Fração unitária

Uma fração unitária é um número racional escrito como uma fração onde o numerador é 1 e o denominador é um número natural diferente de zero. Uma fração unitária é, portanto, o inverso de um número inteiro positivo, 1 / n , como: 1/1, 1/2, 1/3, 1/42 etc.

Aritmética elementar

Multiplicar quaisquer duas frações unitárias resulta em outra fração unitária:

1x×1y=1xy{\ displaystyle {\ frac {1} {x}} \ times {\ frac {1} {y}} = {\ frac {1} {xy}}}

Por outro lado, adicionar , subtrair ou dividir duas frações unitárias produz um resultado que geralmente não é uma fração unitária:

1x+1y=x+yxy{\ displaystyle {\ frac {1} {x}} + {\ frac {1} {y}} = {\ frac {x + y} {xy}}}

• • 1/2 + 1/5 = 7/10
  • 1/3 + 1/6 = 1/2

1x-1y=y-xxy{\ displaystyle {\ frac {1} {x}} - {\ frac {1} {y}} = {\ frac {yx} {xy}}}

• • 1/2 - 1/5 = 3/10
  • 1/3 - 1/6 = 1/6

1x÷1y=yx{\ displaystyle {\ frac {1} {x}} \ div {\ frac {1} {y}} = {\ frac {y} {x}}}

Aritmética modular

As frações unitárias desempenham um papel importante na aritmética modular , pois podem ser usadas para reduzir a divisão modular no cálculo de GCDs . Especificamente, suponha que desejamos realizar divisões por um valor x , módulo y . Para realizar a divisão por x , o módulo bem definido y , x e y deve ser coprime . Então, usando o algoritmo estendido de Euclides para GCDs , podemos encontrar a e b tais que

nox+by=1,{\ displaystyle \ displaystyle ax + by = 1,}

a partir do qual, deduzimos que

nox≡1(mody),{\ displaystyle \ displaystyle ax \ equiv 1 {\ pmod {y}},}

ou equivalente

no≡1x(mody){\ displaystyle a \ equiv {\ frac {1} {x}} {\ pmod {y}} \,}.

Somas finitas de frações unitárias

Qualquer número racional positivo pode ser escrito como a soma de frações unitárias distintas. Por exemplo :

45=12+14+120=13+15+16+110.{\ displaystyle {\ frac {4} {5}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {20}} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {10}}.}

Os matemáticos egípcios antigos usavam as somas de frações de unidades distintas em sua notação para números racionais mais gerais, portanto, essas somas são freqüentemente chamadas de frações egípcias . Hoje em dia, ainda há interesse em analisar os métodos usados ​​pelos antigos para escolher entre as possíveis representações de um número misto e calcular com tais representações. O assunto das frações egípcias também está sendo estudado na moderna teoria dos números ; por exemplo, a conjectura Erdős-Graham e a conjectura Erdős-Straus dizem respeito às somas das frações unitárias, bem como à definição dos números harmônicos do minério .

Na teoria dos grupos  geométricos , os grupos de triângulos (en) são classificados em caso euclidiano, esférico e hiperbólico dependendo se suas frações unitárias associadas são iguais, maiores ou menores que, respectivamente.

Série de frações unitárias

Muitas séries infinitas bem conhecidas têm termos que são frações unitárias. Esses incluem:

• A série harmônica , a soma de todas as frações unitárias positivas. Esta soma diverge e

11+12+13+⋯+1não-euoge(não){\ displaystyle {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + \ cdots + {\ frac {1} {n}} - log_ {e} (n)}

tende para a constante de Euler-Mascheroni quando tende para o infinito. γ{\ displaystyle \ gamma \,}não{\ displaystyle n}

• O problema de Basileia diz respeito à soma dos quadrados das frações unitárias, que convergem paraπ26{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} \,}
• A abertura constante é a soma das frações unitárias ao cubo.
• A série geométrica binária, somada a 2, é outro exemplo de série composta de frações unitárias.

Matrizes de fração unitária

A matriz de Hilbert é a matriz com os elementos

Beu,j=1eu+j-1{\ displaystyle B_ {i, j} = {\ frac {1} {i + j-1}} \,}.

Ele tem a propriedade incomum de ter todos os elementos em sua matriz inversa como inteiros. Da mesma forma, Richardson definiu uma matriz com os elementos

VSeu,j=1Feu+j-1,{\ displaystyle C_ {i, j} = {\ frac {1} {F_ {i + j-1}}},}

onde denota o i- ésimo número de Fibonacci . Ele chama essa matriz de matriz de Filbert, ela tem a mesma propriedade de ter uma matriz inversa em inteiros. Feu{\ displaystyle F_ {i} \,}

Em probabilidade e estatística

Em uma distribuição uniforme em um espaço discreto , todas as probabilidades são frações unitárias iguais. Devido ao princípio da indiferença  (in) , a probabilidade desse tipo aparece com frequência em cálculos estatísticos. Além disso, a lei de Zipf estabelece que, para muitos fenómenos observados que envolvem a selecção de artigos a partir de uma sequência ordenada, a probabilidade de que o n- artigo th é seleccionado é proporcional à fracção de unidade 1 / n .

Na física

Os níveis de energia do modelo de Bohr das órbitas de elétrons em um átomo de hidrogênio são proporcionais ao quadrado das frações unitárias e, portanto, os níveis de energia dos fótons que podem ser emitidos ou absorvidos por um átomo de hidrogênio de acordo com este modelo são igualmente proporcionais ao diferença de duas dessas frações. Por algum tempo, acreditou-se que a constante de estrutura fina era exatamente uma fração unitária, 1/137, mas isso não é verdade.

Veja também

Artigo sobre a evolução da soma das frações unitárias, ou "egípcio" .

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente de um artigo da Wikipedia em inglês intitulado "  Fração de unidade  " ( ver a lista de autores ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">