Étale cohomology

O étale é a cohomologia de vigas de teoria associada à topologia de propagação . Ele imita o comportamento usual da cohomologia clássica em objetos matemáticos onde não é possível, em diagramas particulares e espaços analíticos.

História

Étale cohomology foi introduzido para os esquemas por Alexander Grothendieck e Michael Artin em SGA 4 e 4½ , com o objetivo de realizar uma cohomologia de Weil e assim resolver as conjecturas de Weil , objetivo parcialmente cumprido, posteriormente completado por Pierre Deligne com a introdução de ℓ-adic cohomologia . O adjetivo "étale" refere-se à noção de domínio de propagação na geometria analítica complexa.

Originalmente, em SGA 4, Grothendieck introduziu a cohomologia étale no contexto mais geral de sítios e topoi . Em muitas situações, entretanto, esse aparato teórico não é necessário.

Mais tarde, uma cohomologia étale para espaços analíticos (em particular o semiplano p -adico superior ) foi desenvolvida por Vladimir Berkovich para o programa de Langlands .

Motivação

Para entender a necessidade de tal teoria, é uma questão de entender como a cohomologia usual é insatisfatória.

Podemos observar o que acontece se tentarmos trabalhar na cohomologia clássica (espaço topológico) de um esquema, por exemplo, com a topologia de Zariski :

Se for uma variedade complexa e um feixe constante, não temos o resultado “natural” para todo i> 0 . $X$ ${\ mathcal {F}}$ $H ^ {{i}} (X, {\ mathcal F}) = 0$
Se for um esquema ou espaço d- dimensional de Berkovich (en) , seus grupos de cohomologia (topológicos) são zero do ( d +1) -ésimo inclusive, enquanto como uma variedade algébrica complexa de dimensão d , espera-se que os grupos sejam zero começando em 2 d +1. $X$

Topologia de difusão

Em certo sentido, a topologia de Zariski é muito grosseira para explicar a cohomologia: ela carece de aberturas.

No entanto, não se pode "simplesmente" adicionar aberturas à topologia de Zariski. A maneira correta de fazer isso é associar um esquema , que dá origem à topologia étale (que é uma topologia Grothendieck ): consideramos morfismos étale (en) em um -schema, com uma união disjunta de variedades suaves e um isomorfismo local. Esta coleção forma uma categoria , a priori grande, mas na verdade equivalente a uma pequena categoria , que é notada (os morfismos sendo aqueles do -schema). $\ phi: U \ para X$ $X$ $você$ $\ phi$ ${\ text {Et}} (X)$ $X$

Étale cohomology

A categoria de feixes de grupos abelianos em é uma categoria abeliana que tem morfismos injetivos suficientes. Notamos um feixe de grupos abelianos em . O functor das seções globais é deixado exato e seus functores derivados ${\ text {Et}} (X)$ ${\ mathcal {F}}$ ${\ text {Et}} (X)$ $\Gama$

{\ mathcal F} \ mapsto H _ {{{\ text {et}}}} ^ {{i}} (X, {\ mathcal F})

são chamados de functores étale cohomology. Em particular,

H _ {{{\ text {ét}}}} ^ {0} (X, {\ mathcal F}) = \ Gamma ({\ mathcal F}) = {\ mathcal F} (X)

Por exemplo, para qualquer número natural n , temos (usando, por exemplo, a cohomologia de Čech ):

H _ {{{\ text {et}}}} ^ {2} ({\ mathbb C} P ^ {1}, {\ mathbb Z} / n {\ mathbb Z}) = {\ mathbb Z} / n {\ mathbb Z}

Por outro lado, se for uma variedade complexa , então os números de Betti espalhados correspondem aos números de Betti usuais de com coeficientes em um corpo finito : $X$ $X ({\ mathbb C})$

{\ mathrm {dim}} _ {{{\ mathbb F} _ {q}}} H _ {{{\ text {et}}}} ^ {{2i}} (X, {\ mathbb F} _ { q}) = {\ mathrm {dim}} _ {{{\ mathbb F} _ {q}}} H ^ {{2i}} (X ({\ mathbb C}), {\ mathbb F} _ {q })

Se quisermos trabalhar com coeficientes livres de torção, devemos invocar um limite : é a origem da cohomologia ℓ-adic

H _ {{{\ text {et}}}} ^ {i} (X, {\ mathbb Q} _ {{\ ell}}) = \ left (\ lim _ {n} H _ {{{\ text {et}}}} ^ {i} (X, {\ mathbb Z} / \ ell ^ {n} {\ mathbb Z}) \ right) \ otimes _ {{{\ mathbb Z} _ {{\ ell} }}} {\ mathbb Q} _ {{\ ell}}

Formulários

Além da prova de certas conjecturas de Weil , há um equivalente da dualidade de Poincaré , a fórmula de Künneth e a teoria de classes de Chern . Ao definir a cohomologia étale a cohomologia partir-ádica, Deligne foi capaz de completar a prova da conjectura de Weil sobre a função zeta .

Se Y é o espectro de um campo k do grupo absoluto de Galois G , então a cohomologia étale corresponde à cohomologia de G , ou seja, a cohomologia de Galois de k .

A teoria de Deligne-Lusztig (in) conta com a cohomologia ℓ-adic com suporte compacto para produzir representações lineares de grupos de Lie acabados, a partir do qual ele foi capaz de estabelecer a classificação de todas as representações de todos os grupos do tipo Lie simples finito.

Referência

Luc Illusie , Grothendieck e étale cohomology