Índice de Dunn

O índice Dunn é uma medida de qualidade de uma partição de um conjunto de agrupamento de dados .

É a razão entre a distância máxima que separa dois elementos classificados em conjunto e a distância mínima que separa dois elementos classificados separadamente.

É um índice que não se baseia em uma distância específica e, portanto, pode ser usado em uma ampla variedade de situações.

Uma alternativa ao índice de Dunn é o índice de Davies-Bouldin .

Expressão

Posição do problema

Se observarmos a matriz de dados, cada linha corresponde a um indivíduo (ou observação) e cada coluna corresponde a um preditor (ou variável). Observamos o número de indivíduos e o número de preditores: ${\ textstyle X}$ ${\ textstyle N}$ ${\ textstyle p}$

X=(x11...xp1⋮⋮x1NÃO...xpNÃO){\ displaystyle X = \ left ({\ begin {array} {ccc} x_ {1} ^ {1} & ... & x_ {p} ^ {1} \\\ vdots && \ vdots \\ x_ {1 } ^ {N} & ... & x_ {p} ^ {N} \\\ end {array}} \ right)} ${\ displaystyle X = \ left ({\ begin {array} {ccc} x_ {1} ^ {1} & ... & x_ {p} ^ {1} \\\ vdots && \ vdots \\ x_ {1 } ^ {N} & ... & x_ {p} ^ {N} \\\ end {array}} \ right)}$

Observe a dessemelhança entre indivíduos e (respectivamente, linha e de ). Observe o número de grupos que queremos formar. ${\ textstyle d (x ^ {i}, x ^ {i '})}$ ${\ displaystyle x ^ {i} = (x_ {1} ^ {i}, ..., x_ {p} ^ {i})}$ ${\ displaystyle x ^ {i '} = (x_ {1} ^ {i'}, ..., x_ {p} ^ {i '})}$ $eu$ $eu '$ $X$ ${\ displaystyle K \ geqslant 2}$

Um algoritmo de particionamento dará uma função de atribuição cuja relevância procuramos avaliar por meio de uma pontuação. O conjunto de pontos pertencentes a um grupo é então dado por . ${\ displaystyle C: [\! [1, N] \!] \ longrightarrow [\! [1, K] \!]}$ ${\ textstyle k}$ ${\ textstyle I_ {k} = \ {i \ in [\! [1, N] \!] / \ C (i) = k \}}$

Expressão de índice de Dunn

O índice (ou pontuação) de Dunn ,, é baseado na média de pontos de cada grupo e no diâmetro do grupo . ${\ textstyle S_ {D}}$ ${\ textstyle \ mu _ {k} = {\ frac {1} {\ vert I_ {k} \ vert}} \ sum _ {i \ in I_ {k}} x ^ {i}}$ ${\ textstyle \ Delta _ {k} = \ max _ {i, i '\ in I_ {k}} d (x ^ {i}, x ^ {i'})}$

Sua expressão será:

SD=min1⩽k<k′⩽Kd(µk,µk′)max1⩽k⩽KΔk{\ displaystyle S_ {D} = {\ frac {\ displaystyle \ min _ {1 \ leqslant k <k '\ leqslant K} d (\ mu _ {k}, \ mu _ {k'})} {\ displaystyle \ max _ {1 \ leqslant k \ leqslant K} \ Delta _ {k}}}} ${\ displaystyle S_ {D} = {\ frac {\ displaystyle \ min _ {1 \ leqslant k <k '\ leqslant K} d (\ mu _ {k}, \ mu _ {k'})} {\ displaystyle \ max _ {1 \ leqslant k \ leqslant K} \ Delta _ {k}}}}$ Pode variar um pouco de acordo com as implementações (definição do diâmetro de um grupo, distância entre centros substituída por outra distância entre grupos ).

Propriedades

Faixa de variação

O índice de Dunn varia entre 0 (pior classificação) e (melhor classificação). ${\ textstyle + \ infty}$

Complexidade

Notas e referências

Um parente difuso do processo ISODATA e seu uso na detecção de clusters compactos bem separados, Dunn, Joseph C., Journal of Cybernetics, 1973.
(em) " Clustering Indexes " em cran.r-project.org (acessado em 19 de junho de 2019 )

Veja também