Familia normal

Em matemática , especificamente em análise , uma família normal é uma família de funções holomórficas ( analíticas complexas ) em um domínio D aberto como qualquer sequência de termos da família, podemos extrair uma subsequência uniformemente convergente em partes compactas por D.

O limite da seqüência convergente pode não pertencer à família. A função limite pode ser a constante infinita. Portanto, qualquer função limite é finita em todos os lugares, ou então é a constante infinita.

Nota: a família é indexada, mas o conjunto de índices não é necessariamente contável .

Notações e vocabulário

Diz-se que um ponto está dentro de um domínio D se existe um disco centrado neste ponto e de raio diferente de zero, do qual todos os pontos são elementos de D.
Dizemos de um conjunto de pontos E que é completamente interior a D se todos os pontos de adesão de E são interiores a D.
A seguir, salvo indicação em contrário, o domínio considerado é aberto, ou seja, todos os seus pontos são interiores a ele.

Prólogo

Antes que a noção de família normal aparecesse sob a pena de Paul Montel em 1912, vários matemáticos descobriram resultados nessa direção. Por exemplo, o teorema de Stieltjes (1894):

"Dada uma sequência de funções holomórficas e limitadas como um todo em um domínio D, se essa sequência converge uniformemente em um domínio interior, ela converge uniformemente no interior de D."

e Vitali deu o seguinte teorema (1903):

“Se uma sequência de funções holomórficas e limitadas como um todo no interior de um domínio D converge em uma infinidade de pontos completamente interiores a D, a série converge uniformemente no interior deste domínio. "

Também demonstramos o seguinte resultado:

Seja uma família de funções holomórficas f (z) em um domínio D satisfazendo, neste domínio, a desigualdade | f (z) -a |> m. Então existe uma sequência extraída da família que converge uniformemente dentro de D para uma função limite que pode ser a constante infinita. "

Propriedades de famílias normais

Transformação compatível

A normalidade da família é preservada pela transformação conforme.

Normalidade em um ponto

Uma família é considerada normal em um ponto se houver um disco com este ponto para o centro e tal que a família seja normal neste disco.

“Se uma família é normal em um domínio aberto D, é normal em cada ponto do domínio. "

O inverso também é verdadeiro:

“Se uma família é normal em todos os pontos de um domínio, é normal neste domínio. "

Funções normais limitadas

"Se os valores das funções de uma família normal em um domínio D são limitados em um ponto fixo deste domínio, as funções são limitadas como um todo em cada domínio completamente dentro de D."

Podemos, portanto, aplicar o teorema de Stieltjes ou o teorema de Vitali a famílias normais.

Número de soluções de f ( z ) = a

"Se uma família normal em um domínio limitado D é tal que existe para cada função da família uma solução em D para a equação de um b fixo e que a família não admite qualquer função limite g igual à constante a, o O número de soluções da equação contida em D é limitado para todas as funções da família. " $g_ {n}$ ${\ displaystyle g_ {n} (z) = b}$ ${\ displaystyle g_ {n} (z) = a}$

Devemos entender por solução contida em D um ponto interior a D.

Ponto irregular

Dizemos de um ponto P que é irregular para uma família se a família não é normal neste ponto. Esses pontos irregulares também são chamados de "pontos Julia ".

“Se uma família não é normal em um domínio D, há um ponto irregular dentro do domínio. "

“Para uma família de funções holomórficas delimitadas em cada ponto, os pontos irregulares formam um conjunto perfeito não denso e contínuo em uma única peça com a fronteira do domínio. "

Critério de normalidade

“Qualquer família de funções holomórficas em um domínio do qual elas não tomam o valor a nem o valor b é normal neste domínio. "

Dizemos que a é um valor excepcional para f no domínio D se f não assume o valor a neste domínio.

o teorema anterior é, portanto, escrito

“Qualquer família de funções holomórficas em um domínio do qual eles admitem dois valores excepcionais comuns é normal neste domínio. "

Formulários

A seguir, exemplos de famílias normais são dados, casos em que a família não é normal, bem como as principais aplicações da teoria.

Exemplos

Seja uma família de funções f não tomando os valores aeb, variáveis com f, mas tais que | a | <M, | b | <M e | ab | > d, sendo M e d números fixos. Então a família é normal.
A família formada pelos primitivos das funções de uma família holomórfica limitada em D é uma família normal em D.
A família {f (z) + n}, onde f (z) é uma função analítica em qualquer domínio D, é normal em D. A função limite é + ∞.
Seja f (z) uma função inteira não constante. A família de funções inteiras definidas por não é normal no círculo | z | <2. ${\ displaystyle f_ {n} (z) = f (2 ^ {n} z)}$

O teorema de Harnack

Seja uma série infinita de funções harmônicas em um domínio D e tal que em cada ponto de D, temos , então a série converge uniformemente para uma função harmônica ou para o infinito. O resto forma uma família normal. Se a sequência é limitada em um ponto P dentro de D, ela converge uniformemente para uma função harmônica dentro de D. Este é o teorema de Harnack. ${\ displaystyle u_ {1} \ leq u_ {2} \ leq \ ldots \ leq u_ {n} \ leq \ ldots}$

O teorema de F. e R. Nevanlinna

"Uma condição necessária é suficiente para uma função holomórfica no domínio D ser o quociente de duas funções limitadas é que a sequência de funções harmônicas , que tomam os valores em uma série de contornos que limitam os domínios aninhados do limite D, é limitada a um ponto nesta área. " $uma}$ ${\ displaystyle \ log ^ {+} | f (z) |}$ $C_ {n}$

Os dois teoremas de Picard

“Uma função inteira que não se reduz a uma constante assume todos os valores, exceto um, no máximo. "

“Uma função holomórfica com uma singularidade essencial assume, em qualquer vizinhança desta singularidade, qualquer número complexo um número infinito de vezes como seu valor, exceto talvez um. "

O teorema do mapeamento conforme

O conceito de família normal é usado na demonstração do teorema de implementação consistente de Riemann .

O teorema Paul Montel

“Se F é uma família de funções holomórficas em um domínio D uniformemente limitado em qualquer compacto de D, então é normal. "

Teorema de Gu

“Seja D um domínio, aeb dois números complexos (b diferente de zero) ek um número inteiro positivo diferente de zero. Seja F uma família de funções meromórficas em D, de modo que cada uma das equações não tenha solução em D. Então, a família é normal em D. " ${\ displaystyle f_ {n} (z) = a, f_ {n} ^ {(k)} (z) = b}$

Teorema de Miranda (it)

"Qualquer família de funções holomórficas f (z) em um domínio do qual elas não tomam o valor a e onde suas derivadas de ordens $ν$ não tomam o valor diferente de zero b, é normal em D."

Bibliografia

Até recentemente, havia apenas dois livros sobre famílias normais, o escrito por Paul Montel em 1927 e o de Valiron publicado em 1929.

(en) Chi-Tai Chuang, Normal Families of Meromorphic Functions , World Scientific , Singapura, 1993 ( ISBN 978-981-02-1257-5 ) .
Paul Montel , Lições sobre famílias normais de funções analíticas e suas aplicações , Paris, Gauthier-Villars , 1927.
(en) Joel L. Schiff, Normal Families , Springer Universitext, New York, 1993 ( ISBN 978-0-387-97967-0 ) .
Georges Valiron , Normal and Quasi-Normal Families of Meromorphic Functions , Memorial of Mathematical Sciences 38, Paris, Gauthiers-Villars, 1929.
Georges Valiron , Sobre os valores excepcionais das funções meromórficas e seus derivados , Paris, Hermann , coll. 'Scientific and News industrial "( n o 570)1937.