Congruências Ramanujan

Em matemática , as congruências de Ramanujan são congruências notáveis sobre a função de partição p ( n ). O matemático Srinivasa Ramanujan descobriu a congruência:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} p (5k + 4) & \ equiv 0 {\ pmod {5}} \\ p (7k + 5) & \ equiv 0 {\ pmod {7}} \\ p (11k +6) & \ equiv 0 {\ pmod {11}}. \ End {alinhado}}}

Significa que

Se um número for congruente com 4 módulo 5, isso quer dizer que está incluído no seguinte

4, 9, 14, 19, 24, 29 ,. . . então, o número de suas partições é um múltiplo de 5.

Se um número for congruente com 5 módulo 7, isso quer dizer que está incluído no seguinte

5, 12, 19, 26, 33, 40 ,. . . então, o número de suas partições é um múltiplo de 7.

Se um número for congruente com 6 módulo 11, isso quer dizer que está incluído no seguinte

6, 17, 28, 39, 50, 61 ,. . . então, o número de suas partições é um múltiplo de 11.

Contexto

Em seu artigo de 1919, ele fornece prova das duas primeiras congruências usando as seguintes identidades (usando a notação de símbolo Q de Pochhammer ):

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} & \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} p (5k + 4) q ^ {k} = 5 {\ frac {(q ^ {5}) _ {\ infty} ^ {5}} {(q) _ {\ infty} ^ {6}}} \\ & \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} p (7k + 5) q ^ {k} = 7 {\ frac {(q ^ {7}) _ {\ infty} ^ {3}} {(q) _ {\ infty} ^ {4}}} + 49q {\ frac {(q ^ {7}) _ {\ infty} ^ {7}} {(q) _ {\ infty} ^ {8}}}. \ end {alinhado}}}

Ele então diz que "parece que não há propriedades de igual simplicidade para números primos além desses".

Após a morte de Ramanujan em 1920, GH Hardy extraiu evidências para as três congruências de um manuscrito não publicado de Ramanujan no p ( n ) (Ramanujan, 1921). A prova usa a série Eisenstein .

Em 1944, Freeman Dyson definiu a função de classificação e conjecturou a existência de uma função de manivela para partições que forneceria uma prova combinatória das congruências do módulo 11 de Ramanujan. Quarenta anos depois, George Andrews e Frank Garvan encontraram tal função e simultaneamente provaram as três congruências do módulo 5, 7 e 11 de Ramanujan.

Na década de 1960, AOL Atkin , da Universidade de Illinois em Chicago, descobriu congruências adicionais para pequenos números primos . Por exemplo:

{\ displaystyle p (11 ^ {3} \ cdot 13k + 237) \ equiv 0 {\ pmod {13}}.}

estendendo os resultados de A. Atkin, Ken Ono em 2000 provou que existem tais congruências Ramanujan para cada inteiro primo com 6. Por exemplo, seus resultados fornecem

{\ displaystyle p (107 ^ {4} \ cdot 31k + 30064597) \ equiv 0 {\ pmod {31}}}

; em 2005, seu aluno Karl Mahlburg melhorou ainda mais esses resultados, explicando a manivela.

Uma explicação conceitual para a observação de Ramanujan foi finalmente descoberta em janeiro de 2011, considerando a dimensão de Hausdorff da seguinte função na topologia l-adic : $P$

{\ displaystyle P _ {\ ell} (b; z): = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} p \ left ({\ frac {\ ell ^ {b} n + 1} {24} } \ right) q ^ {n / 24}.}

Vemos que tem dimensão 0 apenas nos casos em que ℓ = 5, 7 ou 11 e, uma vez que a função de partição pode ser escrita como uma combinação linear dessas funções, isso pode ser considerado uma formalização e prova da observação de Ramanujan.

Em 2001, RL Weaver deu um algoritmo eficiente para encontrar as congruências da função de partição, e totalizou 76.065 congruências. Isso foi estendido em 2012 por F. Johansson para 22.474.608.014 congruências, sendo um exemplo

{\ displaystyle p (999959 ^ {4} \ cdot 29k + 28995221336976431135321047) \ equiv 0 {\ pmod {29}}.}

Veja também

Partição de um inteiro

Referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Congruências de Ramanujan " ( veja a lista de autores ) .

GH Hardy e EM Wright ( traduzido do inglês por François Sauvageot, pref. Catherine Goldstein ), Introdução à teoria dos números [“ Uma introdução à teoria dos números ”] [ detalhe da edição ], capítulo 19 (“Pontuações”), seção 19.12.
(em) S. Ramanujan , " congruence properties of partitions " , Mathematische Zeitschrift , vol. 9,1921, p. 147-153 ( DOI 10.1007 / bf01378341 ).
(em) Amanda Folsom , Zachary A. Kent e Ken Ono , " ℓ-Adic properties of the partition function " , Advances in Mathematics , vol. 229, n o 3,2012, p. 1586 ( DOI 10.1016 / j.aim.2011.11.013 ).
(em) JH Bruinier e K. Ono , " Algebraic Formulas for the coefficients of Half-Integral Weight Weak Harmonic Maas Forms " , Advances in Mathematics , vol. 246,20 de outubro de 2013, p. 198-219 ( arXiv 1104.1182 , ler online ).
(em) Rhiannon L. Weaver , " Nova congruência para a função de partição " , The Ramanujan Journal , vol. 5,2001, p. 53 ( DOI 10.1023 / A: 1011493128408 ).
(em) Fredrik Johansson , " Implementação eficiente da fórmula de Hardy-Ramanujan-Rademacher " , LMS Journal of Computation and Mathematics , vol. 15,2012, p. 341 ( DOI 10.1112 / S1461157012001088 ).

Ken Ono , “ Distribuição do módulo de função de partição m, ” Annals of Mathematics , vol. 151,2000, p. 293–307 ( DOI 10.2307 / 121118 , JSTOR 121118 , zbMATH 0984.11050 , leia online )
(pt) Ken Ono , The web of modularity: aritmética dos coeficientes de formas modulares e séries q , vol. 102, Providence, RI, American Mathematical Society ,2004, 129 p. ( ISBN 0-8218-3368-5 , zbMATH 1119.11026 , leia online )
S. Ramanujan , “ Algumas propriedades de p (n), o número de partições de n ”, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , vol. 19,1919, p. 207-210

links externos

K. Mahlburg , " Partition Congruences and the Andrews - Garvan - Dyson Crank " , Proceedings of the National Academy of Sciences , vol. 102, n o 43,2005, p. 15373–76 ( PMID 16217020 , PMCID 1266116 , DOI 10.1073 / pnas.0506702102 , Bibcode 2005PNAS..10215373M , ler online [PDF] )
Posição, manivela e deputado de Dyson .