Corpo ordenado

Na álgebra geral , um campo ordenado são os dados de um campo comutativo ( K , +, ×), dotado de uma relação de ordem (anotada ≤ no artigo) compatível com a estrutura do campo.

Ao longo do artigo, denotamos naturalmente ≥ a relação de ordem recíproca de ≤, e denotamos <and> as relações de ordem estrita respectivamente associadas a ≤ e ≥. Também notamos 0 o elemento neutro da adição e 1 o da multiplicação. Nota geralmente xy o produto de dois elementos de x e y de K . Finalmente, observa- x -1 o inverso de um elemento x diferente de zero K .

A maior parte dos resultados declarados (aqueles que não envolvem a noção de inverso) podem se estender a anéis comutativos .

Definições

Mais precisamente, com as notações anteriores, dizemos que a relação de ordem ≤ é compatível com a estrutura do corpo de K se as duas condições seguintes forem satisfeitas.

1. O grupo aditivo ( K , +) é um grupo ordenado pela relação de ordem ≤ (quer dizer que este é compatível com a adição).
2. Temos, para todos os elementos de x e y do campo, tais que x ≥ 0 e y ≥ 0, a desigualdade xy ≥ 0 (a relação de ordem é compatível com a multiplicação).

Por conveniência, diremos a seguir que um elemento x de K é positivo se tivermos x ≥ 0, e que é negativo se tivermos x ≤ 0 (notaremos que, por antissimetria da relação de ordem ≤, 0 é o único elemento do corpo que é positivo e negativo).

Exemplos

Os campos ℚ de racionais e ℝ de reais , fornecidos com a relação de ordem usual, são campos ordenados.

Propriedades

Primeiro temos as propriedades relacionadas à compatibilidade da adição com a relação de ordem (veja o artigo grupo ordenado para sua demonstração, com outras notações).

• Adição de membro a membro de desigualdades:se x ≤ y e x ' ≤ y', então x + x ' ≤ y + y' .
• Mudando para o oposto em uma desigualdade , mudando a direção  :se x ≤ y então - y ≤ - x .

Também temos propriedades relacionadas à compatibilidade da multiplicação com a relação de ordem.

• Regra dos sinais  :
  1. se x ≤ 0 ey ≤ 0 então xy ≥ 0;
  2. se x ≤ 0 ey ≥ 0 então xy ≤ 0;
  3. se x ≥ 0 ey ≤ 0 então xy ≤ 0.

Isso é facilmente deduzido do segundo axioma da definição de compatibilidade, usando o fato de que um elemento negativo é o oposto de um elemento positivo, e que o oposto de um elemento é obtido multiplicando-o (à esquerda ou à direita) pelo oposto da unidade 1.

• Se 0 e 1 são comparáveis, temos necessariamente 0 ≤ 1.
  Na verdade, temos 1 = 1 × 1, e se 0 e 1 são comparáveis, temos 0 ≤ 1 ou 1 ≤ 0, mas a regra do sinal elimina o segunda possibilidade.
• Multiplicação de uma desigualdade por um elemento positivo:se x ≤ y e z ≥ 0 então xz ≤ yz e zx ≤ zy .Na verdade, y - x é então positivo, então yz - xz = ( y - x ) z e zy - zx = z ( y - x ) também.
  Deduzimos facilmente uma regra de multiplicação membro a membro de desigualdades entre elementos positivos (por transitividade da relação de ordem ≤):se x ≤ y e x ' ≤ y' e se x e y ' ou x' e y forem positivos, então xx ' ≤ yy' ,bem como a seguinte regra:
• Mudando para o reverso em uma desigualdade entre elementos estritamente positivos, mudando o significado  :se x –1 > 0, y –1 > 0 e x ≤ y, então y –1 ≤ x –1 .(Se a relação de ordem for total , as premissas x –1 > 0 ey –1 > 0 podem ser substituídas por: x > 0.)

Corpo totalmente ordenado

Chamamos um corpo totalmente ordenado um corpo ordenado para o qual a relação de ordem é total . Por exemplo, o campo ℝ dos reais, fornecido com a relação de ordem usual, é um campo totalmente ordenado, então todos os seus subcampos (como o campo ℚ dos racionais) também (para a ordem induzida).

Chamamos um corpo real (ou: formalmente real  (in) ) um campo no qual –1 não é uma soma de quadrados. (A característica de tal corpo é, portanto, zero.)

Todo corpo totalmente ordenado é formalmente real

De fato, em um campo totalmente ordenado, todo quadrado é positivo ou zero (de acordo com a regra dos sinais), então qualquer soma de quadrados também, ou –1 é negativa, como o oposto do quadrado de 1.

Portanto, o campo ℂ de números complexos (onde –1 é o quadrado de i ) não pode ser dotado de uma estrutura de campo completamente ordenada . Por outro lado, é fácil definir sobre ℂ uma relação de ordem total ou compatível com sua estrutura corporal.

Exemplos

• Pedido total em ℂ, portanto não compatível. A relação lexicográfica ≤ lex , definida por z ≤ lex z ' se, observando z = x + i y e z' = x ' + i y' , com x, y, x ' e y' reais, temos x < x ' ou x = x' e y ≤ y ' ,(os números reais sendo comparados pela relação de ordem usual) é total, portanto, não é compatível com a estrutura do corpo. Sua totalidade é facilmente deduzida daquela da relação de ordem usual sobre os reais. Mas temos i ≥ lex 0 ei 2 = –1 < lex 0, o que contradiz a regra do sinal.
• Pedido compatível em ℂ, portanto não total. A relação de ordem de comparação de partes reais ≤ re , definida por z ≤ re z ' se, observando z = x + i y e z' = x ' + i y' com x, y, x ' e y' reais, temos x ≤ x ' e y = y' ,é compatível com a estrutura corporal (porque a ordem nos reais é), portanto não é total. Em particular, os números 0 e i não são comparáveis ​​para esta relação.

Um campo K é dito euclidiano se for formalmente real e se, em seu grupo multiplicativo K *, o subgrupo de quadrados tem índice 2. Um campo K é dito pitagórico se, em K , qualquer soma de quadrados é um quadrado (para isso, para qualquer elemento x de K , 1+ x 2 é um quadrado). Para qualquer campo K , as seguintes propriedades são equivalentes:

1. K é euclidiano;
2. K é pitagórico e existe em K uma ordem total compatível única;
3. K é formalmente real, mas nenhuma de suas extensões quadráticas é;
4. –1 não é um quadrado em K e K [ √ –1 ] é quadraticamente fechado (isto é, nesta extensão, cada elemento é um quadrado);
5. K é de característica diferente de 2 e tem uma extensão quadrática fechada quadraticamente.

O estudo dos corpos euclidianos é um preâmbulo ao dos corpos reais fechados , do qual se segue que a condição prévia necessária para que um corpo possa ser fornecido com uma ordem total compatível (que -1 não é uma soma de quadrados) também é suficiente :

Um corpo é totalmente (compatível) ordenável (se e somente) se for formalmente real.

Notas e referências

1. Esta noção não deve ser confundida com a de anel euclidiano .
2. (in) TY Lam , Introdução a Quadratic Forms over Fields , AMS ,2005, 550  p. ( ISBN  978-0-8218-1095-8 , leia online ) , p.  234-235.
3. Para que uma extensão quadrática K [ √ d ] de um campo formalmente real K não seja formalmente real, é necessário (e suficiente) que em K , - d seja uma soma de quadrados: Lam 2005 , p.  233-234.

Serge Lang , Algebra [ detalhe das edições ]

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