Função Kelvin-Bessel
Os traços Kelvin-Bessel são funções matemáticas obtidas a partir das funções de Bessel , tendo como argumento para esta última a raiz quadrada de um número imaginário puro.
Eles são usados no eletromagnetismo para estudar as soluções das equações de Maxwell em campos condutores de forma cilíndrica.
Definição
Definimos duas famílias de funções Kelvin-Bessel. A primeira família tem duas funções e ordem , relacionadas às funções de Bessel do primeiro tipo:
berν{\ displaystyle \ mathrm {ber} _ {\ nu}}
beeuν{\ displaystyle \ mathrm {bei} _ {\ nu}}
ν{\ displaystyle \ nu}
Jν(eeu3π/4x)=berν(x)+eubeiν(x){\ displaystyle J _ {\ nu} (e ^ {i \, 3 \, \ pi / 4} \, x) = \ operatorname {ber} _ {\ nu} (x) + i \, \ operatorname {bei } _ {\ nu} (x)}
Outra maneira de definir essas funções é escrevê-las como uma série :
berν(x)=∑p=0∞porqueπ(3ν4+p2)p!Γ(ν+p+1)(x2)2p+ν{\ displaystyle \ operatorname {ber} _ {\ nu} (x) = \ sum _ {p = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos \ pi \, ({\ frac {3 \, \ nu } {4}} + {\ frac {p} {2}})} {p! \, \ Gamma (\ nu + p + 1)}} \ left ({\ frac {x} {2}} \ right ) ^ {2p + \ nu}}
beiν(x)=∑p=0∞pecadoπ(3ν4+p2)p!Γ(ν+p+1)(x2)2p+ν{\ displaystyle \ operatorname {bei} _ {\ nu} (x) = \ sum _ {p = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin \ pi \, ({\ frac {3 \, \ nu } {4}} + {\ frac {p} {2}})} {p! \, \ Gamma (\ nu + p + 1)}} \ left ({\ frac {x} {2}} \ right ) ^ {2p + \ nu}}
A segunda família compreende duas outras funções e ordem , relacionadas às funções de Bessel modificadas do segundo tipo:
kerν{\ displaystyle \ mathrm {ker} _ {\ nu}}
keeuν{\ displaystyle \ mathrm {kei} _ {\ nu}}
ν{\ displaystyle \ nu}
e-euπν/2Kν(eeuπ/4x)=kerν(x)+eukeiν(x){\ displaystyle e ^ {- i \, \ pi \, \ nu / 2} \, K _ {\ nu} (e ^ {i \, \ pi / 4} \, x) = \ operatorname {ker} _ {\ nu} (x) + i \, \ operatorname {kei} _ {\ nu} (x)}
Algumas propriedades
Representação Gráfica
As funções de ordem Kelvin-Bessel , observadas de forma mais simples e , são representadas na figura a seguir para pequenos valores de :
ν=0{\ displaystyle \ nu = 0}
ber(x){\ displaystyle \ mathrm {ber} (x)}
beeu(x){\ displaystyle \ mathrm {bei} (x)}
x{\ displaystyle x}
As funções e são soluções da seguinte equação especial de Bessel:
berν{\ displaystyle \ mathrm {ber} _ {\ nu}}beeuν{\ displaystyle \ mathrm {bei} _ {\ nu}}
x2d2ydx2+xdydx-(eux2+ν2)y=0{\ displaystyle x ^ {2} \, {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} + x \, {\ frac {\ mathrm {d } y} {\ mathrm {d} x}} - (i \, x ^ {2} + \ nu ^ {2}) \, y = 0}
cuja solução geral está escrita
y(x)=berν(x)+eubeiν(x){\ displaystyle y (x) = \ operatorname {ber} _ {\ nu} (x) + i \, \ operatorname {bei} _ {\ nu} (x)}
.
∫berν(x)x1+νdx=-x1+ν2(berν+1(x)-beiν+1(x)){\ displaystyle \ int \ operatorname {ber} _ {\ nu} (x) \, x ^ {1+ \ nu} \, \ mathrm {d} x = - {\ frac {x ^ {1+ \ nu} } {\ sqrt {2}}} \, (\ operatorname {ber} _ {\ nu +1} (x) - \ operatorname {bei} _ {\ nu +1} (x))}
∫beiν(x)x1+νdx=x1+ν2(berν+1(x)-beiν+1(x)){\ displaystyle \ int \ operatorname {bei} _ {\ nu} (x) \, x ^ {1+ \ nu} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {x ^ {1+ \ nu}} {\ sqrt {2}}} \, (\ operatorname {ber} _ {\ nu +1} (x) - \ operatorname {bei} _ {\ nu +1} (x))}
Referências
- A. Angot, suplementos de matemática para uso por engenheiros de engenharia elétrica e telecomunicações , 6 ª edição, Masson, Paris, 1972.
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