Compactificado de Alexandrov

Em matemática , e mais precisamente na topologia geral , o compactado de Alexandrov (às vezes escrito compactado de Alexandroff ) é um objeto introduzido pelo matemático Pavel Aleksandrov . A sua construção, denominada compactificação Alexandrov , generaliza a esfera de Riemann para espaços localmente compactos, aos quais acrescenta um " ponto no infinito ".

Definição

Seja um espaço topológico localmente compacto . Podemos, adicionando um ponto para , obter um espaço compacto . Para isso, consideramos onde e definimos uma topologia da seguinte maneira. $X$ $X$ ${\ displaystyle {\ tilde {X}} = X \ xícara \ {\ omega \}}$ $\ omega \ não \ em X$

O conjunto de aberturas é composto por: ${\ tilde X}$

o início de ; $X$
subconjuntos da forma , onde é o complemento em de um compacto de . ${\ displaystyle \ {\ omega \} \ cup K ^ {c}}$ ${\ displaystyle K ^ {c}}$ $X$ $K$ $X$

Verifica-se que definimos assim uma topologia ativada e que a topologia inicial ativada é idêntica à topologia induzida por esta topologia ativada . ${\ tilde X}$ $X$ $X$ ${\ tilde X}$

Por fim, verifica-se que equipado com esta topologia está um espaço compacto. ${\ tilde X}$

O espaço é então chamado de Alexandrov compactado de espaço localmente compacto ; é chamado de ponto no infinito de e também é anotado . ${\ tilde X}$ $X$ $\ómega$ ${\ tilde X}$ $\ infty$

Esta noção só interessa se o espaço inicial não for compacto. Na verdade, a aplicação do processo de compactação de Alexandrov a um espaço compacto apenas adiciona um ponto isolado a ele (porque é então uma abertura de ). $\{\ómega\}$ ${\ tilde X}$

Se e são dois espaços localmente compactos, uma aplicação contínua estende-se a uma aplicação contínua entre os compactados de Alexandrov se e somente se estiver limpo . $X$ $Y$ $f: X \ a Y$

Observe que essa construção também se aplica se for considerada quase compacta ; obtemos então um espaço quase compacto e temos a seguinte propriedade: é separado (portanto compacto) se e somente se for localmente compacto. $X$ ${\ tilde X}$ ${\ tilde X}$ $X$

Singularidade

É facilmente mostrado que partindo de um espaço topológico localmente compacto e de um determinado ponto , o Alexandrov compactado construído como acima é a única topologia possível em tal que: $X$ $\ omega \ não \ em X$ ${\ displaystyle {\ tilde {X}} = X \ xícara \ {\ omega \}}$ ${\ tilde X}$

${\ tilde X}$ é compacto;
a topologia induzida em é idêntica à topologia inicial. $X$

Exemplos

O Alexandrov compactado de ℝ n é homeomórfico à esfera n , através, em particular, da projeção estereográfica de um dos pólos da esfera n , projeção completada por . Assim, o Alexandrov compactado de ℝ é homeomórfico a um círculo, o de ℝ 2 (ou ℂ) a uma esfera, comumente chamada de esfera de Riemann . O ponto adicionado ao espaço pode ser imaginado como um ponto “no infinito”: no infinito a linha real “fecha” em um círculo. $P$ $P \ mapsto \ omega$
Qualquer ordinal α = [0, α [pode ser dotado da topologia do pedido . Se α é um ordinal limite , o Alexandrov compactado de [0, α [é α + 1 = [0, α] (se, pelo contrário, α tem um predecessor β, então [0, α [ é o compacto [0, β + 1 [= [0, β]).
Um espaço Fort (en) é a extensão de Alexandroff de um espaço infinito discreto .

Referências

(em) John L. Kelley , Topologia Geral , Van Nostrand,1955( leia online ) , p. 150.

Link externo

O Alexandrov compactado no site les-mathematiques.net