Curva de Lissajous

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A curva de Lissajous , também chamada de figura de Lissajous ou curva de Bowditch , é a trajetória de um ponto cujas componentes retangulares têm um movimento sinusoidal.

Esta família de curvas foi estudada por Nathaniel Bowditch em 1815 , depois com mais detalhes por Jules Lissajous em 1857 .

Definição

Uma curva de Lissajous pode sempre ser definida pela seguinte equação paramétrica:

x(t)=nopecado⁡t{\ displaystyle x (t) = a \ sin t} y(t)=bpecado⁡(nãot+ψ){\ displaystyle y (t) = b \ sin (nt + \ psi)}

onde e . 0≤ψ≤π2{\ displaystyle 0 \ leq \ psi \ leq {\ frac {\ pi} {2}}}não≥1{\ displaystyle n \ geq 1}

O número n é chamado de parâmetro da curva e corresponde à razão das pulsações dos dois movimentos sinusoidais. Além disso, se essa razão for racional, ela pode ser expressa na forma e a equação paramétrica da curva torna-se: não=qp{\ displaystyle n = {\ frac {q} {p}}}

x(θ)=nopecado⁡(pθ){\ displaystyle x (\ theta) = a \ sin (p \ theta)} y(θ)=bpecado⁡(qθ+ϕ){\ displaystyle y (\ theta) = b \ sin (q \ theta + \ phi)} 0≤θ<2π{\ displaystyle 0 \ leq \ theta <2 \ pi}

onde e . 0≤ϕ≤π2p{\ displaystyle 0 \ leq \ phi \ leq {\ frac {\ pi} {2p}}}q≥p{\ displaystyle q \ geq p}

Propriedades

• Se n for irracional, a curva é densa no retângulo [- a , a ] × [- b , b ].
• Se n é racional,
  • a curva é um algébrico (unicursal) curva de grau 2 q se para p estranho ou para p mesmo.ϕ∈]0,π2p]{\ displaystyle \ phi \ in \ left] 0, {\ tfrac {\ pi} {2p}} \ right]}ϕ∈[0,π2p[{\ displaystyle \ phi \ in \ left [0, {\ tfrac {\ pi} {2p}} \ right [}
  • a curva é uma porção de uma curva algébrica de grau q se para p estranho ou para p mesmo.ϕ=0{\ displaystyle \ phi = 0}ϕ=π2p{\ displaystyle \ phi = {\ tfrac {\ pi} {2p}}}
• Se n for um inteiro par e , ou se n for um inteiro ímpar e , a curva é uma parte da curva do n- ésimo polinômio de Chebyshev .ϕ=π2{\ displaystyle \ phi = {\ tfrac {\ pi} {2}}}ϕ=0{\ displaystyle \ phi = 0}

Casos especiais

• Se n = 1, a curva é uma elipse .
  • Se a = b e , desta elipse é um círculo .ϕ=π2{\ displaystyle \ phi = {\ frac {\ pi} {2}}}
  • Se , esta elipse é um segmento de linha .ϕ=0{\ displaystyle \ phi = 0}
• Se um = 2 b e n = q = 2 (portanto, p = 1), a curva é um saco .
  • Sim , esta bolsa é parte de uma parábola .ϕ=π2{\ displaystyle \ phi = {\ frac {\ pi} {2}}}
  • Sim , esta bolsa é uma lemniscata de Gerono .ϕ=0{\ displaystyle \ phi = 0}

Aqui estão alguns exemplos de gráficos com e a = b . ϕ=0{\ displaystyle \ phi = 0}

• Diferentes exemplos de curvas de Lissajous

• p = 1, q = 2

• p = 1, q = 3

• p = 1, q = 6

• p = 2, q = 3

• p = 3, q = 4

• p = 3, q = 20

Links com outras curvas

As curvas de Lissajous são projeções de coroas sinusoidais em um plano paralelo ao eixo de simetria.

Formulários

As curvas de Lissajous têm diferentes aplicações:

• Em um osciloscópio analógico , o modo XY (abscissa (componente horizontal) e ordenada (componente vertical)) torna possível, em particular, medir um deslocamento de fase e uma diferença de frequência entre dois sinais sinusoidais, visualizando as curvas de Lissajous. No entanto, esse método é impreciso.
• Os telescópios espaciais orbitando em torno dos pontos de Lagrange , como em particular o telescópio Herschel colocado no ponto L2, descrevem uma órbita de Lissajous .

Notas e referências

Veja também

Bibliografia

• (en) Julio Castiñeira Merino, “  Lissajous Figures and Chebyshev Polynomials  ” , The College Mathematics Journal  (en) , vol.  32, n o  22003, p.  122-127 ( ler online )
• Francisco Gomes Teixeira , Tratado sobre Curvas Planas e Esquerdas Notáveis ​​Especiais ,1971( 1 st  ed. 1905-1915) ( linha de leitura ) , cap.  III.12 (“Nas curvas de Lissajous”), p.  225-230

links externos

• Robert Ferréol e Jacques Mandonnet, “  Lissajous curve  ” , em mathcurve.com ,2015
• (pt) Diapasões de Lissajous: a padronização do som musical no site Whipple Museum of the History of Science .
• (en) Lissajous Interactive
• ( entra ) Jules Antoine Lissajous .
• Registros de autoridade  :
  • Biblioteca Nacional de Dieta
• Observe em um dicionário ou enciclopédia geral  : Encyclopædia Britannica