Localização (matemática)
Na álgebra , a localização é uma das operações básicas da álgebra comutativa . É um método que constrói um novo anel a partir de um anel comutativo . A construção do domínio das frações é um caso especial de localização.
Conceito intuitivo
A localização consiste em tornar invertíveis os elementos de uma parte ("parte multiplicativa") do anel. O exemplo mais conhecido é o campo de frações de um anel integral, que é construído tornando todos os elementos diferentes de zero do anel invertíveis. Também podemos ver a localização como uma forma de enviar o anel para um anel "maior" no qual as divisões foram permitidas por elementos que anteriormente não eram invertíveis. Por exemplo, o localizado de en é o anel , no qual qualquer número inteiro que não seja múltiplo de tem um inverso. Este anel corresponde a uma estrutura de anel de avaliação discreta porque é, além disso, o principal .
Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Z∖7Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ setminus 7 \ mathbb {Z}}Z[12,13,15,111,113...]{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [{\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {5}}, {\ frac {1} {11}}, {\ frac {1} {13}} ... \ right]}7{\ displaystyle 7}
Definição
Seja A um anel comutativo (unitário). Tentamos tornar os elementos de uma parte S de A invertíveis . Se um e b em S se tornar invertível, será o mesmo para o seu produto cuja inversa é, então, uma -1 b -1 . Trabalhamos, portanto, com uma parte multiplicativa , ou seja, um conjunto estável por multiplicação, não contendo zero e contendo 1.
S⊂NO{\ displaystyle S \ subset A}
A localização do anel A na parte S é, então, os dados de um anel, denotado S -1 A e de um morfismo , como:euS:NO→S-1NO{\ displaystyle l_ {S} \ ,: \, A \ rightarrow S ^ {- 1} A}
euS(S)⊂(S-1NO)∗(euS(s) é invertível para tudo s∈S),{\ displaystyle l_ {S} (S) \ subset (S ^ {- 1} A) ^ {*} \ quad \ quad (l_ {S} (s) {\ text {é invertível para tudo}} s \ in S),}
e que satisfaçam a seguinte propriedade universal : para qualquer morfismo de anel , sef:NO→B{\ displaystyle f: A \ rightarrow B}
f(S)⊂B∗(f(s) é invertível para tudo s∈S),{\ displaystyle f (S) \ subset B ^ {*} \ quad \ quad (f (s) {\ text {é invertível para todos}} s \ em S),}
então há um morfismo único como esse .
g:S-1NO→B{\ displaystyle g \ ,: \, S ^ {- 1} A \ rightarrow B}f=g∘euS{\ displaystyle f = g \ circ l_ {S}}
O anel S -1 A também é denotado A S ou A [ S -1 ] e é chamado de anel das frações de A associadas a S , ou com denominadores em S , ou o anel das frações de A em relação a S .
Construção
Para construir o anel localizado, procede-se como na construção do campo das frações, mas com uma precaução adicional para levar em conta o fato de que o anel nem sempre é integral. No produto cartesiano , a relação de equivalência é então a seguinte: se e somente se existe um elemento tal que . O resto da construção é igual ao do corpo da fração . O uso do elemento é crucial para a transitividade.
NO×S{\ displaystyle A \ times S}(no,s)∼(no′,s′){\ displaystyle (a, s) \ sim (a ', s')}t∈S{\ displaystyle t \ in S}t(s′no-sno′)=0{\ displaystyle t (s'-sa ') = 0}t{\ displaystyle t}
Exemplos importantes
- Os elementos regulares (isto é, não divisores de zero ) formam uma parte multiplicativa denotada ; o anel é o anel total das frações de ; o homomorfismo de localização, neste caso, é injetivo.NO×{\ displaystyle A ^ {\ times}}(NO×)-1NO{\ displaystyle (A ^ {\ times}) ^ {- 1} A}NO{\ displaystyle A}
- O complemento de um ideal primo é uma parte multiplicativa e pode, portanto, ser usado para localizar o anel. Neste caso, notamos . É um anel local denominado localizado de en . De modo mais geral, pode-se tomar a parte multiplicativo o complemento da união de qualquer família de ideais primos de A . Para uma família finita, obtemos um anel semi-local .NO∖p{\ displaystyle A \ setminus p} p{\ displaystyle p}NOp=(NO∖p)-1NO{\ displaystyle A_ {p} = (A \ setminus p) ^ {- 1} A}NO{\ displaystyle A}p{\ displaystyle p}
- Quando é um anel integral, o primeiro exemplo é um caso especial do segundo. Na verdade, o ideal nulo é primo e seu complemento é . Neste caso, é um campo denominado campo de frações de .NO{\ displaystyle A}NO×{\ displaystyle A ^ {\ times}}(NO×)-1NO{\ displaystyle (A ^ {\ times}) ^ {- 1} A}NO{\ displaystyle A}
- Quando é integridade, é igual à intersecção, em seu corpo de frações, de seus ideais máximos.NO{\ displaystyle A}
- Quando não é um anel integral, o complemento de um ideal primo pode conter divisores de zero. O homomorfismo de localização não é injetivo. Por exemplo, considere o anel produzido quando é um campo. Tem dois ideais máximos e . Os dois locais são então isomórficos e os dois mapas canônicos são de fato as duas projeções. Nesse caso, vemos que a inversão dos elementos não aumenta o número deles, ao contrário, diminui.NO{\ displaystyle A}p{\ displaystyle p}NO→NOp{\ displaystyle A \ a A_ {p}} NO=K2{\ displaystyle A = K ^ {2}}K{\ displaystyle K}M1=K×0{\ displaystyle M_ {1} = K \ vezes 0}M2=0×K{\ displaystyle M_ {2} = 0 \ vezes K}NOMeu{\ displaystyle A_ {M_ {i}}}K{\ displaystyle K}
- Deixe ser um elemento de . O conjunto de união de {1} e potências positivas ( n > 0) é uma parte multiplicativa de . A localização de em relação a esta parte multiplicativa é anotada . Observe que é o anel nulo se, e somente se, for nilpotente. Quando é integral, é o conjunto de frações que pode ser expresso como o quociente de um elemento de por uma potência positiva de .f{\ displaystyle f}NO{\ displaystyle A}S{\ displaystyle S}fnão{\ displaystyle f ^ {n}}NO{\ displaystyle A}NO{\ displaystyle A}NOf{\ displaystyle A_ {f}}NOf{\ displaystyle A_ {f}}f{\ displaystyle f}NO{\ displaystyle A}NOf{\ displaystyle A_ {f}}NO{\ displaystyle A}f{\ displaystyle f}
Explicação do termo localização
Tomemos o anel de polinômios ℂ [X]. Como ℂ é algebricamente fechado , o espectro primo de ℂ [X] se identifica com o próprio ℂ (com um ponto adicional correspondendo ao ideal nulo). O localizado no ideal máximo gerado por X, (X) = Xℂ [X], é chamado de localizado em e é precisamente o anel de polinômios no qual autorizamos todas as divisões exceto aquelas pelos polinômios desaparecidos em 0. Este novo anel é o conjunto de frações racionais sem pólo em 0 (portanto holomórfico em uma vizinhança de 0). Isso nos permite estar interessados nas propriedades dos polinômios na vizinhança de , daí o termo anel localizado .
0{\ displaystyle 0}0{\ displaystyle 0}
Espectro principal de uma localização
Deixe ser uma parte multiplicativa de . Então, o conjunto de ideais primários de pode ser identificado com a parte dos ideais primários de desconexão de . Mais precisamente, deixe o morfismo canônico ser. Para cada ideal principal de , é um ideal principal do qual é separado , e essa correspondência é um a um, a correspondência recíproca associando um ideal principal do ideal de . Além disso, o morfismo canônico entre os anéis integrais induz um isomorfismo entre seus campos de frações.
S{\ displaystyle S}NO{\ displaystyle A}S-1NO{\ displaystyle S ^ {- 1} A}NO{\ displaystyle A}S{\ displaystyle S}euS:NO→S-1NO{\ displaystyle l_ {S}: A \ to S ^ {- 1} A}Q{\ displaystyle Q}S-1NO{\ displaystyle S ^ {- 1} A}euS-1(Q){\ displaystyle l_ {S} ^ {- 1} (Q)}NO{\ displaystyle A}S{\ displaystyle S}P{\ displaystyle P}NO{\ displaystyle A}euS(P)S-1NO{\ displaystyle l_ {S} (P) S ^ {- 1} A}S-1NO{\ displaystyle S ^ {- 1} A}NO/euS-1(Q)→S-1NO/Q{\ displaystyle A / l_ {S} ^ {- 1} (Q) \ a S ^ {- 1} A / Q}
Observe que, em geral, essa correspondência não existe para ideais máximos (considere o exemplo com igual ao anel de inteiros e seu campo de frações).
NO{\ displaystyle A}S-1NO{\ displaystyle S ^ {- 1} A}
Localizando módulos
Deixe e como acima . Deixe ser um -módulo. Em seguida, a localizada é um -module dotado com um -linear morfismo de tal modo que qualquer -linear morfismo num -module está consignado exclusivamente em compostos de com um -linear morfismo . Concretamente, o conjunto de módulos é a relação de equivalência: se e somente se existe em tal . A aplicação canônica consiste no envio da classe de . Seu kernel é o submódulo de cancelado por um elemento de . Esta localização é isomórfica ao produto tensorial de e assim por diante .
NO{\ displaystyle A}S{\ displaystyle S}M{\ displaystyle M}NO{\ displaystyle A}S-1M{\ displaystyle S ^ {- 1} M}S-1NO{\ displaystyle S ^ {- 1} A}NO{\ displaystyle A}f:M→S-1M{\ displaystyle f: M \ a S ^ {- 1} M}NO{\ displaystyle A}M→NÃO{\ displaystyle M \ to N}S-1NO{\ displaystyle S ^ {- 1} A}NÃO{\ displaystyle N}f{\ displaystyle f}S-1NO{\ displaystyle S ^ {- 1} A}S-1M→NÃO{\ displaystyle S ^ {- 1} M \ a N}S-1M{\ displaystyle S ^ {- 1} M}M×S{\ displaystyle M \ times S}(x,s)∼(x′,s′){\ displaystyle (x, s) \ sim (x ', s')}t{\ displaystyle t}S{\ displaystyle S}t(s′x-sx′)=0{\ displaystyle t (s'x-sx ') = 0}M→S-1M{\ displaystyle M \ a S ^ {- 1} M}x{\ displaystyle x}(x,1){\ displaystyle (x, 1)}x{\ displaystyle x}S{\ displaystyle S}S-1M{\ displaystyle S ^ {- 1} M}M{\ displaystyle M}S-1NO{\ displaystyle S ^ {- 1} A}NO{\ displaystyle A}
Na teoria das categorias , a operação denotou que um objeto da classe -Mod (categoria -módulos ) associa a categoria do sujeito -Mod, é um functor exato .
S-1{\ displaystyle S ^ {- 1}}M{\ displaystyle M}NO{\ displaystyle A}NO{\ displaystyle A}S-1M{\ displaystyle S ^ {- 1} M}S-1NO{\ displaystyle S ^ {- 1} A}
Notas e referências
-
N. Bourbaki , Elementos de matemática , álgebra comutativa , capítulo II.
-
N. Bourbaki, Algebra , capítulo I, p. 107
-
N. Bourbaki, Álgebra , capítulo I, p. 108
-
M.-P. Malliavin , Commutative Algebra, Applications in Geometry and Number Theory , p. 27-28.
-
N. Bourbaki, Elementos de matemática , AC II.3.3.
-
(em) Balwant Singh Basic Commutative Algebra , p. 32, visualização no Google Livros .
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