Grupo Mathieu

Na matemática , os grupos Mathieu são cinco grupos simples finitos descobertos pelo matemático francês Emile Mathieu . Eles são geralmente percebidos como grupos de permutações em n pontos (onde n pode assumir os valores 11, 12, 22, 23 ou 24) e são chamados de M n .

Os grupos de Mathieu foram os primeiros grupos esporádicos descobertos.

Os grupos M 24 e M 12 são 5-transitivos , os grupos M 23 e M 11 são 4-transitivos e M 22 é 3-transitivos. Essa transitividade é mesmo estrita para M 11 e M 12 .

Conclui-se da classificação de grupos finitos simples que os únicos grupos de permutações 4-transitivas são os grupos simétricos e alternados (de grau ≥ 4 e ≥ 6 respectivamente) e os grupos de Mathieu M 24 , M 23 , M 12 e M 11 .

Pedidos

Grupo	Pedido	Ordem fatorada
M 24	244.823.040	2 10 .3 3 .5.7.11.23
M 23	10.200.960	2 7 .3 2 .5.7.11.23
M 22	443.520	2 7 .3 2 .5.7.11
M 12	95.040	2 6 .3 3 .5.11
M 11	7 920	2 4 .3 2 .5.11

Construções de grupos Mathieu

Grupo de automorfismo de sistemas Steiner

Existe, exceto por uma equivalência , um sistema único de Steiner S (5,8,24). O grupo M 24 é o grupo de automorfismos desse sistema de Steiner, ou seja, o conjunto de permutações que aplicam cada bloco a um determinado outro bloco. Os subgrupos M 23 e M 22 são definidos como sendo os estabilizadores de um único ponto e de dois pontos respectivamente.

Da mesma forma, existe, exceto por uma equivalência, um único sistema de Steiner S (5,6,12) e o grupo M 12 é seu grupo de automorfismos. O subgrupo M 11 é o estabilizador de um ponto.

Uma construção alternativa de S (5,6,12) é o "Chaton" de Curtis.

Grupo de automorfismo de código de Golay

O grupo M 24 também pode ser visto como o grupo de automorfismos do código binário de Golay W , ou seja, o grupo de permutações de coordenadas aplicando W a si mesmo. Também podemos vê-lo como a interseção de S 24 e Stab ( W ) em Aut ( V ). As palavras de código correspondem naturalmente aos subconjuntos de um conjunto de 24 objetos. Esses subconjuntos correspondentes a palavras de código com 8 ou 12 coordenadas iguais a 1 são chamados de octads ou dodecads, respectivamente. Octads são blocos de um sistema Steiner S (5,8,24).

Os subgrupos simples M 23 , M 22 , M 12 e M 11 podem ser definidos como subgrupos de M 24 , estabilizadores respectivamente de uma única coordenada, um par ordenado de coordenadas, um par de dodécadas complementares e um par de dodécadas com uma única coordenada.

M 12 tem um índice 2 em seu grupo de automorfismos. Como um subgrupo de M 24 , M 12 atua na segunda dodecade como uma imagem do automorfismo exterior de sua ação na primeira dodecade. M 11 é um subgrupo de M 23, mas não de M 22 . Esta representação de M 11 tem órbitas de 11 e 12. O grupo de automorfismo de M 12 é um subgrupo máximo de M 24 com índice 1288.

Há uma conexão muito natural entre os grupos de Mathieu e os grupos maiores de Conway porque o código binário de Golay e a rede Leech estão em espaços de 24 dimensões. Os grupos de Conway, por sua vez, são encontrados no grupo Monstro . Robert Griess se refere aos 20 grupos esporádicos encontrados no Monstro como a família feliz e aos grupos de Mathieu como a primeira geração .

Grupo de automorfismos de gráfico

O grupo M 23 pode ser visto como o grupo de automorfismo do grafo de Witt truncado , um grafo 15 regular com 506 vértices e 3.795 arestas.

Notas e referências

p. 152 de (en) Shreeram S. Abhyankar , " Resolução de singularidades e teoria modular de Galois " , Bull. Amargo. Matemática. Soc. (Nova Série) , vol. 38, n o 22001, p. 131-169 ( ler online )
Para uma introdução à construção de M 24 como um grupo de automorfismos de S (5,8,24) por meio do Gerador de octádios miraculosos RT Curtis, consulte Geometria quadrada 4x4 .
O análogo de Conway S (5,6,12), o miniGOM, pode ser encontrado em (in) JH Conway e NJA Sloane , Sphere Packings, Lattices and Groups , Springer-Verlag, al. " GMW " ( N O 290)1999, 3 e ed. , 706 p. ( ISBN 978-0-387-98585-5 , leia online ).
(em) RT Curtis , The Steiner System S (5,6,12), the Mathieu group M 12 and the "Kitten" , London, Academic Press, col. "Teoria do Grupo Computacional",1984
(em) AE Brouwer , AM Cohen e A. Neumaier , "The Truncated Witt Graph Associated M 23 " in Distance Regular Graphs , New York, Springer-Verlag,1989, p. 367-368, §11.4B

(en) JH Conway , RT Curtis , SP Norton , RA Parker (en) e RA Wilson , ATLAS de grupos finitos : subgrupos máximos e caracteres comuns para grupos simples , Oxford, OUP ,1985, 252 p. ( ISBN 0-19-853199-0 )
(pt) RT Curtis , " A new combinatorial approach to M 24 " , Math. Proc. Camb. Phil. Soc. , vol. 79,1976, p. 25-42
(en) Robert L. Griess , Twelve Sporadic Groups , Springer-Verlag,1998
... Mathieu , " Memória sobre o estudo das funções de várias quantidades, sobre a forma de as formar e sobre as substituições que as deixam invariáveis ", Journal de Liouville ,1861, p. 241 e s.
... Mathieu , “ Sobre a função transitiva de cinco vezes de 24 quantidades ”, Journal de Liouville , vol. (2) XVIII,1873, p. 25-47
(pt) Thomas M. Thompson , From Error Correcting Codes through Sphere Packings to Simple Groups , MAA , col. "Carus Mathematical Monographs",1983

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Grupo Mathieu " ( ver a lista de autores ) .

Link externo

“ Moggie ” ( Arquivo • Wikiwix • Archive.is • Google • O que fazer? ) (Acessado em 29 de agosto de 2017 ) Applet Java para estudar a construção GOM de Curtis.