Lema de Hensel
Em matemática , o lema de Hensel é um resultado que permite deduzir a existência de uma raiz de um polinômio a partir da existência de uma solução aproximada. É nomeado após o matemático do início do XX ° século Kurt Hensel . Sua demonstração é análoga à do método de Newton .
A noção de anel Henseliano agrupa os anéis aos quais o lema de Hensel se aplica. Os exemplos mais comuns são ℤ p (o anel de inteiros p -ádicos , para p um número primo ) e k [[ t ]] (o anel da série formal sobre um campo k ) ou, mais geralmente, os anéis de avaliação discreta completa .
Afirmações
Consideramos um polinômio P com coeficientes em ℤ p (o anel de p -adic inteiros , com p primo ).
Lema de Hensel versão 1.
Se existe tal
α0∈Zp{\ displaystyle \ alpha _ {0} \ in \ mathbb {Z} _ {p}}
P(α0)≡0(modp)etP′(α0)≢0(modp),{\ displaystyle P (\ alpha _ {0}) \ equiv 0 {\ pmod {p}} \ quad {\ rm {et}} \ quad P '(\ alpha _ {0}) \ não \ equiv 0 {\ pmod {p}},}
então, existe tal que
α∈Zp{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {Z} _ {p}}
P(α)=0etα≡α0(modp).{\ displaystyle P (\ alpha) = 0 \ quad {\ rm {e}} \ quad \ alpha \ equiv \ alpha _ {0} {\ pmod {p}}.}
Mais geralmente, se um anel Noetheriano A é completo para a topologia I -adic para um certo I ideal e se P é um polinômio com coeficientes em A então, qualquer elemento α 0 de A tal que, módulo I , P (α 0 ) é zero e P ' (α 0 ) é invertível , aumenta exclusivamente em uma raiz de P em a .
A condição é essencial. Assim, a equação não tem solução em (tal solução deve ser congruente com 2 módulo 5 ; posar , teríamos, portanto , o que é um absurdo, já que 30 não é divisível por 25), enquanto que tem um em , visto que é divisível por 5; isso é explicado porque é identicamente zero em .
P′(α0)≢0(modp){\ displaystyle P '(\ alpha _ {0}) \ not \ equiv 0 {\ pmod {p}}}
X5=2{\ displaystyle X ^ {5} = 2}
Z5{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {5}}
no{\ displaystyle a}
no=2+5x{\ displaystyle a = 2 + 5x}
2=(2+5x)5=32+5×16×5x+10×8×(5x)2+...{\ displaystyle 2 = (2 + 5x) ^ {5} = 32 + 5 \ vezes 16 \ vezes 5x + 10 \ vezes 8 \ vezes (5x) ^ {2} + \ pontos}
Z/5Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z}}
25-2{\ displaystyle 2 ^ {5} -2}
P′(X){\ displaystyle P '(X)}
Z/5Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z}}![{\ displaystyle \ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b770f4ba2267b6b9f3444d98bdf08f9a49cd8dd)
Lema de Hensel versão 2.
Se existe tal que, para algum inteiro N , temos
α0∈Zp{\ displaystyle \ alpha _ {0} \ in \ mathbb {Z} _ {p}}
P′(α0)≡0(modpNÃO),P′(α0)≢0(modpNÃO+1)etP(α0)≡0(modp2NÃO+1),{\ displaystyle P '(\ alpha _ {0}) \ equiv 0 {\ pmod {p ^ {N}}}, \ quad P' (\ alpha _ {0}) \ not \ equiv 0 {\ pmod {p ^ {N + 1}}} \ quad {\ rm {e}} \ quad P (\ alpha _ {0}) \ equiv 0 {\ pmod {p ^ {2N + 1}}},}
então, existe tal que
α∈Zp{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {Z} _ {p}}
P(α)=0etα≡α0(modpNÃO+1).{\ displaystyle P (\ alpha) = 0 \ quad {\ rm {e}} \ quad \ alpha \ equiv \ alpha _ {0} {\ pmod {p ^ {N + 1}}}.}
Lema de Hensel versão 3.
Seja K um campo completo de valor não arquimediano , | ∙ | um valor absoluto em K associado à sua avaliação, O K seu anel de inteiros , f ∈ O K [ X ] e x um elemento de O K tal quevs: =|f(x)f′(x)2|<1{\ displaystyle c: = \ left | {\ frac {f (x)} {f '(x) ^ {2}}} \ right | <1.}
Então :
- a sequência definida por e a fórmula de recorrência: é bem definida e satisfaz(xnão)não∈NÃO{\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
x0: =x{\ displaystyle x_ {0}: = x}
xnão+1: =xnão-f(xnão)f′(xnão){\ displaystyle x_ {n + 1}: = x_ {n} - {\ frac {f (x_ {n})} {f '(x_ {n})}}}
|f(xnão)|⩽vs2não|f′(x0)|2et|xnão+1-xnão|⩽vs2não|f′(x0)| ;{\ displaystyle \ vert f (x_ {n}) \ vert \ leqslant c ^ {2 ^ {n}} \ vert f '(x_ {0}) \ vert ^ {2} \ quad {\ rm {e}} \ quad \ vert x_ {n + 1} -x_ {n} \ vert \ leqslant c ^ {2 ^ {n}} \ vert f '(x_ {0}) \ vert ~;}
- ele converge em O K para uma raiz ξ de f e∀não∈NÃO|ξ-xnão|⩽|f(x)f′(x)|2não ;{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad \ vert \ xi -x_ {n} \ vert \ leqslant \ left | {\ frac {f (x)} {f '(x)}} \ right | ^ {2 ^ {n}} ~;}
-
ξ é a única raiz de f na bola aberta de O K com centro xe raio | f ( x ) / f '( x ) | .
Lema de Hensel versão 4.
Qualquer completa anel local é Henselian (em) , isto é, uma que indica esse anel e k o campo residual , que, se uma unidade polinomial f ∈ A [ X ] tem por imagem em k [ X ] um produto de dois polinómios g e h privilegiada entre eles , então g e h são elevados em dois polinômios de A [ X ] do produto f .
Este lema " Hensel " foi demonstrado por Theodor Schönemann em 1846.
Formulários
O lema de Hensel é aplicável a uma ampla variedade de situações.
Família de idempotentes ortogonais
Seja A um anel local noetheriano, completo para a topologia M -adic associada ao seu ideal máximo M , e B um A- álgebra comutativo , de tipo finito como um módulo- A . Assim, cada família de idempotents "ortogonal" de B / MB sobe, exclusivamente, em uma família de idempotents ortogonais de B .
De fato, os idempotentes são as raízes do polinômio P ( X ): = X 2 - X , e se P ( e ) for zero, então P ' ( e ) é seu próprio inverso. Agora B está completa (in) para a topologia MB -adic, permitindo, graças ao lema de Hensel (versão 1 acima) para atender cada idempotent de B / MB em um idempotent de B . Finalmente, se dois idempotentes de B são módulo ortogonal MB , então eles são absolutos: seu produto x é zero porque (por completude) 1 - x é invertível, ou x (1 - x ) = 0.
Fatoração de polinômios com coeficientes inteiros
Os algoritmos de fatoração de polinômios com coeficientes inteiros em fatores irredutíveis primeiro usam uma fatoração em um corpo finito que deve então ser remontado no anel para um certo k de . Essa recuperação é feita graças a um caso particular do lema de Hensel, declarado a seguir:
Fp{\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}
Z/p2kZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p ^ {2 ^ {k}} \ mathbb {Z}}}
NÃO{\ displaystyle \ mathbb {N}}![{\ displaystyle \ mathbb {N}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed)
Seja p um número primo e P um polinômio com coeficientes inteiros, unitários, decompostos em um produto de dois polinômios com coeficientes em .
G0H0{\ displaystyle G_ {0} H_ {0}}
Z/pZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p \ mathbb {Z}}}![{\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p \ mathbb {Z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b54730beed2b4c401c2e5f8855fbd4db85a30244)
Supomos e primos entre si, dos coeficientes de Bézout em .
G0{\ displaystyle G_ {0}}
H0{\ displaystyle H_ {0}}
você0,V0{\ displaystyle U_ {0}, V_ {0}}
Z/pZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p \ mathbb {Z}}}![{\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p \ mathbb {Z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b54730beed2b4c401c2e5f8855fbd4db85a30244)
Portanto, para tudo , há um único quádruplo de polinômios , como:
k∈NÃO{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}
Z/p2kZ,(Gk,Hk,vocêk,Vk){\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p ^ {2 ^ {k}} \ mathbb {Z}}, (G_ {k}, H_ {k}, U_ {k}, V_ {k})}![{\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p ^ {2 ^ {k}} \ mathbb {Z}}, (G_ {k}, H_ {k}, U_ {k}, V_ {k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e489b10fb04f136cdf254580597d2a9a0ab37784)
- paraXk+1=Xk[p2k]{\ displaystyle X_ {k + 1} = X_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}]}
X∈{Gk,Hk,vocêk,Vk}{\ displaystyle X \ in \ lbrace G_ {k}, H_ {k}, U_ {k}, V_ {k} \ rbrace}
- são primos entre si, unitários, dos coeficientes de Bézout emGk,Hk{\ displaystyle G_ {k}, H_ {k}}
vocêk,Vk{\ displaystyle U_ {k}, V_ {k}}
Z/p2kZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p ^ {2 ^ {k}} \ mathbb {Z}}}
- P=GkHk{\ displaystyle P = G_ {k} H_ {k}}![{\ displaystyle P = G_ {k} H_ {k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3b7e7554170e505238b77d873f4991142a8e8d2)
Demonstração
Prossigamos por indução em .
k{\ displaystyle k}![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
A inicialização é dada pela hipótese.
Por hereditariedade, presumimos a existência de para uma determinada categoria . Estamos tentando construir .
(Gk,Hk,vocêk,Vk){\ displaystyle (G_ {k}, H_ {k}, U_ {k}, V_ {k})}
k⩾0{\ displaystyle k \ geqslant 0}
(Gk+1,Hk+1){\ displaystyle (G_ {k + 1}, H_ {k + 1})}![{\ displaystyle (G_ {k + 1}, H_ {k + 1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71b0b97d6603f4fba90fa8fab5530c42c6ee1683)
Temos, por hipótese, que portanto existe tal que .
P=GkHk [p2k]{\ displaystyle P = G_ {k} H_ {k} ~ [p ^ {2 ^ {k}}]}
Rk∈Z/p2kZ[X]{\ displaystyle R_ {k} \ in \ mathbb {Z} / _ {p ^ {2 ^ {k}} \ mathbb {Z}} [X]}
P-GkHk=p2kRk [p2k+1]{\ displaystyle P-G_ {k} H_ {k} = p ^ {2 ^ {k}} R_ {k} ~ [p ^ {2 ^ {k + 1}}]}![{\ displaystyle P-G_ {k} H_ {k} = p ^ {2 ^ {k}} R_ {k} ~ [p ^ {2 ^ {k + 1}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a543b4b47f1369b8b6c8c484454234e22795f81d)
Em seguida, chamamos e os respectivos remanescentes da divisão euclidiana de par e par .
hk{\ displaystyle h_ {k}}
gk{\ displaystyle g_ {k}}
vocêkRk{\ displaystyle U_ {k} R_ {k}}
Hk{\ displaystyle H_ {k}}
VkRk{\ displaystyle V_ {k} R_ {k}}
Gk{\ displaystyle G_ {k}}![{\ displaystyle G_ {k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d8034a8094aa6549db10b01a1e8f73bb57ac39f)
Nós posamos {Gk+1=Gk+p2kgkHk+1=Hk+p2khk{\ displaystyle \ left \ lbrace {\ begin {array} {cc} G_ {k + 1} = & G_ {k} + p ^ {2 ^ {k}} g_ {k} \\ H_ {k + 1} = & H_ {k} + p ^ {2 ^ {k}} h_ {k} \\\ end {array}} \ right.}
Vamos verificar se ele se encaixa:
Por construção, {Gk+1=Gk[p2k]Hk+1=Hk[p2k]{\ displaystyle \ left \ lbrace {\ begin {array} {cc} G_ {k + 1} = & G_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}] \\ H_ {k + 1} = & H_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}] \\\ end {array}} \ right.}
Os coeficientes dominantes de e são aqueles de e porque e resultam de uma divisão euclidiana. Portanto, e são unitários e verificamos por um simples cálculo isso .
Gk+1{\ displaystyle G_ {k + 1}}
Hk+1{\ displaystyle H_ {k + 1}}
Gk{\ displaystyle G_ {k}}
Hk{\ displaystyle H_ {k}}
gk{\ displaystyle g_ {k}}
hk{\ displaystyle h_ {k}}
Gk+1{\ displaystyle G_ {k + 1}}
Hk+1{\ displaystyle H_ {k + 1}}
P=Gk+1Hk+1 [p2k+1]{\ displaystyle P = G_ {k + 1} H_ {k + 1} ~ [p ^ {2 ^ {k + 1}}]}![{\ displaystyle P = G_ {k + 1} H_ {k + 1} ~ [p ^ {2 ^ {k + 1}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17d5ad36bfb9b3f8163bbf9936da18498fd85d7)
Finalmente, mostramos, ao mostrar os coeficientes de Bézout, que e são coprimos.
Gk+1{\ displaystyle G_ {k + 1}}
Hk+1{\ displaystyle H_ {k + 1}}![{\ displaystyle H_ {k + 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b9eab2f64e73d7f6e9f708cd50949dd820d5b0)
Nós posamos {vocêk+1=2vocêk-Gk+1vocêk2 mod Hk+1Vk+1=2Vk-Hk+1Vk2 mod Gk+1{\ displaystyle \ left \ lbrace {\ begin {array} {cc} U_ {k + 1} = & 2U_ {k} -G_ {k + 1} U_ {k} ^ {2} ~ mod ~ H_ {k + 1} \\ V_ {k + 1} = & 2V_ {k} -H_ {k + 1} V_ {k} ^ {2} ~ mod ~ G_ {k + 1} \\\ end {array}} \ right .}
Temos: .
vocêk+1Gk+1=1-(vocêkGk+1-1)2 mod Hk+1{\ displaystyle U_ {k + 1} G_ {k + 1} = 1- (U_ {k} G_ {k + 1} -1) ^ {2} ~ mod ~ H_ {k + 1}}![{\ displaystyle U_ {k + 1} G_ {k + 1} = 1- (U_ {k} G_ {k + 1} -1) ^ {2} ~ mod ~ H_ {k + 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c45587b5178432ad64401640a1373130c4260a30)
E , o que completa a prova.
(vocêkGk+1-1)2=(vocêkp2kgk-HkVk)2 modHk+1=(vocêkp2kgk-(Hk+1-pkhk)Vk)2 modHk+1=0{\ displaystyle (U_ {k} G_ {k + 1} -1) ^ {2} = (U_ {k} p ^ {2 ^ {k}} g_ {k} -H_ {k} V_ {k}) ^ {2} ~ modH_ {k + 1} = (U_ {k} p ^ {2 ^ {k}} g_ {k} - (H_ {k + 1} -p ^ {k} h_ {k}) V_ {k}) ^ {2} ~ modH_ {k + 1} = 0}![{\ displaystyle (U_ {k} G_ {k + 1} -1) ^ {2} = (U_ {k} p ^ {2 ^ {k}} g_ {k} -H_ {k} V_ {k}) ^ {2} ~ modH_ {k + 1} = (U_ {k} p ^ {2 ^ {k}} g_ {k} - (H_ {k + 1} -p ^ {k} h_ {k}) V_ {k}) ^ {2} ~ modH_ {k + 1} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c315e7288ba1b509c17e2ba40021123d04c3994)
O seguinte algoritmo possibilita a construção dos polinômios e do lema.
Gk,Hk,vocêk,{\ displaystyle G_ {k}, H_ {k}, U_ {k},}
Vk{\ displaystyle V_ {k}}![{\ displaystyle V_ {k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f43bfe96795a33589c12e1500b843f6268d35f2f)
Entrée : p un nombre premier, k un entier,
P,G,H,U,V{\displaystyle P,G,H,U,V}![{\displaystyle P,G,H,U,V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/620af8dd78fce16316018218ee1d89b382293f58)
des polynômes avec
P=GH [p]{\displaystyle P=GH~[p]}![{\displaystyle P=GH~[p]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9444bce91e86153b2f562db7735c64f585ca3cc0)
et
GU+HV=1 [p]{\displaystyle GU+HV=1~[p]}![{\displaystyle GU+HV=1~[p]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/024d8eb8462b685f9c919609b395f30fb08bacac)
Sortie :
G,H,U,V{\displaystyle G,H,U,V}![{\displaystyle G,H,U,V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4f59bd3a2d67a1d9763db7b0f5406a3d1ac473c)
tels que
P=GH [p2k]{\displaystyle P=GH~[p^{2^{k}}]}![{\displaystyle P=GH~[p^{2^{k}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b164bb35a11322eeb8afff355f575f5d70d9acce)
et
GU+HV=1 [p2k]{\displaystyle GU+HV=1~[p^{2^{k}}]}![{\displaystyle GU+HV=1~[p^{2^{k}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9612a2e376a23d0ad1399993e3ceb1cf3475d81d)
Pour i = 1 à k-1
R←P−GHpi{\displaystyle R\leftarrow {\dfrac {P-GH}{p^{i}}}}
G←H+pi{\displaystyle G\leftarrow H+p^{i}}![{\displaystyle G\leftarrow H+p^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/627dba105c8b099d68aaa38423a29985cccb9298)
*Div_Euclide
(UR,H){\displaystyle (UR,H)}
H←G+pi{\displaystyle H\leftarrow G+p^{i}}![{\displaystyle H\leftarrow G+p^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7e748a7423f13dd0a77aa3dceddec6dcbdbb8f)
*Div_Euclide
(VR,G){\displaystyle (VR,G)}
U←{\displaystyle U\leftarrow }![{\displaystyle U\leftarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f4e97520c48790b4570f8aad0d01853accf1a3f)
Div_Euclide
(2U−U2G,H){\displaystyle (2U-U^{2}G,H)}
V←{\displaystyle V\leftarrow }![{\displaystyle V\leftarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa55729f2250cee4e7fc82a674cb026eb3f0cb00)
Div_Euclide
(2V−V2H,G){\displaystyle (2V-V^{2}H,G)}![{\displaystyle (2V-V^{2}H,G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f03a80f5b25c25f172c4e2f748075bb2f88e409)
retourne
(G,H,U,V){\displaystyle (G,H,U,V)}
Notas e referências
-
(em) Akhil Mathew, " Completions " on cring project .
-
(in) David Eisenbud , Commutative Algebra: with a View Toward Algebraic Geometry , Springer al. " GTM " ( N O 150)1995, 785 p. ( ISBN 978-0-387-94269-8 , leitura online ) , p. 189-190indica que a hipótese "local" não é necessária (a afirmação é então válida para qualquer M ideal de A ), e estende a prova de existência (sem singularidade) para o caso em que A não é comutativo, mas apenas para uma família ao mais contável .
-
Isso quer dizer cujos produtos dois a dois são zero.
-
Abuaf Roland e Boyer Ivan, " Factorization inZ[X]{\ displaystyle \ mathbb {Z} [X]}
", palestra do Mestre proposta por François Loeser ,20 de junho de 2007( leia online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">