Frequência Brunt-Väisälä

A frequência Brunt-Väisälä (ou Brunt-Vaisala ) é a frequência de oscilação de uma partícula de fluido deslocada verticalmente em um ambiente estável em torno de sua posição inicial parametrizada por David Brunt e Vilho Väisälä . Corresponde à frequência de uma onda gravitacional que desempenha um papel muito importante nas trocas de energia dos fluxos geofísicos , em particular na dinâmica atmosférica e na oceanografia física . Por exemplo, entre outros parâmetros, a frequência de Brunt-Väisälä controla a altura e o espaçamento entre ruas de nuvens cúmulos ou altocumulus lenticularis a jusante de montanhas, bem como entre cristas de ondas em mar aberto.

Teoria

O conceito de oscilação e frequência de Brunt-Väisälä surge da aplicação da segunda das três leis de Newton em um meio estratificado verticalmente de forma estável. A natureza oscilatória dos fluidos em camadas pode ser explicada pensando em uma partícula de fluido cuja densidade aumenta com a profundidade. Quando ele é deslocado verticalmente para fora de sua posição de equilíbrio, sua densidade torna-se maior ou menor do que o fluido circundante e uma força de restituição em excesso, gravidade ou impulso de Arquimedes respectivamente, aparece e tende a trazer de volta ao ponto de equilíbrio. Em geral, a partícula passa por equilíbrio em seu caminho de retorno, porque a força induziu aceleração. Este fenômeno, mantido, desencadeia uma oscilação cuja frequência é:

{\ displaystyle N \ equiv {\ sqrt {- {\ frac {g} {\ rho _ {\ theta}}} {\ frac {d \ rho _ {\ theta}} {dz}}}}}

onde é a aceleração local da gravidade , é o deslocamento da parcela e é a densidade potencial definida como a densidade que uma parcela de fluido deslocou adiabaticamente a uma pressão de referência (muitas vezes escolhida como uma barra no caso da atmosfera terrestre). $g$ ${\ displaystyle dz}$ ${\ displaystyle \ rho _ {\ theta}}$ $p _ {{0}}$

Para um gás ideal , temos igualdade: onde está a densidade , a pressão e o índice adiabático do ar. Com as variáveis termodinâmicas usuais, podemos, portanto, escrever ${\ displaystyle \ rho _ {\ theta} = \ rho \ times \ left ({\ frac {p_ {0}} {p}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ gamma}}}$ $\ rho$ $p$ ${\ displaystyle \ gamma = {7 \ over 5}}$

{\ displaystyle N_ {GP} = {\ sqrt {g \ left ({\ frac {1} {\ gamma}} {\ frac {d \ ln {p}} {dz}} - {\ frac {d \ ln {\ rho}} {dz}} \ right)}}}

Calcular essa frequência é uma maneira de saber a estabilidade do ar:

uma oscilação ocorre se e somente se , isto é, se o número sob a raiz quadrada for positivo e a raiz quadrada for, portanto, real . Isso requer que seja negativo, o que resulta no fato de o gradiente de densidade ser negativo (a estratificação do meio deve ser tal que a densidade diminua com a altitude); caso contrário, o número sob a raiz é negativo e sua raiz quadrada é um número imaginário puro . A interpretação física é que a oscilação se dissipa, como é o caso de um fluido cuja estratificação não é estável e onde ocorre a convecção : a parcela deslocada torna-se, por exemplo, menos densa que seu ambiente e acelera na mesma direção do deslocamento inicial ( sem oscilação); ${\ displaystyle \ scriptstyle N ^ {2}> 0}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle (d \ rho / dz)}$
sim , a estabilidade é "neutra" porque significa que não há variação na densidade. A parcela movida permanecerá em sua nova altitude (atmosfera) ou profundidade (oceano) após a conclusão da movimentação. ${\ displaystyle \ scriptstyle N = 0}$

No ar

A densidade está diretamente relacionada à temperatura e ao teor de vapor d'água da parcela de ar. Deixe ser a temperatura potencial . A equação torna-se, neste ambiente: ${\ displaystyle \ textstyle \ theta}$

{\ displaystyle N \ equiv {\ sqrt {{\ frac {g} {\ theta}} {\ frac {d \ theta} {dz}}}}}

, onde está a altitude acima do solo.

z

Na atmosfera típica da Terra, o valor de N é 0,012 s -1 . O período da oscilação sendo , é da ordem de oito minutos. ${\ displaystyle \ textstyle 2 \ pi / N}$

Demonstração da fórmula Brunt-Väisälä na atmosfera Modelo teórico

Será demonstrado que em uma massa de ar estável, uma parcela de ar para a qual uma perturbação foi trazida irá oscilar verticalmente com a frequência N definida por:

{\ displaystyle N = {\ sqrt {{g \ over \ theta (z)} \ times {\ partial \ theta (z) \ over \ parcial z}}}}

onde é a temperatura potencial na altitude z . Em seguida, definiremos o número de Froude que é deduzido da equação estabelecida nesta seção. Este número de Froude prevê a existência (ou não) de um fenômeno de bloqueio. A seguinte demonstração detalhada é baseada na referência. ${\ displaystyle \ theta (z)}$

Consideramos um volume de controle de superfície S entre a altura zea altura z + δ z, onde δ z é uma quantidade infinitamente pequena . Assume-se que a pressão na altitude z é p (z) e na altitude z + δ z , a pressão é p (z + δ z) . Seja ρ a densidade do ar. A massa da parcela de ar é, portanto, m = ρ S δ z . As forças que se aplicam ao pacote aéreo são:

a pressão na face inferior: p (z) S

a pressão na face superior: - p (z + δ z) S

gravidade: - g ρ S δ z

A força exercida no pacote aéreo é, portanto:

{\ displaystyle \ delta F = p (z) Sp (z + \ delta z) Sg \ rho S \ delta z}

A aceleração a da parcela aérea será, portanto:

{\ displaystyle ma = F = p (z) Sp (z + \ delta z) Sg \ rho S \ delta z}

Assim obtemos (notamos que δ z é infinitamente pequeno):

{\ displaystyle \ rho S \ delta za = p (z) S- \ left (p (z) + {\ parcial p \ over \ parcial z} \ delta z \ right) Sg \ rho S \ delta z}

Podemos simplificar e, portanto:

{\ displaystyle \ rho a = - {\ partial p \ over \ partial z} -g \ rho}

Além disso, seja ρ₀ a densidade do ar externo. Nós temos

{\ displaystyle p (z + \ delta z) = p (z) - \ rho _ {0} g \ delta z}

Portanto,

{\ partial p \ over \ partial z} = - g \ rho _ {0}

Finalmente,

{\ displaystyle \ rho a = g \ rho _ {0} -g \ rho}

E entao:

{\ displaystyle a = g {\ rho _ {0} - \ rho \ over \ rho}}

Usamos a lei dos gases ideais . Nós temos

{\ displaystyle p = \ rho (C_ {p} -C_ {v}) T}

onde T é a temperatura absoluta da parcela de ar e Cp e Cv são os calores específicos a pressão ou volume constante. Portanto,

{\ displaystyle \ rho = {p \ over (C_ {p} -C_ {v}) T}}

A pressão da parcela de ar p₀ é igual à pressão do ambiente externo p . Seja T₀ a temperatura externa. Portanto :

{\ displaystyle \ rho _ {0} = {p \ over (C_ {p} -C_ {v}) T_ {0}}}

Portanto, obtemos:

{\ displaystyle a = g {p / T_ {0} -p / T \ over p / T}}

Portanto,

{\ displaystyle a = g {T-T_ {0} \ over T_ {0}}}

O ar é um gás diatômico e, portanto:

{\ displaystyle {C_ {p} \ over C_ {v}} = \ gamma = {7 \ over 5}}

Definimos a temperatura potencial da seguinte forma: $\ theta$

{\ displaystyle \ theta = T \ left ({p_ {mer} \ over p} \ right) ^ {\ gamma -1 \ over \ gamma}}

A temperatura potencial é, portanto, a temperatura que a parcela de ar teria se fosse comprimida adiabaticamente à pressão padrão ao nível do mar. Uma vez que a pressão da parcela de ar é igual à pressão externa, se e são as respectivas temperaturas potenciais da parcela de ar e do ar externo, temos: $\ theta$ $\ theta _ {0}$

{\ displaystyle {\ theta \ over T} = {\ theta _ {0} \ over T_ {0}} = \ left ({p_ {mer} \ over p} \ right) ^ {\ gamma -1 \ over \ gama}}

Portanto, obtemos:

{\ displaystyle a = g {\ theta - \ theta _ {0} \ over \ theta _ {0}}}

Mais especificamente, escrevemos:

{\ displaystyle a (z) = g {\ theta (z) - \ theta _ {0} (z) \ over \ theta _ {0} (z)}}

Da mesma forma:

{\ displaystyle a (z + \ delta z) = g {\ theta (z + \ delta z) - \ theta _ {0} (z + \ delta z) \ over \ theta _ {0} (z + \ delta z)}}

Portanto,

{\ displaystyle a (z + \ delta z) -a (z) = g {\ theta (z + \ delta z) - \ theta _ {0} (z + \ delta z) \ over \ theta _ {0} (z + \ delta z)} - g {\ theta (z) - \ theta _ {0} (z) \ over \ theta _ {0} (z)}}

Portanto,

{\ displaystyle a (z + \ delta z) -a (z) = g \ left ({\ theta (z + \ delta z) \ over \ theta _ {0} (z + \ delta z)} - {\ theta (z) \ over \ theta _ {0} (z)} \ right)}

A parcela aérea está em ascensão adiabática e, portanto: e portanto: ${\ displaystyle \ theta (z + \ delta z) = \ theta (z) = \ theta}$

{\ displaystyle a (z + \ delta z) -a (z) = g \ theta \ left ({1 \ over \ theta _ {0} (z + \ delta z)} - {1 \ over \ theta _ { 0} (z)} \ direita)}

Observamos que e, portanto: ${\ displaystyle \ theta \ approx \ theta _ {0} (z)}$

{\ displaystyle a (z + \ delta z) -a (z) \ aprox - {1 \ over \ theta _ {0}} g {\ parcial \ theta _ {0} (z) \ over \ parcial z} \ delta z}

Agora assumimos que não depende de z e, portanto, é uniforme. Definimos a quantidade N² da seguinte forma: ${\ displaystyle {1 \ over \ theta (z)} \ times {\ partial \ theta (z) \ over \ partial z}}$

{\ displaystyle {g \ over \ theta (z)} \ times {\ partial \ theta (z) \ over \ partial z} = N ^ {2}}

Portanto, temos como primeira aproximação:

{\ displaystyle a (z + \ delta z) -a (z) = - N ^ {2} \ delta z}

Tomamos nota de que:

{\ displaystyle a (z + \ delta z) = a (z) + a '(z) \ delta z + \ delta z \ \ epsilon}

onde ε é um número infinitamente pequeno. Portanto, obtemos:

{\ displaystyle a (z) + a '(z) \ delta z + \ delta z \ epsilon -a (z) = a (z + \ delta z) -a (z) = - N ^ {2} \ delta z}

O conjunto de números hiperreais é um campo e, portanto, podemos dividir a equação acima por δz e, portanto, ${\ displaystyle ^ {*} {\ mathbb {R}}}$

{\ displaystyle a '(z) + \ epsilon = -N ^ {2}}

Ao eliminar ε que é infinitamente pequeno, obtemos:

{\ displaystyle a '(z) = - N ^ {2}}

Ao integrar esta equação, obtemos:

{\ displaystyle a (z) = - N ^ {2} z + Constante}

Nós temos o mesmo ${\ displaystyle \ forall h \ in {\ mathbb {R}}}$

{\ displaystyle a (z + h) = - N ^ {2} (z + h) + Constante}

e entao :

${\ displaystyle a (z + h) -a (h) = - N ^ {2} h}$

Por definição :

{\ displaystyle a (z + h) = {d ^ {2} (z + h) \ over dt ^ {2}} \ qquad a (z) = {d ^ {2} z \ over dt ^ {2} }}

Em seguida, obtemos a seguinte equação diferencial linear :

{\ displaystyle {d ^ {2} h \ over dt ^ {2}} = a (z + h) -a (z) = - N ^ {2} h}

A solução geral desta equação diferencial é escrita:

{\ displaystyle h (t) = a \ cos (Nt) + b \ sin (Nt)}

onde um e b são constantes de 2, dependendo das condições iniciais.

Suponha que em t = 0 , a velocidade vertical da parcela de ar seja w e que h = 0 . A solução da equação diferencial acima é escrita:

{\ displaystyle h (t) = {w \ over N} \ sin (Nt)}

A altura máxima deflexão do pacote de ar é w / N . Conseqüentemente, quando uma massa de ar de velocidade horizontal u encontra uma montanha de altura h> u / N , a massa de ar não será capaz de cruzar a montanha e estaremos na presença de um fenômeno de bloqueio a montante. O critério de existência ou não de um fenômeno de bloqueio é determinado pelo valor do número de Froude meteorológico definido por:

{\ displaystyle Fr = {u \ over Nh}}

Se o número de Froude for maior que 1, não há bloqueio e, caso contrário, há bloqueio.

A quantidade N definida por:

{\ displaystyle N = {\ sqrt {{g \ over \ theta (z)} \ times {\ partial \ theta (z) \ over \ parcial z}}}}

é chamada de frequência Brunt-Väisälä .

Aplicativo Digital

Na atmosfera padrão, o gradiente adiabático é g / C_p = 9,75 K / km e temos d T / dz = - 6,5 K / km . Então nós temos

{\ displaystyle {d \ theta \ over dz} = 9,75-6,5 = 3,25 K / km}

Portanto, obtemos:

{\ displaystyle N = {\ sqrt {9,81 \ times 3,25 \ 10 ^ {- 3} \ over 287,15}} = 0,012s ^ {- 1}}

No Oceano

No mar, a densidade in situ depende da temperatura T , salinidade S e pressão P : . $\ scriptstyle \ rho$ ${\ displaystyle \ rho = \ rho (T, S, p (z))}$

A variação na densidade não é linear com a temperatura (a densidade máxima da água sem sal é de 4 ° C e a densidade muda repentinamente na cobertura de gelo da superfície, entre outros fatores). Quando uma partícula de fluido é movida verticalmente adiabaticamente (ou seja, sem T e S sendo alterados), a mudança na densidade devido a uma mudança no nível é: ${\ displaystyle \ textstyle \ delta \ rho}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ delta z}$

${\ displaystyle \ delta \ rho = \ rho _ {0} \ gamma {\ frac {dp} {dz}} \ delta z}$

Ou :

${\ displaystyle \ textstyle \ gamma = {\ frac {1} {\ rho _ {0}}} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial p}}}$ é a compressibilidade;
${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {dp} {dz}}}$ é a variação da pressão p com a profundidade z orientada para a superfície;
${\ displaystyle \ textstyle \ rho _ {0}}$ é a densidade média (devido à aproximação de Boussinesq , geralmente , de modo que conforme a partícula se move em direção à superfície ( ) a densidade diminui ( porque, como z está orientado em direção à superfície). ${\ displaystyle \ textstyle \ rho _ {0} = 1 \ 027 {\ frac {kg} {m ^ {3}}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ delta z> 0}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ delta \ rho <0}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {dp} {dz}} <0}$

É esta densidade modificada pela pressão que deve ser comparada com a densidade circundante para obter a frequência de Brünt-Väisälä:

${\ displaystyle N ^ {2} = - g \ left (g \ rho _ {0} \ gamma + {\ frac {1} {\ rho _ {0}}} {\ frac {\ partial \ rho} {\ z parcial}} \ direita)}$

Esta fórmula também pode ser escrita em termos de densidade potencial referenciada localmente : ${\ displaystyle \ textstyle \ sigma _ {z_ {ref}} \ equiv \ rho (T, S, p (z_ {ref}))}$

${\ displaystyle N ^ {2} (z) = - {\ frac {g} {\ rho _ {0}}} \ left ({\ frac {\ partial \ sigma _ {z}} {\ partial z}} \ direito)}$

Propriedades

As ondas gravitacionais possuem várias propriedades que são interpretadas a partir de sua frequência, entre as quais podemos notar:

a direção de propagação dessas ondas depende da frequência do forçamento e também da frequência local de Brunt-Väisälä (estratificação da densidade local);
a velocidade de fase (velocidade de propagação da frente de onda) e a velocidade de grupo (velocidade com a qual a energia da onda é transmitida) das ondas internas são perpendiculares.

Usando a aproximação de Boussinesq , podemos encontrar a relação de dispersão das ondas geradas por:

${\ displaystyle \ omega = \ pm N \ cos {(\ Theta)}}$ onde é a frequência de excitação usada, é a frequência de Brunt-Väisälä e é o ângulo do vetor de propagação em relação à horizontal. $\ómega$ $NÃO$ $\ Theta$

Bibliografia

Holton, James R., Uma Introdução à Dinâmica Meteorologia, 4 ª edição , New York, Academic Press, 535 p. ( ISBN 978-0-12-354015-7 e 0-12-354015-1 , leia online ) , p. 50-53
Lighthill, J., Waves in Fluids , Cambridge University Press,1978
Mowbray, DE and BSHRarity, " Uma investigação teórica e experimental da configuração de fase de ondas internas de pequena amplitude em um líquido estratificado de densidade ", Journal of Fluid Mechanics , n o 28,1967, p. 1-16
Rogers, RR e Yau, MK, Curso de curta duração em Nuvem Física, 3 ª edição , Butterworth-Heinemann,1 ° de janeiro de 1989, 304 p. ( ISBN 0-7506-3215-1 ) , p. 30-35EAN 9780750632157
Tritton, DJ, Physical Fluid Dynamics. 2 nd edição , Oxford University Press,1988

Notas e referências

Rogers e Yau, p. 33-35
(em) James R Holton, Introdução à meteorologia dinâmica (Quarta edição) , vol. 88, Amsterdam, Elsevier Academic press, 2004, 526 p. ( ISBN 0-12-354015-1 , leia online ) , p. 52
(in) GK Vallis, Atmospheric and Oceanic Fluid Dynamics , Cambridge,2006

Veja também

Link externo

Laboratório de hidrodinâmica, “ Ondas de gravidade interna ” , École Polytechnique (França) (acessado em 23 de outubro de 2008 ) .

Frequência Brunt-Väisälä

Teoria

No ar

No Oceano

Propriedades

Bibliografia

Notas e referências

Veja também

Artigos relacionados

Link externo