Identidades Rogers-Ramanujan

Em combinatória , as identidades de Rogers-Ramanujan são as seguintes duas igualdades hipergeométricas da série q (en) , que podem ser interpretadas como igualdades entre números de partições de inteiros :

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {\ color {Red} n ^ {2}}} {(1-q) (1-q ^ {2}) \ cdots (1-q ^ {n})}} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(1-q ^ {5k \ color {Red} +1}) (1-q ^ {5k \ color {Red} +4})}},}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {\ color {Red} n (n + 1)}} {(1-q) (1-q ^ {2} ) \ cdots (1-q ^ {n})}} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(1-q ^ {5k \ color {Red} +2} ) (1-q ^ {5k \ color {Red} +3})}}.}

História

Eles foram descobertos e comprovados inicialmente por Leonard James Rogers (em) em 1894, depois encontrados (mas sem provas) por Srinivasa Ramanujan pouco antes de 1913. Ramanujan descobriu a seção de Rogers em 1917; em seguida, publicaram em conjunto uma nova prova. Issai Schur também descobriu essas identidades e as demonstrou (independentemente) em 1917.

Definição

Usando o símbolo q de Pochhammer , as identidades de Rogers-Ramanujan são:

G (q) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {{n ^ {2}}}} {(q; q) _ {n}}} = { \ frac {1} {(q; q ^ {5}) _ {\ infty} (q ^ {4}; q ^ {5}) _ {\ infty}}} = 1 + q + q ^ {2} + q ^ {3} + 2q ^ {4} + 2q ^ {5} + 3q ^ {6} + \ cdots \,

(continuação A003114 de OEIS )

H (q) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {{n ^ {2} + n}}} {(q; q) _ {n}}} = {\ frac {1} {(q ^ {2}; q ^ {5}) _ {\ infty} (q ^ {3}; q ^ {5}) _ {\ infty}}} = 1 + q ^ {2} + q ^ {3} + q ^ {4} + q ^ {5} + 2q ^ {6} + \ cdots \,

(continuação A003106 de OEIS ).

Símbolos Pochhammer

Os símbolos Pochhammer que intervêm são:

{\ displaystyle (q; q) _ {n} = \ prod _ {k = 1} ^ {n} (1-q ^ {k}) = (1-q) (1-q ^ {2}) \ cdots (1-q ^ {n})}

{\ displaystyle (q; q ^ {5}) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-q ^ {5k + 1})}

{\ displaystyle (q ^ {4}; q ^ {5}) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-q ^ {5k + 4})}

{\ displaystyle (q ^ {2}; q ^ {5}) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-q ^ {5k + 2})}

{\ displaystyle (q ^ {3}; q ^ {5}) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-q ^ {5k + 3})}

Interpretações combinatórias

Para a primeira identidade ( $G$ ), o lado direito pode ser interpretado como o número de partições de n cujas partes diferem em pelo menos 2, e o lado esquerdo é o número de partições de n em partes congruentes a ± 1 módulo 5 (1 , 4, 6, 9, etc. ).

Para o segundo ( $H$ ):

${\ displaystyle {\ frac {q ^ {n ^ {2} + n}} {(q; q) _ {n}}}}$ é a série que gera partições em n partes de modo que duas partes adjacentes difiram em pelo menos 2 e de modo que a menor parte é pelo menos 2.
${\ displaystyle {\ frac {1} {(q ^ {2}; q ^ {5}) _ {\ infty} (q ^ {3}; q ^ {5}) _ {\ infty}}}}$ é a série que gera partições de modo que cada parte seja congruente a 2 ou 3 módulo 5.

O número de partições de n de modo que duas partes adjacentes diferem em pelo menos 2 e de modo que a menor parte seja pelo menos 2 é igual ao número de partições de n de modo que cada parte seja congruente a 2 ou 3 módulo 5.

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado “ Rogers - identidades Ramanujan ” ( ver lista de autores ) .

GH Hardy e EM Wright ( traduzido do inglês por F. Sauvageot), Introdução à teoria dos números [“ Uma Introdução à Teoria dos Números ”], Vuibert- Springer,2007, p. 375, º. 362 e 363.
(em) Leonard James Rogers , " Third Memoir on the expansion of some Infinite Products " , Proc. London Math. Soc. , vol. 26, n o 1,1894, p. 15-32 ( DOI 10.1112 / plms / s1-26.1.15 ).
Ele os comunicou a Percy Alexander MacMahon, que os incluiu em seu livro Combinatory Analysis , Cambridge University Press, vol. 2, 1916, sem demonstração.
(em) Leonard James Rogers e Srinivasa Ramanujan , " Prova de algumas identidades na análise combinatória " , Cambr. Phil. Soc. Proc. , vol. 19, 1919, p. 211-216.
(De) Issai Schur , " Ein Beitrag zur Added Zahlentheorie und zur Theorie der Kettenbrüche " , Sitzungsberichte der Berliner Akademie ,1917, p. 302-321.
Hardy e Wright 2007 , p. 376, th. 364.
" Identidade de Rogers-Ramanujan " , em Publimath .

Veja também

Bibliografia

(pt) Cilanne Boulet e Igor Pak (pt) , “ Uma prova combinatória das identidades Rogers-Ramanujan e Schur ” , Journal of Combinatorial Theory , a, vol. 113, n o 6,2006, p. 1019-1030 ( DOI 10.1016 / j.jcta.2005.09.007 , arXiv math / 0411072 , ler online )
(pt) David Bressoud , “ Uma prova fácil das identidades Rogers-Ramanujan ” , J. Number Theory , vol. 16, n o 21983, p. 235-241 ( DOI 10.1016 / 0022-314X (83) 90043-4 )

Link externo

(en) Eric W. Weisstein , “ Rogers-Ramanujan Identities ” , no MathWorld