Na álgebra comutativa , o grau de um polinômio (em um ou mais indeterminados ) é o grau mais alto de seus termos quando o polinômio é expresso em sua forma canônica consistindo em uma soma de monômios . O grau de um termo é a soma dos expoentes dos indeterminados que nele aparecem. O termo ordem tem sido usado como sinônimo de grau , mas hoje em dia se refere a conceitos diferentes, embora relacionados.
Por exemplo, o polinômio 7 X 2 Y 3 + 4 X - 9 tem três monômios. O primeiro é de grau 2 + 3 = 5, o segundo (4 X 1 Y 0 ) de grau 1 e o último (–9 X 0 Y 0 ) de grau 0. Portanto, o polinômio é de grau 5, que é o mais alto grau de todos os seus monômios.
Para determinar o grau de um polinômio que não está na forma padrão - por exemplo ( X + 1) 2 - ( X - 1) 2 - devemos primeiro colocá-lo na forma padrão expandindo os produtos (por distributividade ) e combinando termos semelhantes ; por exemplo, ( X + 1) 2 - ( X - 1) 2 = 4 X , e seu grau é 1, embora cada termo da diferença seja de grau 2. No entanto, isso não é necessário quando o polinômio é expresso como um produto de polinômios na forma padrão, já que o grau de um produto é a soma dos graus de seus fatores.
Os seguintes nomes são atribuídos a polinômios de acordo com seu grau:
Os nomes dos graus acima de 3 são baseados em números ordinais latinos e terminam em -ic . Devem ser nomes distintos usados para o número de indeterminado, o aridade , que são baseados em números distribucionais (in) latinos e terminam em ary . Por exemplo, um polinômio de grau 2 com dois indeterminados, como X 2 + XY + Y 2 , é chamado de “quadrático binário”: quadrático por causa de seu grau 2, binário por causa de suas duas variáveis. Existem também substantivos para denotar o número de termos, que também são baseados em números distributivos latinos e terminam em -nome ; os mais comuns são monomial , binomial e trinomial ; assim, X 2 + Y 2 é um “binomial quadrático binário”.
As formas canônicas dos três exemplos acima são:
O grau da soma (ou diferença) de dois polinômios é menor ou igual ao maior de seus graus, ou seja, deg ( P + Q ) ≤ max (deg ( P ), deg ( Q )) e deg ( P - Q ) ≤ max (deg ( P ), deg ( Q )).
A igualdade é sempre verdadeira quando os graus dos polinômios são diferentes.
Por exemplo :
O grau do produto de dois polinômios sobre um anel integral A (como um campo ) é a soma de seus graus: Por exemplo :
No Um -álgebra de polinómios com coeficientes em Um , o subconjunto de polinómios de grau inferior ou igual a um dado número de n forma assim um sub-módulo (mas não um subanel se n > 0, uma vez que não é fechada por multiplicação).
Para polinômios sobre um anel comutativo contendo divisores de zero , o grau do produto pode ser menor que a soma dos graus. Por exemplo, em ℤ / 4ℤ :
O grau do composto de um polinômio P por um polinômio não constante Q em um anel integral é o produto de seus graus: Por exemplo, se P ( T ) = T 3 + T e Q ( X ) = X 2 + 1, então ( P ∘ Q ) ( X ) = P ( Q ( X )) = ( X 2 + 1) 3 + ( X 2 + 1) = X 6 + 3 X 4 + 4 X 2 + 2, que é de grau 6.
Esta propriedade caracteriza os anéis integrais. A condição Q não constante é importante. Por exemplo, se P (X) = X 2 - 4 e Q ( X ) = 2, então ( P ∘ Q ) ( X ) = P ( Q ( X )) = 0, de grau –∞ ≠ 2 × 0 . A propriedade é verdadeira com Q igual a uma constante diferente de zero, desde que essa constante não seja a raiz do polinômio P.
Em um anel não integral, o grau do composto é sempre menor ou igual ao produto dos graus e pode ser estritamente menor que ele. Por exemplo, em ℤ / 4ℤ, deg (2 T ) × deg (1 + 2 X ) = 1 × 1 = 1, mas 2 T ∘ (1 + 2 X ) = 2 (1 + 2 X ) = 2 + 4 X = 2, que é de grau 0.
Na característica diferente de 2, o grau de um polinômio par diferente de zero é par e o grau de um polinômio ímpar diferente de zero é ímpar . (Os recíprocos são trivialmente errados.)
O grau de polinómio de zero ou é deixado indefinido ou definido como negativo (geralmente -1 ou -∞ ).
Como qualquer valor constante, o valor 0 pode ser considerado um polinômio (constante), denominado polinômio nulo. Não tem termo diferente de zero e, portanto, rigorosamente, também não tem diploma. Como tal, seu grau é indefinido. As proposições para o grau de somas e produtos de polinômios na seção acima não se aplicam se algum dos polinômios envolvidos for o polinômio zero.
É conveniente, no entanto, para definir o grau de zero polinomial para ser negativo infinito , -∞, e para introduzir as regras aritméticas max ( um , -∞) = um e um + (-∞) = -∞ .
Os exemplos a seguir ilustram como essa extensão verifica as regras de comportamento acima:
O grau de um polinômio f pode ser calculado pela fórmula Esta fórmula generaliza o conceito de grau para certas funções que não são polinomiais . Por exemplo :
Outra fórmula para calcular o grau de f a partir de seus valores é (Isso é da regra de L'Hôpital .)
Para polinômios com duas ou mais variáveis, o grau de um termo é a soma dos expoentes das variáveis no termo; o grau (às vezes chamado de grau total ) do polinômio é novamente o máximo dos graus de todos os termos do polinômio. Por exemplo, o polinômio x 2 y 2 + 3 x 3 + 4 y é de grau 4, o grau do termo x 2 y 2 .
No entanto, um polinómio nas variáveis x e y é um x polinomial possuindo coeficientes que y polinómios , e também, uma y polinomiais possuindo coeficientes que são x polinómios .
x 2 y 2 + 3 x 3 + 4 y = (3) x 3 + ( y 2 ) x 2 + (4 y ) = ( x 2 ) y 2 + (4) y + (3 x 3 )Este polinômio possui grau 3 em xe grau 2 em y .
O grau total da soma de dois polinômios é menor ou igual ao maior de seus respectivos graus totais (igual se esses dois graus forem distintos), e o do produto de dois polinômios é menor ou igual (igual se o anel é integral) à soma de seus respectivos graus totais.
Dado um anel R, o anel polinomial R [ x ] é o conjunto de todos os polinômios em x que têm coeficientes retirados de R. No caso especial em que R também é um campo , então o anel polinomial R [ x ] é um anel principal e, mais importante para nossa discussão aqui, um anel euclidiano .
Pode-se mostrar que o grau de um polinômio sobre um campo satisfaz todas as suposições da função norma no anel euclidiano. Isto é, dado duas polinómios de f ( x ) e g ( x ), o grau do produto f ( x ) g ( x ) deve ser maior do que cada um dos graus de f e g tomadas separadamente. Na verdade, algo mais forte é verificado:
deg ( f ( x ) g ( x )) = deg ( f ( x )) + deg ( g ( x ))Para obter um exemplo de por que a função de grau pode falhar em um anel que não é um campo, considere o exemplo a seguir. Seja R = , o anel dos inteiros módulo 4. Este anel não é um campo (e nem mesmo é integral), porque 2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4). Portanto, seja f ( x ) = g ( x ) = 2 x + 1. Então, f ( x ) g ( x ) = 4 x 2 + 4 x + 1 = 1. Então deg ( f ⋅ g ) = 0, que não é maior do que os graus de f e g (sendo cada um deles de 1 grau).
Como a função norma não é definida para o elemento nulo do anel, consideraremos o grau do polinômio f ( x ) = 0 como também indefinido, de forma que satisfaça as regras de uma norma em um anel euclidiano.
(en) Pierre Antoine Grillet , Abstract Algebra ,2007, 2 nd ed. ( leia online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">