Em física , um grau de liberdade (abreviado dof ou DDL ) é um parâmetro independente na descrição formal do estado de um sistema físico , ou talvez mais precisamente de um sistema dinâmico . O termo parâmetro deve ser entendido aqui em sentido amplo, como um elemento de informação, geralmente um número, identificado com uma quantidade física . Crucialmente, esse parâmetro deve ter a liberdade de evoluir sem restrições.
Este conceito muito geral de grau de liberdade é usado em muitos campos da física ( mecânica , física estatística , química , teoria quântica de campos , ...), bem como na matemática pura ( estatística ). Listamos alguns exemplos nesta seção.
Na engenharia mecânica , os graus de liberdade indicam as diferentes possibilidades de movimento no espaço. Consulte o artigo grau de liberdade (engenharia mecânica) . Este uso da expressão é semelhante ao usado na tipologia de vibrações moleculares . No último quadro mencionado (descrição dos movimentos moleculares), dois tipos de graus de liberdade são identificados: os graus de liberdade externos , 6 em número, correspondentes aos movimentos da molécula no espaço (translações e rotações), e os graus de liberdade interna , correspondendo às deformações da molécula em relação à sua conformação de equilíbrio.
Em três dimensões, existem 6 graus de liberdade associados ao movimento de uma partícula, 3 para sua posição, 3 para seu momento . Portanto, há 6 graus de liberdade no total. Outra forma de justificar este esquema é considerar que o movimento da molécula será descrito pelo movimento de duas partículas mecânicas representando seus dois átomos, que 6 graus de liberdade estão ligados a cada partícula, como acima. Com esta consideração adicional, parece que diferentes conjuntos de graus de liberdade podem ser definidos a fim de definir o movimento da molécula. Na verdade, os graus de liberdade para um sistema mecânico é um conjunto de eixos independentes no espaço de fase do sistema, o que permite gerá-lo inteiramente. Para um espaço multidimensional como o espaço de fase, há mais de um conjunto possível de eixos. Está estabelecido que todos os graus de liberdade da molécula de hidrogênio não participam da expressão de sua energia . Por exemplo, os graus associados à posição do centro de massa não participam.
Na tabela abaixo, os graus negligenciados são devido à sua pequena influência na energia total, a menos que estejam em temperaturas ou energias muito altas. A rotação diatômica é negligenciada devido à rotação em torno dos eixos moleculares. A rotação monoatômica é desprezada pela mesma razão que a diatômica, mas esse efeito é válido nas outras duas direções.
Monoatômico | Moléculas lineares compostas de átomos de N | Moléculas não lineares constituídas por átomos de N | |
---|---|---|---|
Posição (x, y e z) | 3 | 3 | 3 |
Rotação (x, y e z) | 0 | 2 | 3 |
Vibração | 0 | 3N - 5 | 3N - 6 |
Total | 3 | 3N | 3N |
No modelo de cadeia ideal , dois ângulos são necessários para descrever a orientação de cada monômero .
Na física estatística , um grau de liberdade é um número único que descreve um microestado de um sistema. A especificação de todos os microestados de um sistema é um ponto no espaço de fase do sistema.
A descrição do estado de um sistema como um ponto em seu espaço de fase, embora matematicamente prática, é fundamentalmente imprecisa. Na mecânica quântica , os graus de liberdade de movimento são substituídos (na representação de Schrödinger ) pelo conceito de função de onda e os operadores que correspondem a outros graus de liberdade têm espectros discretos . Por exemplo, o operador de spin de um elétron ou fóton tem apenas dois valores próprios . Essa descontinuidade se torna aparente quando a ação tem uma ordem de magnitude próxima à constante de Planck e os graus de liberdade individuais podem ser distinguidos.
(Veja também a discussão sobre graus de liberdade no artigo sobre mecânica quântica na representação de Heisenberg. )
Na teoria quântica de camposO conjunto de graus de liberdade de um sistema é independente se a energia associada ao conjunto puder ser escrita da seguinte forma:
onde é uma função da única variável .
Exemplo: se e são dois graus de liberdade, e é a energia associada:
Se for um conjunto de graus de liberdade independentes, então, no equilíbrio termodinâmico , são estatisticamente independentes uns dos outros.
Para i de 1 a N , o valor do i ésimo grau de liberdade é distribuído de acordo com uma lei de Boltzmann . Sua função de densidade de probabilidade é a seguinte:
,Nesta seção, e posteriormente, indique a média da quantidade que elas circundam.
A energia interna do sistema é a soma das energias médias associadas a cada um dos graus de liberdade:
. DemonstraçãoPostularemos posteriormente que as trocas de energia do sistema proposto são feitas com o exterior, e que o número de partículas do sistema é constante, isto é, nos colocamos no conjunto canônico . Lembre-se de que em física estatística , um resultado que é demonstrado para um sistema permanece verdadeiro para este sistema no limite termodinâmico em qualquer conjunto. No conjunto canônico, em equilíbrio termodinâmico , o estado do sistema é distribuído entre os microestados de acordo com uma distribuição de Boltzmann . Se for a temperatura do sistema e a constante de Boltzmann , então a função de densidade de probabilidade associada a cada microestado é a seguinte:
,Esta expressão se transforma em um produto de termos dependendo de um único grau de liberdade:
A existência de tal desenvolvimento da função de densidade de probabilidade em um produto de função de uma única variável é suficiente por si só para demonstrar que são estatisticamente independentes entre si.
Cada função de ser normalizada , segue-se que a função de densidade de probabilidade do grau de liberdade , para i entre 1 e N .
Finalmente, a energia interna do sistema é a energia média. A energia de um grau de liberdade é função da única variável . Uma vez que são estatisticamente independentes um do outro, o mesmo ocorre com as energias . A energia interna total do sistema pode então ser escrita como:
.Um grau de liberdade é quadrático se os termos de energia associados podem ser escritos:
,onde é uma combinação linear de outros graus de liberdade quadráticos.
Por exemplo, se e são dois graus de liberdade e a energia associada:
Na mecânica clássica , a dinâmica de um sistema de graus de liberdade quadráticos é controlada por um conjunto de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes .
Graus de liberdade quadráticos e independentessão graus de liberdade quadráticos e independentes se a energia associada a um microestado do sistema que eles descrevem puder ser escrita:
. Teorema da equipartiçãoNa física estatística clássica, em equilíbrio termodinâmico , a energia interna de um sistema de N graus de liberdade quadráticos e independentes é:
. DemonstraçãoAqui, a energia média associada a um grau de liberdade é:
.Sendo os graus de liberdade independentes, a energia interna do sistema é igual à soma da energia média associada a cada grau de liberdade, o que demonstra o resultado.