Conjunto de clube

Na teoria dos conjuntos , uma parte de um ordinal de limite é chamada de clube (do inglês fechado ilimitado ) se for fechada para a topologia da ordem e não limitada . Os tacos são objetos combinatórios importantes na teoria dos conjuntos.

Definições e exemplos

Um limite ordinal e uma parte de . Dizemos que faz parte de um clube , ou é um clube , ou apenas é um clube se não houver ambigüidade, se as duas condições a seguir forem atendidas: α{\ displaystyle \ alpha}VS{\ displaystyle C}α{\ displaystyle \ alpha}VS{\ displaystyle C}α{\ displaystyle \ alpha} α{\ displaystyle \ alpha}

• VS{\ displaystyle C}está fechado para a topologia do pedido em , ou seja, para tudo , se , então . Em outras palavras: se podemos nos aproximar de baixo de um ordinal por elementos de , então é em .α{\ displaystyle \ alpha}β<α{\ displaystyle \ beta <\ alpha}svocêp(VS∩β)=β{\ displaystyle sup (C \ cap \ beta) = \ beta}β∈VS{\ displaystyle \ beta \ in C}β{\ displaystyle \ beta}VS{\ displaystyle C}β{\ displaystyle \ beta}VS{\ displaystyle C}
• VS{\ displaystyle C}é ilimitado, ou seja, para tudo existe tal que .β<α{\ displaystyle \ beta <\ alpha}γ∈VS{\ displaystyle \ gamma \ in C}β<γ{\ displaystyle \ beta <\ gamma}

Aqui estão alguns exemplos :

• Se é uma função normal, isto é contínua e estritamente crescente , e se não é de co - finalidade contável, então o conjunto de pontos fixos de é um clube.f:α→α{\ displaystyle f: \ alpha \ rightarrow \ alpha}α{\ displaystyle \ alpha}f{\ displaystyle f}
• Se é uma função normal, sua imagem é um clube.f:α→α{\ displaystyle f: \ alpha \ rightarrow \ alpha}
• α{\ displaystyle \ alpha}é um cardeal limite se e somente se o conjunto de cardeais for estritamente menor do que um clube em .α{\ displaystyle \ alpha}α{\ displaystyle \ alpha}
• o conjunto de ordinais do limite contável é um clube em .ω1{\ displaystyle \ omega _ {1}}

Podemos definir da mesma forma ser um clube para uma classe de pessoas comuns.

O filtro do clube

Qualquer limite ordinal de cofinalidade incontável . Se e se é uma série de clubes, pode-se demonstrar que ainda é um clube. α{\ displaystyle \ alpha}λ{\ displaystyle \ lambda}β<λ{\ displaystyle \ beta <\ lambda}(VSeu)eu<β{\ displaystyle (C_ {i}) _ {i <\ beta}}⋂eu<βVSeu{\ displaystyle \ bigcap _ {i <\ beta} C_ {i}}

Em particular, se for um cardeal regular , então todas as partes que contêm um clube são um filtro completo em não primário , denominado filtro de clube . Este filtro também é fechado por interseção diagonal, ou seja, se for uma série de tacos, então a interseção diagonal ainda é um taco. κ{\ displaystyle \ kappa}κ{\ displaystyle \ kappa} κ{\ displaystyle \ kappa}κ{\ displaystyle \ kappa}(VSeu)eu<κ{\ displaystyle (C_ {i}) _ {i <\ kappa}}Δeu<κVSeu={β<κ|β∈⋂eu<βVSeu}{\ displaystyle \ Delta _ {i <\ kappa} C_ {i} = \ {\ beta <\ kappa | \ beta \ in \ bigcap _ {i <\ beta} C_ {i} \}}

Por outro lado, um filtro no qual é -completo, não principal e fechado por interseção diagonal contém necessariamente todos os clubes. κ{\ displaystyle \ kappa}κ{\ displaystyle \ kappa}

Como os conjuntos de tacos geram um filtro, podemos dizer informalmente que uma parte que contém um taco é uma grande parte, em analogia com o filtro de medida 1 partes de um espaço de probabilidade . Da mesma forma, uma parte contida no complementar de um clube é uma pequena parte. Uma parte que não é pequena , ou seja, uma parte cuja intersecção com cada taco não é vazia, é chamada de conjunto estacionário  (in) .

Bibliografia fonte

• Jech, Thomas , 2003. Teoria dos Conjuntos: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded . Springer. ( ISBN  3-540-44085-2 )
• Kenneth Kunen , 2011. Teoria dos conjuntos . Publicações da faculdade. ( ISBN  978-1-84890-050-9 )

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