Grupo algébrico

Na geometria algébrica , a noção de grupo algébrico é equivalente aos grupos de Lie em geometria diferencial ou complexa. Um grupo algébrico é uma variedade algébrica dotada de uma lei de grupo compatível com sua estrutura de variedade algébrica.

Definição

Um grupo algébrico sobre um campo (comutativo) K é uma variedade algébrica sobre mun: $G$ $K$

de um morfismo de variedades algébricas K (também chamadas de multiplicação) . A variedade de origem é o próprio produto de fibra ; ${\ displaystyle \ mu: G \ times _ {K} G \ a G}$ $G$
de um morfismo inverso ; ${\ displaystyle \ iota: G \ a G}$
de um elemento neutro pertencente a (um ponto racional de ) $\ epsilon$ ${\ displaystyle G (K)}$ $G$

verificar formalmente os axiomas de um grupo. Se for reduzido e se K for algebraicamente fechado, basta que esses morfismos induzam uma estrutura de grupo no conjunto de pontos racionais de . $G$ ${\ displaystyle G ({K})}$ $G$

Para qualquer variedade algébrica de X sobre K , o conjunto G (X) de K- morfismos de X a G herda uma estrutura de grupo. Uma maneira rápida de definir um grupo algébrico é dizer que é uma variedade algébrica que representa um functor da categoria de variedades algébricas sobre K na categoria de grupos.

Aviso: é fornecido com a topologia Zariski e não com a topologia do produto. ${\ displaystyle G \ times _ {K} G}$

Um homomorfismo de grupos algébricos sobre K é um morfismo de variedades algébricas sobre K que é compatível com a estrutura do grupo: se são as leis de multiplicação em G e H respectivamente, então . Em termos de pontos, isso equivale a dizer que para qualquer K- álgebra de tipo finito A , o mapa induzido por f é um homomorfismo de grupo. Se K é algebricamente fechado e se G e H são reduzidos, basta ter A = K . ${\ displaystyle f: G \ a H}$ ${\ displaystyle \ mu _ {G}, \ mu _ {H}}$ ${\ displaystyle f \ circ \ mu _ {G} = \ mu _ {H} \ circ (f \ times f)}$ ${\ displaystyle f (A): G (A) \ a H (A)}$
Um isomorfismo de grupos algébricos é um homomorfismo de grupos algébricos que é um isomorfismo para as variedades algébricas subjacentes.
Um subgrupo algébrico F de G é uma subvariedade de G tal que a imersão é um homomorfismo de grupos algébricos. Sabemos que F é então uma subvariedade fechada. ${\ displaystyle i: F \ to G}$
Se for um homomorfismo de grupos algébricos sobre K , o kernel Ker de f é definido por . O espaço subjacente a Ker é , mas a estrutura de subvariedade não é necessariamente reduzida. Fácil mostrar que Ker é um subgrupo algébrica de G . ${\ displaystyle f: G \ a H}$ $(f)$ ${\ displaystyle G \ times _ {H} \ epsilon _ {H}}$ $(f)$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (\ epsilon _ {H})}$ $(f)$

Exemplos

Se é um grupo finito, há um grupo algébrico única sobre K como para qualquer extensão de corpos L / K . É o grupo constante . $\Gama$ ${\ displaystyle G (L) = \ Gamma}$ $\Gama$
O grupo de aditivos : o colector subjacente é o afim Um ^ 1 de K . Para K -álgebra finita Um , o grupo é canonicamente identificado grupo (aditivo) Uma . ${\ displaystyle G_ {a}}$ ${\ displaystyle G_ {a} (A)}$
O grupo multiplicativo : a variedade subjacente é a linha afim A ^ 1 sobre K privada da origem. Para qualquer K -álgebra de tipo finito A , o grupo é canonicamente identificado com o grupo multiplicativo de elementos de inversíveis Uma . ${\ displaystyle G_ {m}}$ ${\ displaystyle G_ {m} (A)}$ $A ^ {*}$
${\ displaystyle GL_ {n, K}}$ , o grupo de matrizes invertíveis , é um grupo algébrico. Para qualquer K- álgebra de tipo finito A , o grupo é identificado com o grupo multiplicativo de matrizes quadradas de ordem n , com coeficientes em A e invertíveis. Quando n = 1 , encontramos o grupo multiplicativo . ${\ displaystyle GL_ {n, K} (A)}$ ${\ displaystyle G_ {m}}$
As curvas elípticas são grupos algébricos.
Seja n um número natural. A multiplicação por n induz um homomorfismo de grupos algébricos . Se n for primo à característica do campo K , então o núcleo desse homomorfismo é reduzido ao elemento neutro. ${\ displaystyle G_ {a} \ a G_ {a}}$
Se K tem uma característica positiva p , a elevação à potência p (chamada de Frobenius ) em é um homomorfismo de grupos algébricos. Seu kernel, notado , é um exemplo típico de um grupo algébrico não suave. A variedade algébrica subjacente é Spec (tem apenas um ponto e não é reduzida). ${\ displaystyle G_ {a}}$ $\ alpha _ {p}$ ${\ displaystyle K [T] / (T ^ {p} K [T])}$
Seja n um número natural. No grupo multiplicativo , elevar à potência n induz um homomorfismo de grupos algébricos, cujo núcleo é um grupo algébrico finito, constante se o corpo de base K contém todas as enésimas raízes da unidade. Ela está espalhada por K se e somente se n é primo para a característica de K . ${\ displaystyle G_ {m}}$ $\ mu _ {n}$
Na geometria algébrica, um toro T em K é um grupo algébrica isomorfo para um produto de fecho algébrica de K . Dizemos que T é implantado se o isomorfismo está definido para K . ${\ displaystyle G_ {m}}$

Duas classes de grupos algébricos são particularmente importantes. Em primeiro lugar, variedades abelianas são grupos algébricos para os quais a variedade subjacente é apropriada , conectada e suave. As curvas elípticas são exemplos de variedades abelianas.

Em seguida, vêm os grupos algébricos lineares (en) : correspondem ao caso em que o grupo é uma variedade algébrica afim , ou seja, onde é o locus dos zeros de uma família de polinômios em . A maioria dos subgrupos usuais de correspondem a grupos algébricos lineares. Por exemplo, é o conjunto de zeros no polinômio . Pode ser mostrado que grupos algébricos lineares podem ser representados fielmente. Assim, eles ainda podem ser vistos como subgrupos de , o que explica seu nome. ${\ displaystyle K [X_ {1}, \ dots, X_ {n}]}$ $GL_n (K)$ ${\ displaystyle SL_ {n} (K)}$ ${\ displaystyle \ det -1}$ ${\ displaystyle GL_ {n, K}}$

Estrutura

Estrutura de variedade

Um grupo algébrico geometricamente reduzido é automaticamente suave. Em um campo de característica 0, qualquer grupo algébrico é suave (teorema de Cartier). Por outro lado, se K tem uma característica positiva p , existem grupos algébricos não suaves (veja o exemplo acima). $\ alpha _ {p}$

Decomposição

Se G é um grupo algébrico sobre um corpo K , podemos decompor G da seguinte maneira.

Existe um subgrupo aberto de , chamado de componente neutro de , e um grupo algébrico finito étale em K , tal que qualquer extensão de por , ou seja, temos uma sequência exata $G ^ {0}$ $G$ $G$ $\ pi _ {0} (G)$ $G$ $\ pi _ {0} (G)$ $G ^ {0}$

${\ displaystyle 1 \ a G ^ {0} \ a G \ a \ pi _ {0} (G) \ a 1.}$

Se K é algebricamente fechado, é um grupo finito constante. ${\ displaystyle \ pi _ {0} (G)}$

Suponha agora G suave e K perfeito (por exemplo, da característica 0). Então é a extensão de uma variedade abeliana por um grupo linear suave L (teorema de Chevalley). $G ^ {0}$
Suponha ainda que G seja comutativo. O grupo linear L é produzido a partir de um toro por um grupo unipotente ( isto é, um grupo algébrico que é extensões sucessivas de ). Na característica 0, os grupos unipotentes são isomórficos a um produto de . ${\ displaystyle G_ {a}}$ ${\ displaystyle G_ {a}}$

Formas diferenciais

Se G é um grupo algébrico liso, então seu feixe tangente é constante, gerado pelo espaço tangente de G na origem . Por dualidade, o feixe de formas diferenciais em G é livre (lembre-se que em uma variedade algébrica lisa, o feixe de formas diferenciais é apenas localmente livre em geral). ${\ displaystyle \ epsilon _ {G}}$

Generalização

Considere um diagrama. Um esquema de grupo em é um -schema que representa um functor da categoria de -schemas na categoria de grupos . $S$ $S$ $S$ ${\ displaystyle G \ to S}$ $S$

Mais concretamente, pedimos que para qualquer esquema , o conjunto seja um grupo e que, para tudo , o mapa canônico seja um morfismo de grupos. $S$ $T$ ${\ displaystyle G (T) = {\ rm {Mor}} _ {S} (T, G)}$ ${\ displaystyle T '\ a T}$ ${\ displaystyle G (T) \ a G (T ')}$
Outra forma de definir esquemas de grupo é dizer que existe um morfismo (multiplicação), um automorfismo (o reverso) e uma seção de morfismo estrutural (seção neutra) que satisfazem os axiomas usuais de um grupo. ${\ displaystyle G \ times _ {S} G \ a G}$ ${\ displaystyle G \ a G}$ ${\ displaystyle S \ a G}$ ${\ displaystyle G \ to S}$

Se for mais do tipo finito , então para tudo , a fibra é um grupo algébrico sobre o campo residual . Assim, pode ser visto como uma família de grupos algébricos parametrizados pelos pontos de . ${\ displaystyle G \ to S}$ $s \ in S$ ${\ displaystyle G_ {s}}$ ${\ displaystyle k (s)}$ ${\ displaystyle G \ to S}$ $S$

Exemplos padrão de grupos algébricos , curvas elípticas etc. são facilmente generalizados em esquemas de grupo em qualquer base . ${\ displaystyle G_ {a}, G_ {m}}$ $S$

Um esquema de grupo é separado em se e somente se a seção neutra estiver fechada . ${\ displaystyle G \ to S}$ $S$ $G$