Cobordismo

Na topologia diferencial , o cobordismo é uma relação de equivalência entre variedades diferenciais compactas . Duas variedades compactas M e N são consideradas cobordantes ou em cobordismo se sua união disjunta puder ser realizada como a borda de uma variedade com borda L compacta . Nós dizemos que esta variedade L é um cobordismo entre M e N , ou que L realiza uma cobordismo entre M e N . A existência de tal cobordismo implica que M e N são da mesma dimensão .

A rigor, o cobordismo não é uma relação de equivalência porque a classe de variedades diferenciais de um dado tamanho n não é um conjunto . No entanto, o fato de duas variedades M e N serem coordenadas depende apenas da classe de difeomorfismos dessas variedades. O cobordismo define uma relação de equivalência no conjunto de variedades diferenciais de dimensão n identificadas até o difeomorfismo.

Por convenção, uma variedade é considerada contável ad infinitum . Cada compacto pode ser coberto por um número finito de domínios de mapas locais , e cada domínio é identificado com um aberto de R n . Uma variedade diferencial, portanto, tem o poder de contínuo . A classe de variedades de tamanhos diferenciais n difeomorfismo identificado é obtido na forma de um quociente entre o total de múltiplas estruturas diferenciais de dimensão n ao longo de todo o R .

Há uma relação mais sutil do que o cobordismo para variedades diferenciais orientadas . Uma orientação em uma variedade na aresta induz uma orientação na aresta. Para um coletor diferencial orientável conectado M , existem exatamente duas orientações distintas. Se uma dessas orientações for especificada, M é dito por abuso de orientação linguística . Em seguida, denotamos a variedade M dotada com a segunda orientação. Duas variedades compactas orientadas M e N são chamados cobordantes quando existe uma borda compacto variedade e orientada W cujo bordo é a união de disjuntos e N . Diz-se que W é um cobordismo orientada entre M e N . M¯{\ displaystyle {\ overline {M}}} M¯{\ displaystyle {\ overline {M}}}

Existem também outras noções de cobordismo discutidas posteriormente neste artigo.

Exemplos de cobordismos

Na dimensão 0

As variedades compactas de tamanho 0 são exatamente os   pontos dos " conjuntos finitos ". Os difeomorfismos são as bijeções. Exceto pelo difeomorfismo, eles são classificados por sua cardinalidade . Uma variedade de borda compacta de dimensão 1 é simplesmente uma união finita disjunta de cópias do segmento [0,1] e cópias do círculo . O uso de segmentos permite por um cobordismo cancelar um número par de pontos. Por outro lado, um ponto não está em cobordismo com um par de pontos. Na verdade, dois conjuntos finitos estão em cobordismo se seus cardinais tiverem a mesma paridade .

Como qualquer variedade relacionada, um ponto tem exatamente duas orientações, simbolizadas por um sinal (+ ou -). Uma variedade orientada compacta de dimensão 0 é uma coleção finita de sinais + e -. O uso de cópias do segmento orientado [0,1] torna possível, por um cobordismo orientado, cancelar um sinal + com um sinal - ou, ao contrário, criar um sinal + e um sinal -. O número de sinais + menos o número de sinais -, denominado assinatura, é invariante pelo cobordismo orientado.

Na dimensão 1

A única variedade compacta conectada de dimensão 1 é até difeomorfismo próximo ao círculo . Na verdade, uma variedade diferencial compacta de dimensão 1 é uma soma disjunta de um número finito de círculos. As calças criam um cobordismo entre um círculo e a união de dois círculos (ver figuras ao lado). Por recorrência imediata, qualquer união disjunta de um número finito de círculos é, por sua vez, coordenada com um círculo. O cobordismo na dimensão 1 não fornece nenhuma informação relevante.

Em dimensão superior

• Qualquer hipersuperfície compacta de R n faz fronteira com um domínio compacto. Ao subtrair uma bola fechada de tal domínio, qualquer hipersuperfície compacta de R n é coordenada com a esfera S n -1 .
• Qualquer superfície compacta orientável de dimensão 2 é realizada como uma hipersuperfície compacta de R 3 . O exemplo anterior mostra que todas as superfícies orientáveis ​​de dimensão 2 são co-limitadas. O cobordismo não fornece informações sobre gênero .
• Qualquer variedade compacta orientável de dimensão 3 é coordenada com a esfera S 3 (ou com o conjunto vazio, dá no mesmo). O resultado é falso em dimensões superiores.

Restrições

Existem restrições de natureza homológica que impedem duas variedades diferenciais de serem coordenadas. Essas restrições usam as classes de característica .

Números Stiefel-Whitney

• Qualquer classe de característica com coeficientes em Z / 2 Z pode ser escrita (exclusivamente) como um polinômio nas classes de Siefel-Whitney.
• Em qualquer partição s a n e qualquer colector diferencial M de dimensão n está associado com o número de Stiefel-Whitney w s ( M ) em Z / 2 Z .

Teorema de Pontrjagin  -  Se duas variedades diferenciais M e N da mesma dimensão são coordenadas, então elas têm os mesmos números de Stiefel-Whitney.

Teorema de Thom  -  Se duas variedades diferenciais da mesma dimensão têm os mesmos números de Stiefel-Whitney, então elas são co-cordantes.

Teorema H-cobordismo

O teorema h-cobordismo nos permite entender o cobordismo em termos de reconexões e construções topológicas. Sua prova é baseada no uso de funções de Morse e nos fundamentos da teoria de Morse .

Cobordismo entre variedades de contato

Um coletor de contato é um coletor diferencial compacto de dimensão ímpar N , fornecido com uma forma diferencial , como uma forma de volume . É dito: α{\ displaystyle \ alpha}α∧(dα)não{\ displaystyle \ alpha \ wedge (d \ alpha) ^ {n}}

• Aresta convexa de uma variedade simplética de dimensão 2 n + 2, quando se trata de uma união de componentes conectados da aresta de M nas proximidades da qual existe um campo de Liouville de saída;(M,ω){\ displaystyle (M, \ omega)}
• Aresta côncava de uma variedade simplética de dimensão 2 n + 2, quando é a união de componentes conectados da aresta de M nas proximidades da qual existe um campo de Liouville reentrante.(M,ω){\ displaystyle (M, \ omega)}

Duas variedades de contato e são consideradas coordenadas quando há uma variedade simplética cujo limite é a união disjunta e realizada como arestas côncavas e convexas, respectivamente. (NÃO1,α1){\ displaystyle (N_ {1}, \ alpha _ {1})}(NÃO2,α2){\ displaystyle (N_ {2}, \ alpha _ {2})}(M,ω){\ displaystyle (M, \ omega)}NÃO1{\ displaystyle N_ {1}}NÃO2{\ displaystyle N_ {2}}

Referências

1. R. Thom, "  Algumas propriedades globais de variedades diferenciáveis  ", Commentarii Mathematici Helvetici ,1954, p.  17-86 ( ISSN  0010-2571 , leia online )
2. (em) Robert Stong, Notes on cobordism theory , Princeton, Princeton University Press , 2016 (primeira edição, 1968), 422  p. ( ISBN  978-0-691-64901-6 )

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