Kurzweil-Henstock completo

Na matemática , e mais especificamente na análise , a integral de Kurzweil-Henstock ou Henstock-Kurzweil (ou integral de KH , ou integral de calibre ou integral de Riemann completa ) foi desenvolvida de forma independente na década de 1950 por Jaroslav Kurzweil e Ralph Henstock (em) a fim de apresentam uma teoria de integração apenas mais complicada de explicar do que a integral de Riemann , mas pelo menos tão poderosa quanto a integral de Lebesgue . Equivale às integrais de Denjoy ou Perron que datam da década de 1910, mas cuja apresentação era bastante pesada e que caiu em desuso na década de 1940.

Comparado com a integral de Lebesgue, a integral KH tem a vantagem de que qualquer função derivada é integrável e não é necessário introduzir a noção de integral imprópria . Permite introduzir desde os primeiros anos do ensino superior uma integral dotada de teoremas poderosos e muito próxima da integral de Lebesgue (que é fácil de introduzir posteriormente como um caso especial).

Definições

Seja $[ a , b ]$ um segmento real . Chamamos uma subdivisão marcada (ou pontilhada) de $[ a , b ]$ qualquer par de famílias finitas de pontos $( x 0 , x 1 , ..., x n )$ e $( t 1 , t 2 , ..., t n ) de$ modo que $a = x_ {0} <x_ {1} <... <x_ {n} = b \ quad {\ mbox {e}} \ quad \ forall i \ in \ {1, \ dots, n \}, ~ x _ {{i-1}} \ leqslant t_ {i} \ leqslant x_ {i}.$ Dizemos que $t i$ marca (ou aponta para) o segmento $[ x i -1 , x i ]$ .
Se $δ$ é uma função definida em $[ a , b ]$ com valores estritamente positivos, dizemos que $δ$ é um medidor (em $[ a , b ]$ ), e a subdivisão é dita $δ$ -fina se

{\ displaystyle \ forall i \ in \ {1, \ dots, n \}, ~ x_ {i} -x_ {i-1} \ leqslant \ delta (t_ {i}).}

Um teorema importante, o lema de Cousin , é freqüentemente usado na teoria da integração KH; ele afirma que, qualquer que seja a bitola escolhida, há subdivisões marcadas mais finas do que essa bitola.

Uma função $f$ limitada ou não em um segmento $[ a , b ]$ , com valores reais ou complexos, é integrável no sentido de Kurzweil-Henstock (ou KH-integrável) , da integral $A$ , se: para todo $ε > 0$ , há é um calibre $δ$ de tal modo que, para todos marcados subdivisão $(( x i ) ( t i ))$ $δ$ -Bem, temos: . O número $A$ é então único e é chamado de integral de $f$ sobre $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ . Nós então notamos
${\ displaystyle \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -x_ {i-1}) f (t_ {i}) - A \ right | \ leqslant \ varepsilon}$ $\ int _ {a} ^ {b} f (t) {\ mathrm d} t.$
O montante é denominado soma de Riemann de $f$ em relação à subdivisão selecionada marcada. ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -x_ {i-1}) f (t_ {i})}$

Notamos que se tomarmos medidas constantes de $j$ , encontramos a definição da integral de Riemann . O KH-integral consiste em substituir esses medidores constantes por medidores variáveis.

No caso em que $f$ é definido em um intervalo $I$ que não é um segmento, dizemos que $f$ é KH-integrável com $A$ integral , se, para todo $ε > 0$ , existe um calibre $δ$ em $I$ e um segmento $[ a , b ]$ incluído em $I de$ modo que, para qualquer subdivisão marcada $(( x i ), ( t i ))$ $δ$ -fin de um segmento incluído em $I$ e contendo $[ a , b ]$ , temos:
${\ displaystyle \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -x_ {i-1}) f (t_ {i}) - A \ right | \ leqslant \ varepsilon.}$

Propriedades

O conjunto de funções integráveis KH forma um espaço vetorial ordenado (de) e a integral é uma forma linear positiva neste espaço.
Em um segmento, qualquer função integrável de Riemann é integrável por KH (e da mesma forma integral).
A noção de integral imprópria é inútil com a integral KH. Na verdade, de acordo com o teorema de Hake :Uma função $f$ definida ao longo de um intervalo $I = ( a , b )$ (não necessariamente limitada, e não necessariamente contendo $a$ nem $b$ ) é KH-integrável sobre $I$ se e somente se estiver sobre qualquer segmento $[ c , d ]$ incluído em $] a , b [$ e se o limite existe e é finito. Sua integral sobre $I$ é então igual a este limite. ${\ displaystyle \ lim _ {c \ to a ^ {+}, d \ to b ^ {-}} \ int _ {c} ^ {d} f (t) \, \ mathrm {d} t}$ Deduzimos, por exemplo (usando o ponto anterior):
- no segmento $[0, 1]$ , a função $x \mapsto 1 / \sqrt x$ se $x \neq 0$ e $0 \mapsto 0$ (não integrável por Riemann porque ilimitada) é integrável por KH;
- em $] 0, + \infty [$ , a função $x \mapsto sin x / x$ é KH-integrável (integral $π / 2$ : é a integral de Dirichlet ) e seu valor absoluto não é.
O segundo teorema fundamental da análise é expresso da seguinte forma:Se $F$ é uma antiderivada generalizada de $f$ sobre $[ a , b ]$ , então $f$ é KH-integrável e ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t = F (b) -F (a).}$
O primeiro teorema fundamental de análise é expresso da seguinte forma:Se $f$ é KH-integrável em $[ a , b ]$ , então a função é contínua e quase em todos os lugares admite uma derivada igual $af$ . ${\ displaystyle F: x \ mapsto \ int _ {a} ^ {x} f (t) \, \ mathrm {d} t}$ Segue-se que $f$ é Lebesgue - mensurável , como o limite quase em toda parte da sequência de funções contínuas $x \mapsto n ( F ( x + 1 / n ) - F ( x ))$ .
Uma função f é integrável a Lebesgue se e somente se f e | f | são KH-integráveis, e as duas integrais de f (no sentido de Lebesgue e no sentido de Kurzweil-Henstock) são então iguais. Em particular, para funções positivas, integrabilidade Lebesgue e integrabilidade KH são equivalentes. Uma parte de ℝ é portanto mensurável de Lebesgue e de medida de Lebesgue finita se e somente se sua função característica for KH-integrável. Por exemplo :
- a função de Dirichlet (igual a 1 nos racionais e 0 nos irracionais , e que não é localmente Riemann-integrável) é Lebesgue-integrable e portanto KH-integrable (de zero integral).
- se V é uma parte não mensurável de $[0, 1]$ , sua função característica $1 V$ , positiva e não mensurável de Lebesgue, não é KH-integrável (portanto $1 V - 1 [0, 1] \ V = 2 1 V - 1 [0, 1]$ também).
O teorema da convergência monotônica e o teorema da convergência dominada são verdadeiros com a integral KH. Este último é deduzido de um teorema da convergência enquadrada , mais forte porque permite tratar o caso de funções cujo valor absoluto não é integrável.

Notas e referências

Jean-Pierre Demailly , teoria elementar da integração: a integral de Kurzweil-Henstock ,2011( leia online [PDF] ).
Jean-Pierre Ramis , André Warusfel et al. , Matemática Tudo-em-um para Licença 3 , Dunod ,2015( leia online ) , p. 195-259.
J.-P. Ramis, A. Warusfel et al., All-in-one Mathematics for License 2 , Dunod ,2014, 2 nd ed. ( leia online ) , p. 547-549.
Por exemplo, podemos ler a apresentação do Demailly 2011 , usado como material do curso na Universidade de Grenoble-I .
Demailly 2011 , p. 11, def. 2,5; Ramis, Warusfel et al. 2015 , p. 198, def. 16; Ramis, Warusfel et al. 2014 , p. 591, def. 10
A seguinte variação é encontrada em Lee Peng Yee e Rudolf Výborný, The Integral: An Easy Approach after Kurzweil e Henstock , Cambridge University Press ,2000, 311 p. ( ISBN 978-0-521-77968-5 , apresentação online ) , p. 23 : $t i - δ ( t i ) < x i -1 \leq t i \leq x i < t i + δ ( t i )$ .
Ramis, Warusfel et al. 2015 , p. 202
Ramis, Warusfel et al. 2015 , p. 224.
Ramis, Warusfel et al. 2015 , p. 204
(em) " Heinrich Hake " , no site do Projeto Genealogia da Matemática , (de) " tese " em DDB ,1921.
Ramis, Warusfel et al. 2015 , p. 227-229.
Veja o parágrafo correspondente no artigo sobre o lema do Cousin .
Ou seja, um mapa contínuo que, no complemento de um conjunto contável , tem por derivada $f$ .
Ramis, Warusfel et al. 2015 , p. 232 e 236.
(em) Russell A. Gordon, The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron e Henstock , AMS ,1994( leia online ) , p. 145.
(in) Charles Swartz, Introdução a Gauge Integrals , World Scientific ,2001( leia online ) , p. 136.
Ramis, Warusfel et al. 2015 , p. 283.
Ramis, Warusfel et al. 2015 , p. 249-250 e 269.

Veja também

Bibliografia

Jean-Yves Briend, Pequeno Tratado de Integração , EDP Ciências , 2014 [ apresentação online ]
Roger Cuculière, “ Qual integral para o ano 2000? », Repères IREM , n o 31,Abril de 1998
Clément Kesselmark e Laurent Moonens, " Os teoremas fundamentais do cálculo integral ", Gazette des mathématiciens , n o 141,julho de 2014, p. 49-67
Jean Mawhin , Analysis. Fundações, técnicas, evolução , Ciências de Acesso, De Boeck University, Bruxelas, 1993