Desigualdade triangular

Em geometria , a desigualdade triangular é o fato de que, em um triângulo , o comprimento de um lado é menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados. Essa desigualdade é obviamente intuitiva ao ponto de ser óbvia. Na vida cotidiana, como na geometria euclidiana , isso resulta no fato de que uma linha reta é o caminho mais curto : o caminho mais curto do ponto A ao ponto B é seguir em frente, sem passar por um terceiro ponto C que não estaria a linha reta.

Mais abstratamente, essa desigualdade corresponde ao fato de que a distância direta é um valor mínimo de distância. É também uma propriedade ou condição necessária para definir uma boa distância . Essa distância é uma escolha possível em métricas matemáticas , mas não necessariamente a melhor, dependendo do caso e do uso.

Afirmações

Em geometria

Em um plano euclidiano , deixe um triângulo ABC . Então, os comprimentos AB , AC e CB satisfazem as três desigualdades a seguir:

$AB \ leq AC + CB$ ;
$AC \ leq AB + BC$ ;
$BC \ leq BA + AC$ .

Inversamente, dados três comprimentos cada um dos quais (ou, o que é suficiente: o maior) é menor que a soma dos outros dois, existe um triângulo com esses comprimentos laterais.

Uma propriedade é deduzida dessas desigualdades: $| AC-CB | \ leq AB$ Esta última desigualdade significa que, em um triângulo, o comprimento de um lado é maior do que a diferença dos comprimentos dos outros dois. Que, portanto, aparece como uma propriedade relativa à topologia do triângulo.

Outro os completa: $AB = AC + CB \ Leftrightarrow C \ in [AB]$ .

Para números complexos

Usando uma representação complexa do plano euclidiano, podemos notar

$x = {\ text {afixo de}} \ overrightarrow {AC}$
$y = {\ text {afixo de}} \ overrightarrow {CB}$

Esta formulação equivalente é obtida.

Pois , nós temos: ${\ displaystyle (x, y) \ in \ mathbb {C} ^ {2}}$

$| x + y | \ leq | x | + | y |$ ;
${\ displaystyle | x + y | = | x | + | y | \ Longleftrightarrow \ exists (\ lambda, \ mu) \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {2} \ setminus \ {(0 , 0) \}, \ \ lambda y = \ mu x}$ .

Generalização para espaços pré-hilbertianos

Deixe ser um espaço préhilbertiano real. Notamos a norma associada ao produto escalar . Para , então verificamos: ${\ displaystyle (E, \ langle \ cdot | \ cdot \ rangle)}$ $\ | \ cdot \ |$ ${\ displaystyle (x, y) \ in E ^ {2}}$

${\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |}$ ;
${\ displaystyle \ | x + y \ | = \ | x \ | + \ | y \ | \ Longleftrightarrow \ exists (\ lambda, \ mu) \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {2} \ setminus \ {(0,0) \}, \ \ lambda y = \ mu x}$ .

(Qualquer espaço prehilbertiano complexo é um espaço prehilbertiano real, para o produto escalar , que induz a mesma norma que o produto hermitiano .) ${\ displaystyle (E, \ langle \ cdot | \ cdot \ rangle ')}$ ${\ displaystyle \ langle x | y \ rangle: = \ mathrm {Re} (\ langle x | y \ rangle ')}$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot | \ cdot \ rangle '}$

Ponto de vista axiomático

Seja $E$ um conjunto e . Dizemos que $d$ é uma distância em $E$ se: $d: E \ vezes E \ para \ mathbb {R} ^ {+}$

$\ forall (x, y) \ in E ^ {2}, \ d (x, y) = d (y, x)$
$\ forall (x, y) \ in E ^ {2}, \ d (x, y) = 0 \ Longleftrightarrow x = y$
$\ forall (x, y, z) \ in E ^ {3}, \ d (x, z) \ leq d (x, y) + d (y, z)$

A terceira propriedade necessária para ser uma distância é verificar a desigualdade triangular. Associado ao primeiro, envolve: $d$

${\ displaystyle \ forall (x, y, z) \ in E ^ {3}, \ | d (x, z) -d (y, z) | \ leq d (x, y)}$

e, mais geralmente, para qualquer parte nonempty $Um$ dos $E$ , (ver “ distância de um ponto a uma parte ”). ${\ displaystyle | d (x, A) -d (y, A) | \ leq d (x, y)}$

Por outro lado ,. ${\ displaystyle | d (x, z) -d (y, z) | \ leq d (x, y) \ Longrightarrow d (x, z) \ leq d (x, y) + d (y, z)}$

Qualquer espaço vetorial normalizado - em particular - é naturalmente dotado de uma distância , definida por , para a qual o aumento é reescrito: ${\ displaystyle (E, \ | ~ \ |)}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {C}, | ~ |)}$ $d$ ${\ displaystyle d (x, y) = \ | xy \ |}$ ${\ displaystyle | d (x, 0) -d (y, 0) | \ leq d (x, y)}$

${\ displaystyle {\ Big |} \ | x \ | - \ | y \ | {\ Big |} \ leq \ | xy \ |}$ .

Demonstração

Deixe ser um verdadeiro espaço préhilbertiano e . ${\ displaystyle (E, \ langle \ cdot | \ cdot \ rangle)}$ ${\ displaystyle (x, y) \ in E ^ {2}}$

Desigualdade

Nós temos . ${\ displaystyle \ | x + y \ | ^ {2} = \ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2} +2 \ langle x | y \ rangle}$

Pela Cauchy-Schwarz , . ${\ displaystyle \ langle x | y \ rangle \ leq | \ langle x | y \ rangle | \ leq \ | x \ | \ | y \ |}$

De onde . ${\ displaystyle \ | x + y \ | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2} +2 \ | x \ | \ | y \ | = (\ | x \ | + \ | y \ |) ^ {2}}$

E então . ${\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |}$

(Se é o plano euclidiano, identificado o plano complexo tendo o produto interno $⟨$ $u$ $,$ $v$ $⟩ =$ $Re$ $($ $u$ $v$ $)$ - cujo padrão associado é o módulo - a desigualdade de Cauchy-Schwarz é aqui utilizado, bem como o caso de igualdade abaixo , uma propriedade elementar de números complexos .) $E$

Caso de igualdade

Suponha que e . ${\ displaystyle \ | x + y \ | = \ | x \ | + \ | y \ |}$ $y \ neq 0$

Pelo que precede, portanto, temos . ${\ displaystyle \ langle x | y \ rangle = | \ langle x | y \ rangle | = \ | x \ | \ | y \ |}$

Portanto, pelo caso da igualdade de Cauchy-Schwarz , com . ${\ displaystyle x = \ lambda y}$ ${\ displaystyle \ lambda = \ langle x | y \ rangle / \ | y \ | ^ {2} = \ | x \ | / \ | y \ | \ geq 0}$

Finalmente, temos bom , com . ${\ displaystyle \ lambda y = \ mu x}$ ${\ displaystyle \ mu = 1}$