Na álgebra , um campo fechado quadraticamente é um campo comutativo no qual cada elemento tem uma raiz quadrada .
Para qualquer campo F , as seguintes propriedades são equivalentes:
Qualquer campo quadraticamente fechado é pitagórico e não formalmente real, mas o inverso é falso (pense nos campos da característica 2).
Seja E / F uma extensão finita com E fechado quadraticamente. Então, ou −1 é um quadrado em F e F é quadraticamente fechado, ou −1 não é um quadrado em F e F é euclidiano (isso é uma consequência do teorema de Diller-Dress ).
Para o corpo F , existe um " menor " quadraticamente perto extensão da F . Esta extensão, que é exclusivo para isomorfismo , é chamado de "o" fechamento quadrática de F . Podemos construí-lo como um subcampo de “o” fechamento algébrico F alg de F , tomando a união de todas as voltas de extensões quadráticas em F em F alg . Quando a característica de F é diferente de 2, é portanto a união das 2 extensões finitas de F em F alg , ou seja, todas as extensões de Galois de grau iguais a uma potência de 2.
Por exemplo :