Lei beta

Lei beta
Densidade de probabilidade
Função de distribuição
Definições	α>0{\ displaystyle \ alpha> 0} forma ( real ) forma (real) β>0{\ displaystyle \ beta> 0}
Apoiar	x∈[0;1]{\ displaystyle x \ in [0; 1] \!}
Densidade de probabilidade	xα-1(1-x)β-1B(α,β){\ displaystyle {\ frac {x ^ {\ alpha -1} (1-x) ^ {\ beta -1}} {\ mathrm {B} (\ alpha, \ beta)}} \!}
Função de distribuição	eux(α,β){\ displaystyle I_ {x} (\ alpha, \ beta) \!}
Ter esperança	αα+β{\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ alpha + \ beta}} \!}
Moda	α-1α+β-2{\ displaystyle {\ frac {\ alpha -1} {\ alpha + \ beta -2}} \!} para α>1,β>1{\ displaystyle \ alpha> 1, \ beta> 1}
Variância	αβ(α+β)2(α+β+1){\ displaystyle {\ frac {\ alpha \ beta} {(\ alpha + \ beta) ^ {2} (\ alpha + \ beta +1)}} \!}
Assimetria	2(β-α)α+β+1(α+β+2)αβ{\ displaystyle 2 \, {\ frac {(\ beta - \ alpha) {\ sqrt {\ alpha + \ beta +1}}} {(\ alpha + \ beta +2) {\ sqrt {\ alpha \ beta} }}}}
Curtose normalizada	6(β-α)2(α+β+1)-αβ(α+β+2)αβ(α+β+2)(α+β+3){\ displaystyle 6 \, {\ tfrac {(\ beta - \ alpha) ^ {2} (\ alpha + \ beta +1) - \ alpha \ beta (\ alpha + \ beta +2)} {\ alpha \ beta (\ alpha + \ beta +2) (\ alpha + \ beta +3)}} \!}
Função geradora de momento	1+∑k=1∞(∏r=0k-1α+rα+β+r)tkk!{\ displaystyle 1+ \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left (\ prod _ {r = 0} ^ {k-1} {\ frac {\ alpha + r} {\ alpha + \ beta + r}} \ right) {\ frac {t ^ {k}} {k!}}}
Função característica	1F1(α;α+β;eut){\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (\ alpha; \ alpha + \ beta; i \, t) \!}

Na teoria da probabilidade e na estatística , a lei beta é uma família de leis de probabilidade contínuas, definidas em [0,1] , parametrizadas por dois parâmetros de forma, tipicamente notados α e β . Este é um caso especial da lei de Dirichlet , com apenas dois parâmetros.

Admitindo uma grande variedade de formas, permite modelar muitas distribuições com suporte finito. É, por exemplo, usado no método PERT .

Caracterização

Função de densidade

A densidade de probabilidade da distribuição beta é:

f(x;α,β)={xα-1(1-x)β-1∫01vocêα-1(1-você)β-1dvocê para x∈[0,1]0 se não {\ displaystyle f (x; \ alpha, \ beta) = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {x ^ {\ alpha -1} (1-x) ^ {\ beta -1}} {\ int _ {0} ^ {1} u ^ {\ alpha -1} (1-u) ^ {\ beta -1} \, du}} & {\ hbox {for}} x \ in [0,1] \ \ 0 & {\ hbox {caso contrário}} \ end {casos}}}=Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)xα-1(1-x)β-111[0,1](x){\ displaystyle = {\ frac {\ Gamma (\ alpha + \ beta)} {\ Gamma (\ alpha) \ Gamma (\ beta)}} \, x ^ {\ alpha -1} (1-x) ^ { \ beta -1} \; 1 \! \! 1 _ {[0,1]} (x)}=1B(α,β)xα-1(1-x)β-111[0,1](x){\ displaystyle = {\ frac {1} {\ mathrm {B} (\ alpha, \ beta)}} \, x ^ {\ alpha -1} (1-x) ^ {\ beta -1} \; 1 \! \! 1 _ {[0,1]} (x)}

onde Γ é a função gama e é a função característica de [0; 1] . A função beta Β aparece como uma constante de normalização, permitindo que a densidade se integre na unidade. 11[0,1]{\ displaystyle 1 \! \! 1 _ {[0,1]}}

Função de distribuição

A função de distribuição é

F(x;α,β)=Bx(α,β)B(α,β)=eux(α,β){\ displaystyle F (x; \ alpha, \ beta) = {\ frac {\ mathrm {B} _ {x} (\ alpha, \ beta)} {\ mathrm {B} (\ alpha, \ beta)}} = I_ {x} (\ alpha, \ beta) \!}

onde está a função beta incompleta e é a função beta incompleta regularizada. Bx(α,β){\ displaystyle \ mathrm {B} _ {x} (\ alpha, \ beta)}eux(α,β){\ displaystyle I_ {x} (\ alpha, \ beta)}

Propriedades

Momentos

Veja infobox e função hipergeométrica de confluência para a definição de . 1F1(α;α+β;eut){\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (\ alpha; \ alpha + \ beta; it)}

Formas

A densidade da lei beta pode assumir diferentes formas, dependendo dos valores dos dois parâmetros:

• α<1, β<1{\ displaystyle \ alpha <1, \ \ beta <1} é em forma de U (gráfico vermelho);
• α<1, β≥1{\ displaystyle \ alpha <1, \ \ beta \ geq 1}ou está estritamente decrescente (gráfico azul); α=1, β>1{\ displaystyle \ alpha = 1, \ \ beta> 1}
  • α=1, β>2{\ displaystyle \ alpha = 1, \ \ beta> 2}é estritamente convexo ;
  • α=1, β=2{\ displaystyle \ alpha = 1, \ \ beta = 2} é uma linha reta;
  • α=1, 1<β<2{\ displaystyle \ alpha = 1, \ 1 <\ beta <2}é estritamente côncavo ;
• α=1, β=1{\ displaystyle \ alpha = 1, \ \ beta = 1}é a lei uniforme contínua ;
• α=1, β<1{\ displaystyle \ alpha = 1, \ \ beta <1}ou está estritamente crescente (gráfico verde); α>1, β≤1{\ displaystyle \ alpha> 1, \ \ beta \ leq 1}
  • α>2, β=1{\ displaystyle \ alpha> 2, \ \ beta = 1} é estritamente convexo;
  • α=2, β=1{\ displaystyle \ alpha = 2, \ \ beta = 1} é uma linha reta;
  • 1<α<2, β=1{\ displaystyle 1 <\ alpha <2, \ \ beta = 1} é estritamente côncavo;
• α>1, β>1{\ displaystyle \ alpha> 1, \ \ beta> 1} é unimodal (gráficos em preto e roxo).

Além disso, se a densidade for simétrica em torno de 1/2 (gráficos em vermelho e roxo). α=β{\ displaystyle \ alpha = \ beta}

Generalizações

A lei beta pode ser generalizada por:

• a lei beta descentrada, introduzindo um parâmetro λ que muda a média,
• a lei beta retangular ao "misturar" uma lei beta e uma lei uniforme contínua ,
• a distribuição beta prevalece estendendo seu suporte a] 0, ∞ [.
• o Dirichlet generaliza a distribuição beta em dimensões superiores.

Estimativa de parâmetro

Deixe o empírico significar

x¯=1NÃO∑eu=1NÃOxeu{\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i}}

e

v=1NÃO∑eu=1NÃO(xeu-x¯)2{\ displaystyle v = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} (x_ {i} - {\ bar {x}}) ^ {2}}

a variação . O método dos momentos fornece as seguintes estimativas:

α=x¯(x¯(1-x¯)v-1),{\ displaystyle \ alpha = {\ bar {x}} \ left ({\ frac {{\ bar {x}} (1 - {\ bar {x}})} {v}} - 1 \ right),}β=(1-x¯)(x¯(1-x¯)v-1).{\ displaystyle \ beta = (1 - {\ bar {x}}) \ left ({\ frac {{\ bar {x}} (1 - {\ bar {x}})} {v}} - 1 \ direito).}

Distribuições associadas

• Se tiver uma distribuição beta, a variável aleatória será distribuída de acordo com a lei do beta .X{\ displaystyle X}T=X1-X{\ displaystyle T = {\ frac {X} {1-X}}}
• A lei beta-binomial é a lei conjugada da lei beta.
• Se onde está a lei uniforme contínua , então (para todos ).X∼você⁡(0,1){\ displaystyle X \ sim \ operatorname {U} (0,1)}você{\ displaystyle U}Xr∼Beta⁡(1/r,1) {\ displaystyle X ^ {r} \ sim \ operatorname {Beta} (1 / r, 1) \}r>0{\ displaystyle r> 0}
• Se , então onde está a lei exponencial .X∼Beta⁡(α,1){\ displaystyle X \ sim \ operatorname {Beta} (\ alpha, 1)}-em⁡(X)∼Exp⁡(1/α){\ displaystyle - \ ln (X) \ sim \ operatorname {Exp} (1 / \ alpha)}Exp{\ displaystyle \ operatorname {Exp}}
• Se e forem distribuídos independentemente de acordo com uma lei Gama , de parâmetros e respectivamente, a variável aleatória é distribuída de acordo com uma lei .X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}(α,θ){\ displaystyle (\ alpha, \ theta)}(β,θ){\ displaystyle (\ beta, \ theta)}XX+Y{\ displaystyle {\ frac {X} {X + Y}}}Betno(α,β){\ displaystyle \ mathrm {Beta} (\ alpha, \ beta)}
• O k- th ordem estatística de um n- amostra de distribuições uniformes segue a lei .você⁡(0,1){\ displaystyle \ operatorname {U} (0,1) \,}Beta⁡(k,não-k+1) {\ displaystyle \ operatorname {Beta} (k, n-k + 1) \}
• A lei é chamada de lei do arco seno .Beta⁡(1/2,1/2){\ displaystyle \ operatorname {Beta} (1 / 2,1 / 2)}
• A lei beta pode ser interpretada como marginal à lei de Dirichlet . Na verdade, se então(X1,...,Xnão)∼Dirichlet⁡(α1,...,αnão){\ displaystyle (X_ {1}, \ dots, X_ {n}) \ sim \ operatorname {Dirichlet} (\ alpha _ {1}, \ dots, \ alpha _ {n})}Xeu∼Beta⁡(αeu,∑k=1nãoαk-αeu).{\ displaystyle X_ {i} \ sim \ operatorname {Beta} \ left (\ alpha _ {i}, \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ alpha _ {k} - \ alpha _ {i} \ direito).}

Exemplo de ocorrência da lei beta

A lei beta aparece naturalmente em um experimento de urnas, dado por George Pólya em um artigo de 1930, Sobre alguns pontos da teoria das probabilidades . Ele descreve o seguinte experimento: damos a nós mesmos uma urna contendo inicialmente r bolas vermelhas eb bolas azuis, desenhamos uma bola na urna, depois a colocamos de volta na urna com uma segunda bola da mesma cor. Então, a proporção de bolas vermelhas tende para uma variável aleatória da lei Βeta ( r, b ) e, inversamente, a proporção de bolas azuis tende para uma variável aleatória da lei Βeta ( b, r ) .

Esse processo estudado por Pólya é o que hoje se chama de processo aprimorado .

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado "  Distribuição beta  " ( ver a lista de autores ) .

1. George Pólya, "  Em alguns pontos da teoria da probabilidade  ", Annales de Institut Henri Poincaré ,1930, p.  150 ( ler online , consultado em 5 de dezembro de 2018 )

links externos

• (pt) Distribuição Beta por Fiona Maclachlan, Wolfram Demonstrations Project , 2007
• (en) Distribuição Beta - Visão geral e exemplo , xycoon.com
• (fr) Artigo de Gearge Polya, "Sobre alguns pontos da teoria da probabilidade, arquivo do instituto Henri Poincaré , numdam.org
• (pt) Distribuição Beta , brighton-webs.co.uk

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