Função geradora de momento

Na teoria da probabilidade e na estatística , a função que gera os momentos de uma variável aleatória $X$ é a função $M X$ definida por

{\ displaystyle M_ {X} (t) = \ mathbb {E} \ left (\ operatorname {e} ^ {tX} \ right)}

para qualquer verdadeira $t$ de tal forma que esta expectativa existe. Esta função, como o nome sugere, é usado para gerar os tempos associados com a distribuição de probabilidade da variável aleatória $X$ .

Definição e cálculo

Se $X$ está associado a uma densidade de probabilidade contínua $f$ , então a função geradora de momento é dada por

{\ displaystyle M_ {X} (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ operatorname {e} ^ {tx} f (x) \, \ mathrm {d} x}

Ao introduzir nesta equação a expansão de série inteira do exponencial, esta expressão é equivalente a:

{\ displaystyle M_ {X} (t) = \ int _ {\ mathbb {R}} \ left (1 + tx + {\ frac {t ^ {2} x ^ {2}} {2!}} + \ cdots \ right) f (x) \, \ mathrm {d} x}

= 1 + tm_ {1} + {\ frac {t ^ {2} m_ {2}} {2!}} + \ Cdots,

onde a última igualdade é obtido pelo teorema da convergência dominada , e onde $estou i$ é o $i$ momento -ésimo de $X$ .

Se a densidade de probabilidade não for contínua, a função geradora de momento pode ser obtida pela integral de Stieltjes :

{\ displaystyle M_ {X} (t) = \ int _ {\ mathbb {R}} \ operatorname {e} ^ {tx} \, \ mathrm {d} F (x)}

onde $F$ é a função de distribuição de $X$ .

As expressões anteriores se aplicam a variáveis aleatórias. No caso de um vetor aleatório com componentes reais, a função geradora dos momentos é então definida da seguinte forma:

{\ displaystyle M_ {X} (t) = \ mathbb {E} (\ operatorname {e} ^ {\ langle t, X \ rangle})}

onde $t$ é um vetor e é o produto escalar . $\ langle t, X \ rangle$

Propriedades

$M_ {X} (- t)$ é a transformada de Laplace de duas caudas da densidade de probabilidade . $f$
Se é uma sequência de independente (mas não necessariamente de forma idêntica distribuído) variáveis aleatórias e onde , em seguida, a densidade de probabilidade de $S$ $n$ é a $uma$ $i-$ ponderada convolução das densidades de probabilidade de cada um dos $X$ $i$ e a função de geração dos momentos de $S$ $n$ é dado por $X_ {1}, X_ {2}, \ pontos, X_ {n}$ $S_ {n} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} a_ {i} X_ {i},$ ${\ displaystyle a_ {i} \ in \ mathbb {R}}$ $M _ {{S_ {n}}} (t) = M _ {{X_ {1}}} (a_ {1} t) M _ {{X_ {2}}} (a_ {2} t) \ cdots M _ {{X_ {n}}} (a_ {n} t)$ .
Se a função geradora dos momentos existe em um intervalo aberto em torno de $t = 0$ , o $n-$ ésimo momento da variável aleatória $X$ é dado pela $n-$ ésima derivada da função geradora avaliada em $t = 0$ : ${\ displaystyle \ mathbb {E} (X ^ {n}) = M_ {X} ^ {(n)} (0) = \ left. {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n} M_ {X} (t)} {\ mathrm {d} t ^ {n}}} \ right | _ {t = 0}}$ . Esta relação permite calcular com muita facilidade os momentos de uma lei da qual conhecemos a função geradora. por exemplo ${\ mathbb E} (X) = M_ {X} '(0)$ e $\ operatorname {Var} (X) = {\ mathbb E} (X ^ {2}) - {\ mathbb E} (X) ^ {2} = M_ {X} '' (0) - [M_ {X} '(0)] ^ {2}$ .
Qualquer função que gera momentos é logaritmicamente convexa .

Demonstração

A desigualdade de Hölder mostra que

{\ displaystyle \ mathbb {E} [UV] \ leq (\ mathbb {E} | U ^ {p} |) ^ {1 / p} (\ mathbb {E} | V ^ {q} |) ^ {1 / q}}

para todas as variáveis aleatórias U e V e números reais p , q tais que

{\ displaystyle 1 <p, q <\ infty \ quad {\ text {et}} \ quad {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} = 1}

Seja X uma variável aleatória real e . Tomando o logaritmo da desigualdade aplicada a $0 <\ theta <1$

U = \ exp ((1- \ theta) \ lambda _ {0} X), V = \ exp (\ theta \ lambda _ {1} X), \ quad p = {\ frac 1 {1- \ theta} }, q = {\ frac 1 \ theta}

nós temos a desigualdade de convexidade

\ ln {\ mathbb E} [\ exp (((1- \ theta) \ lambda _ {0} + \ theta \ lambda _ {1}) X)] \ leq (1- \ theta) \ ln {\ mathbb E} [\ exp (\ lambda _ {0} X)] + \ theta \ ln {\ mathbb E} [\ exp (\ lambda _ {1} X)].

Exemplo

Queremos calcular a expectativa da lei exponencial . Sua função geradora de momento é dada por:

{\ displaystyle M_ {X} (t) = \ left (1 - {\ frac {t} {\ lambda}} \ right) ^ {- 1} \, = {\ frac {1} {\ left (1- {\ frac {t} {\ lambda}} \ right)}}}

Contando com a propriedade dos derivados segundo os quais , obtemos: $\ left ({1 \ over f} \ right) '= {- f' \ over f ^ {2}}$

{\ displaystyle M_ {X} '(t) \ equiv {\ frac {\ mathrm {d} M_ {X} (t)} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ esquerda (1 - {\ frac {t} {\ lambda}} \ direita) ^ {- 1}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ frac {1} {\ lambda}} {\ esquerda (1 - {\ frac {t} {\ lambda}} \ direita) ^ {2}}}}

Ao avaliar esta derivada em $t = 0$ , obtemos o primeiro momento:

{\ displaystyle \ mathbb {E} [X] = M_ {X} '(t = 0) = {\ frac {\ frac {1} {\ lambda}} {\ left (1 - {\ frac {0} { \ lambda}} \ right) ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ lambda}}}

Relação unívoca entre a função geradora de momento e a função densidade

Passar da densidade à função geradora é fácil: basta aplicar a definição. A relação inversa parece mais difícil.

A maneira mais fácil de lidar com essa questão é passar pela transformação de Fourier . Para isso, basta considerar a função dos momentos em $t = iτ$ , onde $i$ é “o” número complexo tal que ( $i 2 = -1$ ). Obtemos o que chamamos de função característica da variável $X$ :

{\ displaystyle \ phi _ {X} (\ tau) = M_ {x} (\ mathrm {i} \ tau) = \ int \ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} \ tau x} f (x) \, \ mathrm {d} x}

Como uma transformação de Fourier, a expressão anterior pode ser revertida:

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int \ operatorname {e} ^ {- \ mathrm {i} \ tau x} \ phi _ {X} (\ tau) \ , \ mathrm {d} \ tau}

A função geradora de momento, portanto, caracteriza perfeitamente a densidade.

Veja também

Bibliografia

Sheldon Ross ( tradução do inglês), Iniciação com probabilidade [" Um Primeiro Curso em Probabilidade "], Lausanne, PPUR ,2004, 458 p. ( ISBN 2-88074-327-3 ) , p. 333-344