Função característica (probabilidades)

Em matemática e especialmente em teoria de probabilidade e estatística , a função característica de uma variável aleatória real $X$ é um número que determina exclusivamente sua distribuição de probabilidade . Se essa variável aleatória tem uma densidade , a função característica é a transformada de Fourier inversa da densidade. Os valores zero das derivadas sucessivas da função característica permitem calcular os momentos da variável aleatória.

A função característica é às vezes chamada de primeira função característica, enquanto a segunda função característica (ou também a segunda função característica ) é sua transformação logarítmica .

O teorema de Bochner e o teorema Khintchine fornecem condições necessárias e suficientes para que uma função seja a função característica de uma variável aleatória.

Definições

Para uma variável real

A função característica de uma variável real aleatória $X$ é a função de valor complexo definida por $\ mathbb {R}$

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ varphi _ {X} (t) & = \ mathbb {E} \ left [\ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} tX} \ right] \\ & = \ mathbb {E} \ left [\ cos (tX) \ right] + \ mathrm {i} \ \ mathbb {E} \ left [\ sin (tX) \ right]. \ end {alinhado}}}

Se esta variável aleatória tem uma densidade , digamos $f X$ , então

{\ displaystyle \ varphi _ {X} (t) = \ int _ {\ mathbb {R}} f_ {X} (x) \ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} tx} \, \ mathrm {d } x.}

Assim, no caso de uma variável aleatória com densidade, a função característica é a transformada de Fourier inversa (até um fator de

2π

no exponencial de acordo com a convenção) da densidade. Provavelmente por esta razão, acontece que se escolhe uma convenção diferente, viz . Será notado que embora o uso na comunidade de probabilistas seja falar de transformada de Fourier, é estritamente uma questão da transformada inversa de Fourier .

{\ displaystyle \ varphi _ {X} (t) = \ mathbb {E} [\ operatorname {e} ^ {2 \ mathrm {i} \ pi tX}]}

Se esta variável tiver valores no conjunto de números naturais, então

{\ displaystyle \ varphi _ {X} (t) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ mathbb {P} (X = k) e ^ {\ mathrm {i} tk} = G_ {X } (e ^ {\ mathrm {i} t})}

onde

G X

denota sua função geradora de probabilidade generalizada para um parâmetro complexo.

Para uma variável de um espaço euclidiano

Mais geralmente, a função característica de uma variável aleatória $X$ com valores em é a função com valores complexos definidos por $\ mathbb {R} ^ {d}$ $\ mathbb {R} ^ {d}$

{\ displaystyle \ varphi _ {X} (u) = \ mathbb {E} \ left [\ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} \ langle u, X \ rangle} \ right]}

onde é o produto de ponto de $u$ com $X$ . ${\ displaystyle \ langle u, X \ rangle}$

Para uma função de distribuição

A função característica de uma função de distribuição $F$ é a função de valor complexo definida por $\ mathbb {R}$

{\ displaystyle \ varphi _ {F} (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ textrm {e}} ^ {\ mathrm {i} tz} \, \ mathrm {d} F (z)}

onde a integral é uma integral de Stieltjes .

Propriedades

A função característica determina exclusivamente a lei de uma variável aleatória no sentido de que " $φ X = φ Y$ " (igualdade de funções) é equivalente a " $X$ e $Y$ têm a mesma lei".
Se $X$ e $Y$ são duas variáveis aleatórias independentes , $φ X + Y = φ X φ Y$ . De forma mais geral, se $X 1 , ..., X n$ forem variáveis aleatórias independentes como um todo, então $φ X 1 + ... + X n = φ X 1 ... φ X n$ . Até então aplicando a transformada de Fourier $φ X + Y$ , que ajuda a encontrar o direito de $X + Y$ .
Existe uma relação entre os momentos e a função característica de uma variável aleatória. Quando existem momentos de qualquer ordem e sua série de geração exponencial tem um raio de convergência $R$ diferente de zero, então: ${\ displaystyle \ varphi _ {X} (t) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {i} ^ {k} \ mathbb {E} [X ^ {k} ]} {k!}} t ^ {k} ~~~ \ forall t \ in \ left] -R, R \ right [}$ .

Demonstração

De qualquer maneira , nós temos . ${\ displaystyle t \ in [0, R [}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {X} (t) = \ mathbb {E} \ left [\ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} tX} \ right] = \ mathbb {E} \ left [\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(\ mathrm {i} tX) ^ {k}} {k!}} \ right] = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} { \ frac {\ mathrm {i} ^ {k}} {k!}} t ^ {k} \ mathbb {E} \ left [X ^ {k} \ right]}$

Para justificar a inversão entre a soma e a expectativa, basta mostrar que é finito e aplicar o teorema de Fubini. Percebemos que para tudo : ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathbb {E} [| X | ^ {k}]} {k!}} t ^ {k}}$ ${\ displaystyle k \ geq 0}$

{\ displaystyle \ mathbb {E} [| X | ^ {2k + 1}] = \ mathbb {E} [| X | ^ {2k + 1} \ mathbf {1} _ {| X | \ leq 1}] + \ mathbb {E} [| X | ^ {2k + 1} \ mathbf {1} _ {| X |> 1}] \ leq 1+ \ mathbb {E} [X ^ {2k + 2}]}

Portanto, temos para tudo : ${\ displaystyle t \ in \ left [0, R \ right [}$

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathbb {E} [| X | ^ {k}]} {k!}} t ^ {k} \ leq e ^ { t} +2 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathbb {E} [X ^ {2k}]} {(2k)!}} t ^ {2k} \ leq e ^ {t} +2 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {| \ mathbb {E} [X ^ {k}] |} {k!}} t ^ {k} <+ \ infty}

A última soma é de fato convergente porque sabemos que toda uma série é absolutamente convergente no interior de seu disco de convergência. Em seguida, procedemos da mesma maneira para . ${\ displaystyle t \ in \ left] -R, 0 \ right]}$

Essa relação às vezes é usada para calcular a expectativa (momento de ordem 1) e a variância de uma variável aleatória. Mais explicitamente: ${\ displaystyle \ varphi _ {X} ^ {(k)} (0) = \ mathrm {i} ^ {k} \ mathbb {E} [X ^ {k}]}$ portanto : ${\ displaystyle \ mathbb {E} [X] = - \ mathrm {i} \ varphi _ {X} ^ {\ prime} (0)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} \ left [X ^ {2} \ right] = - \, \ varphi _ {X} ^ {\ prime \ prime} (0)}$ ${\ displaystyle {\ textrm {Var}} (X) = - \, \ varphi _ {X} ^ {\ prime \ prime} (0) + \ left (\ varphi _ {X} ^ {\ prime} (0) ) \ direita) ^ {2}}$ .
A seguinte relação é usada, por exemplo, para calcular a função característica de uma variável centrada reduzida , a partir da função característica da variável inicial: ${\ displaystyle \ varphi _ {aX + b} (t) = \ varphi _ {X} (arroba) \, \ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} tb}}$ .
O teorema da convergência de Lévy diz que a convergência na distribuição é equivalente à convergência simples da função característica em qualquer ponto.

Segunda função característica

Definição

A segunda função característica de uma variável real aleatória $X$ é a função de valor complexo definida por

{\ displaystyle \ psi _ {X} (t) = {\ text {Log}} \ varphi _ {X} (t) = {\ text {Log}} \ mathbb {E} [e ^ {\ mathrm {i } tX}]}

onde Log designa o ramo principal do logaritmo que é definido e holomórfico no plano complexo privado da meia-linha de reais negativos ou zero e que é igual a 0 em 1.

Uma vez que a função característica é sempre contínua e é igual a 1 em 0, a segunda função característica é sempre bem definida em uma vizinhança de 0.

Link com a função geradora de cumulantes

A segunda função característica é às vezes chamada de função geradora de cumulantes . O matemático Eugène Lukacz, em seu livro Characteristic functions , observa o uso infeliz do termo "função geradora de cumulantes" porque a segunda função geradora sempre existe na vizinhança de 0, enquanto os cumulantes e os momentos de $X$ poderiam muito bem não existir. . Ele também acrescenta que o termo “função de segunda característica” vem da literatura matemática francesa.
A função geradora de cumulantes também pode denotar o logaritmo natural da função geradora de momento .

Referências

(em) Eugene Lukacz, funções características , Londres, Griffin,1970, p. 27

Artigo relacionado

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