Cruz de Malta (mecanismo)

A cruz de Malta é um dispositivo mecânico que transforma um movimento rotacional contínuo em uma rotação brusca. Seu nome deriva de sua semelhança com a cruz de Malta (✠, símbolo da Ordem de São João de Jerusalém ou da Ordem Soberana de Malta ), mas com lados circulares. Em inglês e espanhol, esse mecanismo leva o nome da cidade de Genebra ( Geneva drive , Rueda de Ginebra ) - mas em inglês o termo cruz de Malta também é usado.

O dispositivo mecânico consiste em um came acionado por um "seguidor", permitindo a indexação .

Histórico

O inventor Jules Carpentier na França, que trabalhou com os irmãos Lumière , e Oskar Messter , um dos pioneiros do cinema alemão, patenteou dispositivos de cruz maltesa já em 1896. Mas é a cruz de Malta para quatro ramos de Pierre-Victor Continsouza que foi em seguida, o mais amplamente utilizado em dispositivos de projeção cinematográfica.

Usos

É usado em particular para filme de filme (não digital) em projetores e, raramente, em câmeras , para o avanço do filme: o filme deve parar em cada imagem na frente do obturador (tiroteio). Ou na frente do lâmpada (projeção).

Este mecanismo encontra-se em contadores mecânicos (quilometragem automóvel, consumo de água ou gás, etc.) onde garante o alinhamento das figuras e a sua inclinação a cada detenção. Também é utilizado em máquinas que realizam uma transferência de produto com necessidade de um tempo de espera na introdução (o que o sistema biela-manivela não permite). Por exemplo, está na base dos movimentos utilizados nas máquinas de embalagem: os produtos são introduzidos em uma loja de alimentos de acordo com uma quantidade predefinida (fase de parada), em seguida, são embalados durante o movimento de transferência (fase em movimento).

Operação

O funcionamento do mecanismo da cruz de Malta é o seguinte: um cilindro, chamado manivela ou roda motriz, gira continuamente, com uma velocidade regular, e carrega um dedo. O dedo entra em uma ranhura na cruz de Malta (a roda acionada), fazendo com que gire 1 / n de volta, onde n é o número de ranhuras na cruz ( n = 4 na figura ao lado, 6 em l animação acima).

Em seguida, o dedo sai da ranhura, o cilindro do motor continua seu curso enquanto a cruz de Malta permanece imóvel. O cilindro central, parcialmente oco, é complementar ao arredondamento da cruz de Malta; isso serve para estabilizar a posição do dispositivo quando o dedo não está encaixado em uma ranhura.

O número de ranhuras pode assumir valores pares ou ímpares, geralmente entre 4 e 10.

Variantes

Cruz Maltesa Interna.
Operação de uma cruz maltesa interna.
Cruz esférica de Malta.

Existem duas variantes: a cruz maltesa interna e a cruz maltesa esférica, "em tulipa" (sistema com eixos concorrentes).

No caso da cruz de Malta interna, o eixo do motor (que carrega a roda motriz) é montado em um eixo em balanço (em balanço , é segurado apenas por um lado). O eixo é, portanto, mais sensível à flexão, o que pode ser um problema se a carga for pesada.

Além disso, o tempo de direção é maior do que meio período: leva mais da meia volta da roda motriz para fazer a roda acionada girar um incremento. A duração do treinamento (tempo motor) é, portanto, maior do que a duração do descanso, ao contrário de uma cruz de Malta externa. Consequentemente, a aceleração máxima é menor, mas ainda exibe descontinuidades no início e no final do movimento.

No caso da cruz esférica de Malta, a árvore também deve ser em balanço. O tempo de treinamento é meio período; a duração do treinamento é igual à duração do descanso.

Homenagens

Alguns cineastas têm homenageado esse mecanismo, fundamental para a filmagem e a projeção em filme:

Wim Wenders , em The American Friend (1977): uma criança, filho de Jonathan e Marianne Zimmermann, brinca com uma cruz de Malta de madeira; e em Au fil du temps (1976) “o cinema não existiria sem esta invenção”, segundo Bruno Winter, o protagonista, reparador de projetores.
Martin Scorsese em Hugo Cabret (2011): quando Georges Méliès termina seu autômato, a última peça que coloca no lugar é uma cruz de Malta.

A Cruz de Malta era o logotipo da marca de projetores Cinemeccanica (it) . O logotipo atual, bem como o logotipo de sua marca CineCloud, é uma cruz maltesa estilizada (veja o logotipo na página oficial ).

Estudo mecânico

Restrições geométricas

O ponto crítico da operação é quando o dedo entra na ranhura. Isto impõe uma relação entre o raio da manivela R, ou seja, a distância entre o centro do dedo e o centro da roda motriz que o suporta, e a distância central E, ou seja, a distância entre o centro da roda motriz e do centro da cruz de Malta. Para que não haja choque, o vetor velocidade deve estar no eixo da ranhura.

Chamamos α metade do ângulo de rotação da roda motriz por revolução da roda motriz

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {\ pi} {n}}}

em radianos

seja $α = π / 4 = 45 °$ para quatro ranhuras e $α = π / 6 = 30 °$ para seis ranhuras. Temos então as seguintes relações entre a distância central E, o raio da roda motriz R 1 e o raio da roda motriz R 2 :

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {E} \ sin \ alpha}

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {2} = \ mathrm {E} \ cos \ alpha}

Entre 0 e $π / 4$ (0 e 90 °), a função seno está aumentando e a função cosseno está diminuindo em α. Deduzimos que, para uma dada distância de centro, quanto mais ranhuras tivermos (quanto maior for n ), menor será α, portanto, menor R 1 e maior R 2 .

Demonstração

Vamos representar o sistema como o dedo entra na ranhura. Colocamos a linha que liga os centros das rodas à horizontal. A ranhura, portanto, forma um ângulo α com a horizontal.O vetor velocidade é perpendicular à trajetória; como o dedo descreve um círculo, a linha que transporta o vetor velocidade é, portanto, tangente ao círculo, ou seja, perpendicular ao raio neste ponto. Portanto, temos um triângulo retângulo de hipotenusa E, um de cujos ângulos é $π / n$ e cujo lado oposto ao ângulo tem comprimento R 1 . Então nós temos :

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {E} \ sin \ alpha}

O raio do círculo circunscrito à cruz maltesa também é o comprimento do lado adjacente do triângulo retângulo, ou seja,

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {2} = {\ frac {\ mathrm {R} _ {1}} {\ tan \ alpha}} = \ mathrm {E} \ cos \ alpha.}

Além disso, a largura nominal da ranhura deve ser igual ao diâmetro nominal 2 r do dedo: menor, o dedo não poderia entrar, muito grande, haveria um choque. Na prática, há um jogo: a ranhura deve ser um pouco mais larga que o dedo para permitir o movimento. É possível usar um ajuste denominado “deslizamento sem folga”, ou mais precisamente “orientação precisa”, denotada H7 / g6, para limitar os choques, mas isso é caro de se conseguir.

O final dos ramos deve ter uma largura diferente de zero. De fato, é necessário impor uma largura mínima e 1 , que depende da resistência desejada. Isso impõe um raio máximo para o cilindro imobilizador. Além disso, o contato deve ser efetivo, havendo, portanto, um raio mínimo, a saber:

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} \ left ({\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha}} \ right) <\ mathrm {R } _ {3} <\ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

sendo a dimensão e 1 a espessura que se deseja manter na extremidade do ramo para ter resistência suficiente.

Demonstração

Temos probabilidades nominais (assumindo folga zero):

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {R} _ {3} + r + e_ {1}}

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3} = \ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

Devido à folga necessária, é de fato necessário

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3} <\ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

a diferença (R 1 - r - e 1 ) - R 3 sendo o jogo.

O contato deve ser efetivo, portanto, também temos necessariamente:

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3}> \ mathrm {E} - \ mathrm {R} _ {2}}

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3}> \ mathrm {R} _ {1} \ left ({\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha }} \ right) = \ mathrm {R} _ {1} {\ frac {1+ \ cos \ alpha} {\ sin \ alpha}}}

O comprimento mínimo da ranhura L é obtido considerando a posição em que o dedo está mais engatado. Temos então, orientando os comprimentos para a esquerda:

{\ displaystyle \ mathrm {L} _ {\ min} = \ mathrm {R} _ {1} - \ mathrm {E} + \ mathrm {R} _ {2} = \ mathrm {R} _ {1} \ esquerda (1 - {\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha}} \ right) = \ mathrm {R} _ {1} {\ frac {\ cos \ alpha + \ sin \ alpha -1} {\ sin \ alpha}}.}

O comprimento máximo é aquele que deixa material suficiente para a cruz de Malta suportar o estresse. Se chamarmos r a o raio do eixo da cruz de Malta e e 2 a espessura mínima do material que queremos, então temos:

{\ displaystyle \ mathrm {L} _ {\ max} = \ mathrm {R} _ {2} -r_ {a} -e_ {2} = {\ frac {\ mathrm {R} _ {1}} {\ tan \ alpha}} - r_ {a} -e_ {2}.}

Estudo cinemático

É assumido que a roda motriz (manivela) gira com uma velocidade angular constante ω (movimento rotacional uniforme). A figura ao lado representa o mecanismo em operação. Se observarmos como antes

n o número de ranhuras na cruz de Malta (roda motriz);
α = 2π / n o ângulo entre duas ranhuras

e que apresentamos o relatório

{\ displaystyle k = {\ frac {\ mathrm {E}} {\ mathrm {R} _ {1}}} = {\ frac {1} {\ sin \ alpha}}}

então notamos que:

a velocidade angular máxima da roda acionada é ;
${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {\ omega (k-1)} {k ^ {2} -2k + 1}}}$
a aceleração angular máxima vale, dependendo do número de ranhuras:
- n = 4: α 0 ≃ 3,82 × ω 2 ,
- n = 6: α 0 ≃ 0,375 × ω 2 ,
- n = 8: α 0 ≃ 0,268 × ω 2 ;
a aceleração angular inicial e final não são zero, o que significa que a roda acionada está sujeita a solavancos angulares infinitos ( diracs ) na prática limitados pela elasticidade e o atrito do sistema.

Esses picos de empurrão não representam um problema, desde que permaneçamos em baixas velocidades e inércias. Por outro lado, eles se tornam proibitivos para sistemas de alta velocidade e alta carga.

Demonstração

Chamamos de ângulo de entrada, e denotamos por θ e , o ângulo formado pelo raio que passa pelo dedo com o eixo x , e que caracteriza a orientação da roda motriz. Chamamos de ângulo de saída, e denotamos por θ s , o ângulo formado pelo eixo de uma ranhura em relação ao eixo x , e que caracteriza a orientação da roda acionada.

Estudo de intermitência

O ângulo de entrada θ e muda uniformemente

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {e}} = \ omega}

a velocidade angular ω é negativa no desenho. A equação horária do ângulo de entrada é, portanto, escrita

{\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {e}} = \ omega t + \ varphi}

onde $φ$ é o ângulo em t = 0, escolhido arbitrariamente. Para a representação gráfica, escolhemos $φ$ para que o dedo entre na ranhura em t = 0, ou seja,

{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {\ pi} {2}} - \ alpha}

A duração do treinamento $τ$ corresponde a uma rotação da roda motriz de um ângulo $φ$ para o ângulo simétrico - $φ$ , ou seja,

{\ displaystyle \ omega \ tau = (- \ varphi) - \ varphi = -2 \ varphi = 2 \ alpha - \ pi.}

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {2 \ alpha - \ pi} {\ omega}}.}

O período total é igual a $T = -2π / ω$ , então a fase de treinamento é uma fração do período total que vale

{\ displaystyle {\ frac {\ tau} {T}} = {\ frac {- (2 \ alpha - \ pi)} {2 \ pi}} = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {n}}.}

Posteriormente, por uma questão de simplicidade, determinamos θ s como uma função de θ e em vez de t .

Estudo das relações angulares

O ângulo de entrada está relacionado ao ângulo de saída pelo fato de que os dois triângulos retângulos têm o mesmo lado oposto h :

{\ displaystyle h = \ mathrm {R} _ {1} \ sin \ theta _ {e} = \ mathrm {R} _ {3} \ tan \ theta _ {s}.}

Então nós temos

{\ displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {h} {\ mathrm {R} _ {3}}} = {\ frac {h} {\ mathrm {E} - \ mathrm {R} _ {1} \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} = {\ frac {h} {\ mathrm {R} _ {1}}} \ times {\ frac {1} {\ mathrm {E} / \ mathrm {R} _ {1} - \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}}}

{\ displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} }

{\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {s}} = \ operatorname {arctan} \ left ({\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} \ right)}

Leis do movimento

Como preliminar, vamos calcular os seguintes derivados:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ cos (\ omega t )} {\ mathrm {d} t}} = - \ omega \ sin (\ omega t) = - \ omega \ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}}

e da mesma forma

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {\ mathrm {d} t}} = \ omega \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}

A velocidade angular da roda acionada é obtida por derivação. Tomemos novamente a expressão de tan θ s . Se derivarmos o membro esquerdo, temos

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s} } \ left (1+ \ tan ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {s}} \ right) = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} \ left (1 + {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s} } \ left ({\ frac {k ^ {2} -2 \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2 }}} \ direito)}

e derivando o lado direito:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} \ right) = {\ frac {\ omega \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} (k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) - \ omega \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega} {( k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} (k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -1)}

Ao escrever a igualdade dos dois membros, obtemos

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ omega (k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -1)} {k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1}}}

Derivando, determina-se a aceleração angular:

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ sin \ theta _ {\ mathrm {e} }} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {2}}}}

Notamos que esta aceleração desaparece para θ e = 0, então a velocidade é máxima neste ponto, e

{\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {\ omega (k-1)} {k ^ {2} -2k + 1}}}

Na origem, temos θ e = φ e, portanto,

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} (0) = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ sin \ varphi} {(k ^ {2} -2k \ cos \ varphi +1) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ cos \ alpha} {(k ^ {2 } -2k \ sin \ alpha +1) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ cos \ alpha} {(k ^ {2} -1 ) ^ {2}}} \ neq 0}

há, portanto, um solavanco infinito na origem. Por simetria, há um solavanco infinito no final do movimento.

Ao derivar a aceleração, obtemos o solavanco durante o movimento:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {3} \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t ^ {3}}} \ & = { \ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1)} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {2}}} \ esquerda (\ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} - {\ frac {4k \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1}} \ right) \\ & = {\ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1)} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {3}}} (- 2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}) \\ & = {\ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1 )} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {3}}} (2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k) \ end {alinhado}}}

A aceleração é máxima quando o jerk é cancelado, o que equivale a resolver:

{\ displaystyle 2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k = 0}

ou seja, definindo x = cos θ e

{\ displaystyle 2kx ^ {2} + (k ^ {2} +1) x-4k = 0 {\ text {; }} \ sin \ alpha \ leqslant | x | \ leqslant 1}

que é uma equação quadrática de discriminante estritamente positivo

{\ displaystyle \ Delta = (k ^ {2} +1) ^ {2} + 32k ^ {2} = k ^ {4} + 34k ^ {2} +1> 0}

A equação, portanto, admite duas soluções reais

{\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {- (k ^ {2} +1) \ pm {\ sqrt {\ Delta}}} {4k}}}

Obtemos, para alguns valores de n :

não	k	x 1	x 2	θ e	Acc. máx.
4	√2	0,980	1,33	-0.200 rad (-11,5 °)	3,82 × ω 2
6	2	0,921	1,17	-0,400 rad (-22,9 °)	0,675 × ω 2
8	2,61	0,851	1.04	-0,552 rad (-31,6 °)	0,268 × ω 2

Aplicativo Digital

Considere um projetor de cinema com uma cruz maltesa de quatro ranhuras. Então nós temos :

uma roda motriz da frequência de rotação N = 24 Hz (24 quadros por segundo), ou ω = 2π N ≃ 151 rad / s ;
uma razão de $k = 1 / sin (π / 4) = \sqrt 2 ≃ 1,41$ ;

e entao

ω 0 ≃ 364 rad / s ; N 0 = 57,9 rpm ;
α 0 ≃ 8,69 × 10 4 rad / s 2 .

Notas e referências

" Cruz de Malta " , em projector.mip.free.fr (acesso em 30 de junho de 2016 )

Veja também

Bibliografia

(pt) John H. Bickford , Mechanisms for intermittent motion , Nova York, Industrial Press inc.,1972, 264 p. ( ISBN 0-8311-1091-0 , leitura online ) , cap. 9 (“Mecanismos de Genebra”) , p. 127-138

links externos

A cruz de Malta no site da Universidade de Nantes (animação infantil em Java )
Cruz de Malta : site que relata os primórdios da história do cinema em livros de época

Cruz de Malta (mecanismo)

Histórico

Usos

Operação

Variantes

Homenagens

Estudo mecânico

Restrições geométricas

Estudo cinemático

Notas e referências

Veja também

Bibliografia

Artigos relacionados

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