c ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}} {(E_ {i} -cp_ {i} \ cos \ Theta _ {i}) ^ {2}}} - {\ frac {2 \ hbar ^ {2} \ omega ^ {2} p_ {f} \ Delta _ {2}} {c ( E_ {i} -cp_ {i} \ cos \ Theta _ {i}) (\ Delta _ {2} ^ {2} + 4p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ { 2} \ Theta _ {i})}} \ right], \\ I_ {2} & = - {\ frac {2 \ pi Ac} {p_ {f} (E_ {i} -cp_ {i} \ cos \ Theta _ {i})}} \ ln \ left ({\ frac {E_ {f} + p_ {f} c} {E_ {f} -p_ {f} c}} \ right), \\ I_ { 3} & = {\ frac {2 \ pi A} {\ sqrt {(\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c) ^ {2} + 4m ^ {2 } c ^ {4} p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}}}} \\ & \ times \ ln {\ Bigg (} {\ Big (} (E_ {f} + p_ {f} c) (4p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i} (E_ {f} -p_ {f} c) + (\ Delta _ {1} + \ Delta _ {2}) ((\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c) \\ & - {\ sqrt {(\ Delta _ { 2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}}})) {\ Grande)} {\ Grande (} (E_ {f} -p_ {f} c) (4p_ {i} ^ {2} p_ {f } ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i} (- E_ {f} -p_ {f} c) \\ & + (\ Delta _ {1} - \ Delta _ {2}) ( (\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c) - {\ sqrt {(\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f } c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}}})) ) {\ Big)} ^ {- 1} {\ Bigg)} \\ & \ times \ left [- {\ frac {(\ Delta _ {2} ^ {2} + 4p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}) (E_ {f} ^ {3} + E_ {f} p_ {f} ^ {2} c ^ {2}) + p_ {f} c (2 (\ Delta _ {1} ^ {2} -4p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}) E_ {f } p_ {f} c + \ Delta _ {1} \ Delta _ {2} (3E_ {f} ^ {2} + p_ {f} ^ {2} c ^ {2}))} {(\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2 } \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}}} \ right. \\ & - {\ frac {c (\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c )} {p_ {f} (E_ {i} -cp_ {i} \ cos \ Thet a _ {i})}} \\ & - {\ frac {4E_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} (2 (\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ { 1} p_ {f} c) ^ {2} -4m ^ {2} c ^ {4} p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i }) (\ Delta _ {1} E_ {f} + \ Delta _ {2} p_ {f} c)} {((\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f } c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}) ^ {2 }}} \\ & + \ left. {\ frac {8p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} m ^ {2} c ^ {4} \ sin ^ {2} \ Theta _ { i} (E_ {i} ^ {2} + E_ {f} ^ {2}) - 2 \ hbar ^ {2} \ omega ^ {2} p_ {i} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i} p_ {f} c (\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c) +2 \ hbar ^ {2} \ omega ^ {2} p_ { f} m ^ {2} c ^ {3} (\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c)} {(E_ {i} -cp_ {i} \ cos \ Theta _ {i}) ((\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p_ {i } ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i})}} \ right], \\ I_ {4} & = - {\ frac {4 \ pi Ap_ { f} c (\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c)} {(\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f } c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}}} - { \ frac {16 \ pi E_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} A (\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c) ^ {2 }} {((\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p_ {i} ^ {2 } p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}) ^ {2}}}, \\ I_ {5 } & = {\ frac {4 \ pi A} {(- \ Delta _ {2} ^ {2} + \ Delta _ {1} ^ {2} -4p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}) ((\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c) ^ {2} + 4m ^ {2 } c ^ {4} p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i})}} \\ & \ times \ left [{\ frac {\ hbar ^ {2} \ omega ^ {2} p_ {f} ^ {2}} {E_ {i} -cp_ {i} \ cos \ Theta _ {i}}} \ certo. \\ & \ times {\ frac {E_ {f} [2 \ Delta _ {2} ^ {2} (\ Delta _ {2} ^ {2} - \ Delta _ {1} ^ {2}) + 8p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i} (\ Delta _ {2} ^ {2} + \ Delta _ {1} ^ {2})] + p_ {f} c [2 \ Delta _ {1} \ Delta _ {2} (\ Delta _ {2} ^ {2} - \ Delta _ {1} ^ {2}) + 16 \ Delta _ {1} \ Delta _ {2 } p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}]} {\ Delta _ {2} ^ {2} + 4p_ {i} ^ {2 } p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i}}} \\ & + {\ frac {2 \ hbar ^ {2} \ omega ^ {2} p_ {i} ^ { 2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i} (2 \ Delta _ {1} \ Delta _ {2} p_ {f} c + 2 \ Delta _ {2} ^ {2} E_ {f} + 8p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i} E_ {f})} {E_ {i} -cp_ {i} \ cos \ Theta _ { i}}} \\ & + {\ frac {2E_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ {2 (\ Delta _ {2} ^ {2} - \ Delta _ {1} ^ {2}) (\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c) ^ {2} + 8p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i} [(\ Delta _ {1} ^ {2} + \ Delta _ {2} ^ {2}) (E_ {f} ^ {2} + p _ {f} ^ {2} c ^ {2}) + 4 \ Delta _ {1} \ Delta _ {2} E_ {f} p_ {f} c] \}} {((\ Delta _ {2} E_ {f} + \ Delta _ {1} p_ {f} c) ^ {2} + 4m ^ {2} c ^ {4} p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i})}} \\ & + \ left. {\ Frac {8p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ { i} (E_ {i} ^ {2} + E_ {f} ^ {2}) (\ Delta _ {2} p_ {f} c + \ Delta _ {1} E_ {f})} {E_ {i } -cp_ {i} \ cos \ Theta _ {i}}} \ right], \\ I_ {6} & = {\ frac {16 \ pi E_ {f} ^ {2} p_ {i} ^ {2 } \ sin ^ {2} \ Theta _ {i} A} {(E_ {i} -cp_ {i} \ cos \ Theta _ {i}) ^ {2} (- \ Delta _ {2} ^ {2 } + \ Delta _ {1} ^ {2} -4p_ {i} ^ {2} p_ {f} ^ {2} \ sin ^ {2} \ Theta _ {i})}}, \ end {alinhado} }}e
NO=Z2αfeunãoe3(2π)2|p→f||p→eu|ℏ2ωΔ1=-p→eu2-p→f2-(ℏvsω)2+2ℏvsω|p→eu|porqueΘeu,Δ2=-2ℏvsω|p→f|+2|p→eu||p→f|porqueΘeu.{\ displaystyle {\ begin {align} A & = {\ frac {Z ^ {2} \ alpha _ {fine} ^ {3}} {(2 \ pi) ^ {2}}} {\ frac {| { \ vec {p}} _ {f} |} {| {\ vec {p}} _ {i} |}} {\ frac {\ hbar ^ {2}} {\ omega}} \\\ Delta _ { 1} & = - {\ vec {p}} _ {i} ^ {2} - {\ vec {p}} _ {f} ^ {2} - \ left ({\ frac {\ hbar} {c} } \ omega \ direita) ^ {2} +2 {\ frac {\ hbar} {c}} \ omega | {\ vec {p}} _ {i} | \ cos \ Theta _ {i}, \\\ Delta _ {2} & = - 2 {\ frac {\ hbar} {c}} \ omega | {\ vec {p}} _ {f} | +2 | {\ vec {p}} _ {i} | | {\ vec {p}} _ {f} | \ cos \ Theta _ {i}. \ end {alinhado}}}
Uma integração diferencial dupla da seção efetiva mostra, por exemplo, que elétrons cuja energia cinética é maior do que a energia em repouso (511 keV), emitem fótons principalmente na direção em frente a eles, enquanto elétrons com energias menores emitem fótons isotropicamente (ou seja, , igualmente em todas as direções).
Notas e referências
Notas
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A energia dos elétrons segue uma distribuição de Maxwell-Boltzmann em uma temperatura .Te{\ displaystyle T_ {e}}
-
É uma potência por intervalo de frequência angular por volume, integrada sobre todo o ângulo sólido.
Referências
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(en) S. Ichimaru, Princípios Básicos de Física de Plasmas: Uma Abordagem Estatística, p. 228.
-
(in) Revisão de 2006 do Formulário de Plasma NRL , p. 58
-
(in) " http://theses.mit.edu/Dienst/UI/2.0/Page/0018.mit.theses/1995-130/25?npages=306 " ( Arquivo • Wikiwix • Archive.is • Google • O que fazer? )
-
(in) HA Bethe e Walter Heitler , " On the stop of fast partículas and on the establishment of positive elétrons " , Proc. R. Soc. A , vol. 146,1 r agosto 1934, p. 83-112 ( DOI 0,1098 / rspa.1934.0140 )
-
Koehn, C., Ebert, U., Distribuição angular de fótons de Bremsstrahlung e de pósitrons para cálculos de flashes de raios gama terrestres e feixes de pósitrons, Atmos. Res. (2013), https://dx.doi.org/10.1016/j.atmosres.2013.03.012
Veja também
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