Conjectura de Mertens

Na teoria dos números , se definirmos a função de Mertens da seguinte forma:

M (n) = \ sum _ {{1 \ leq k \ leq n}} \ mu (k)

$μ$ é a função de Möbius , então a conjectura de Mertens afirma que

| M (n) | <{\ sqrt n}.

Stieltjes afirmou em 1885 que $M ( n ) ⁄ \sqrt n$ estava entre dois limites constantes, que segundo ele poderiam ser -1 e 1. Mertens por sua vez publicou um artigo em 1897 afirmando, cálculo de M (10 4 ) para o suporte , essa desigualdade | $M ( n )$ | < $\sqrt n$ parecia-lhe muito provável para todo n > 1.

Ou qualquer desigualdade de forma | $M ( n )$ | < c $\sqrt n$ , sendo c um real positivo, implica a hipótese de Riemann .

Mais precisamente, a hipótese de Riemann é equivalente a:

\ forall \ varejpsilon> 0, \ qquad M (x) = O (x ^ {{1/2 + \ varejpsilon}}).

Provamos uma noção dessa equivalência da seguinte forma:

{\ frac 1 {\ zeta (z)}} = z \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {M (x)} {x ^ {{z + 1}}}} ~ {\ mathrm d} x

onde $ζ$ é a função zeta de Riemann . A conjectura de Mertens indicou que esta integral converge para Re ( z )> 1/2, o que implicaria que 1 ⁄ ζ é definido para Re ( z )> 1/2 e por simetria para Re ( z ) <1/2. Assim, os únicos zeros não triviais de $ζ$ verificariam Re ( z ) = 1/2, que é a afirmação da hipótese de Riemann.

Mas em 1985, Herman te Riele e Andrew Odlyzko demonstraram que a conjectura de Mertens está errada. Especificamente, eles demonstraram que $M ( n ) ⁄ \sqrt n$ tem valores maiores que 1,06 e valores menores que -1,009. János Pintz mostrou logo depois que há pelo menos um inteiro menor que exp (3,21,10 64 ) refutando a conjectura.

Ainda não se sabe se $M ( n ) ⁄ \sqrt n$ é limitado, mas Te Riele e Odlyzko consideram provável que não seja.

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " conjectura de Mertens " ( ver a lista de autores ) .

(em) A. Odlyzko e HJJ te Riele , " refutação da conjectura de Mertens " , J. Queen angew. Matemática. , vol. 357,1985, p. 138-160 ( ler online )
(em) Eric W. Weisstein , " Mertens Conjecture " on MathWorld
(in) J. Pintz , " Effective Year disproof of the Mertens conjecture " , Asterisk , n os 147-148,1987, p. 325-333