Compactificado de Alexandrov
Em matemática , e mais precisamente na topologia geral , o compactado de Alexandrov (às vezes escrito compactado de Alexandroff ) é um objeto introduzido pelo matemático Pavel Aleksandrov . A sua construção, denominada compactificação Alexandrov , generaliza a esfera de Riemann para espaços localmente compactos, aos quais acrescenta um " ponto no infinito ".
Definição
Seja um espaço topológico localmente compacto . Podemos, adicionando um ponto para , obter um espaço compacto . Para isso, consideramos onde e definimos uma topologia da seguinte maneira.
X{\ displaystyle X}
X{\ displaystyle X}
X~=X∪{ω}{\ displaystyle {\ tilde {X}} = X \ xícara \ {\ omega \}}
ω∉X{\ displaystyle \ omega \ not \ in X}![\ omega \ não \ em X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/599059e77f6536ee18328920e64e3e9923c3812b)
O conjunto de aberturas é composto por:
X~{\ displaystyle {\ tilde {X}}}![{\ tilde X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b6c2d2aa76b9cf010d897dc2ce988acf539624)
- o início de ;X{\ displaystyle X}
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- subconjuntos da forma , onde é o complemento em de um compacto de .{ω}∪Kvs{\ displaystyle \ {\ omega \} \ cup K ^ {c}}
Kvs{\ displaystyle K ^ {c}}
X{\ displaystyle X}
K{\ displaystyle K}
X{\ displaystyle X}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
Verifica-se que definimos assim uma topologia ativada e que a topologia inicial ativada é idêntica à topologia induzida por esta topologia ativada .
X~{\ displaystyle {\ tilde {X}}}
X{\ displaystyle X}
X{\ displaystyle X}
X~{\ displaystyle {\ tilde {X}}}![{\ tilde X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b6c2d2aa76b9cf010d897dc2ce988acf539624)
Por fim, verifica-se que equipado com esta topologia está um espaço compacto.
X~{\ displaystyle {\ tilde {X}}}![{\ tilde X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b6c2d2aa76b9cf010d897dc2ce988acf539624)
O espaço é então chamado de Alexandrov compactado de espaço localmente compacto ; é chamado de ponto no infinito de e também é anotado .
X~{\ displaystyle {\ tilde {X}}}
X{\ displaystyle X}
ω{\ displaystyle \ omega}
X~{\ displaystyle {\ tilde {X}}}
∞{\ displaystyle \ infty}![\ infty](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26c105004f30c27aa7c2a9c601550a4183b1f21)
Esta noção só interessa se o espaço inicial não for compacto. Na verdade, a aplicação do processo de compactação de Alexandrov a um espaço compacto apenas adiciona um ponto isolado a ele (porque é então uma abertura de ).
{ω}{\ displaystyle \ {\ omega \}}
X~{\ displaystyle {\ tilde {X}}}![{\ tilde X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b6c2d2aa76b9cf010d897dc2ce988acf539624)
Se e são dois espaços localmente compactos, uma aplicação contínua estende-se a uma aplicação contínua entre os compactados de Alexandrov se e somente se estiver limpo .
X{\ displaystyle X}
Y{\ displaystyle Y}
f:X→Y{\ displaystyle f: X \ a Y}![f: X \ a Y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd1e080abef4bbdab67b43819c6431e7561361c)
Observe que essa construção também se aplica se for considerada quase compacta ; obtemos então um espaço quase compacto e temos a seguinte propriedade: é separado (portanto compacto) se e somente se for localmente compacto.
X{\ displaystyle X}
X~{\ displaystyle {\ tilde {X}}}
X~{\ displaystyle {\ tilde {X}}}
X{\ displaystyle X}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
Singularidade
É facilmente mostrado que partindo de um espaço topológico localmente compacto e de um determinado ponto , o Alexandrov compactado construído como acima é a única topologia possível em tal que:
X{\ displaystyle X}
ω∉X{\ displaystyle \ omega \ not \ in X}
X~=X∪{ω}{\ displaystyle {\ tilde {X}} = X \ xícara \ {\ omega \}}
X~{\ displaystyle {\ tilde {X}}}![{\ tilde X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b6c2d2aa76b9cf010d897dc2ce988acf539624)
-
X~{\ displaystyle {\ tilde {X}}}
é compacto;
- a topologia induzida em é idêntica à topologia inicial.X{\ displaystyle X}
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
Exemplos
- O Alexandrov compactado de ℝ n é homeomórfico à esfera n , através, em particular, da projeção estereográfica de um dos pólos da esfera n , projeção completada por . Assim, o Alexandrov compactado de ℝ é homeomórfico a um círculo, o de ℝ 2 (ou ℂ) a uma esfera, comumente chamada de esfera de Riemann . O ponto adicionado ao espaço pode ser imaginado como um ponto “no infinito”: no infinito a linha real “fecha” em um círculo.P{\ displaystyle P}
P↦ω{\ displaystyle P \ mapsto \ omega}![P \ mapsto \ omega](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a591ff094586019d5a0e2b8037b710b55803b48)
- Qualquer ordinal α = [0, α [pode ser dotado da topologia do pedido . Se α é um ordinal limite , o Alexandrov compactado de [0, α [é α + 1 = [0, α] (se, pelo contrário, α tem um predecessor β, então [0, α [ é o compacto [0, β + 1 [= [0, β]).
- Um espaço Fort (en) é a extensão de Alexandroff de um espaço infinito discreto .
Referências
-
(em) John L. Kelley , Topologia Geral , Van Nostrand,1955( leia online ) , p. 150.
Link externo
O Alexandrov compactado no site les-mathematiques.net
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">