Lei de Gumbel

Gumbel
Densidade de probabilidade
Função de distribuição
Definições	µ{\ displaystyle \ mu \!} posição ( real ) escala (real) β>0{\ displaystyle \ beta> 0 \!}
Apoiar	x∈(-∞;+∞){\ displaystyle x \ in (- \ infty; + \ infty) \!}
Densidade de probabilidade	exp⁡(-z)zβ{\ displaystyle {\ frac {\ exp (-z) \, z} {\ beta}} \!} com z=exp⁡[-x-µβ]{\ displaystyle z = \ exp \ left [- {\ frac {x- \ mu} {\ beta}} \ right] \!}
Função de distribuição	exp⁡(-exp⁡[-(x-µ)/β]){\ displaystyle \ exp (- \ exp [- (x- \ mu) / \ beta]) \!}
Ter esperança	µ+βγ{\ displaystyle \ mu + \ beta \, \ gamma \!} onde está a constante de Euler-Mascheroni . γ{\ displaystyle \ gamma}
Mediana	µ-βem⁡(em⁡(2)){\ displaystyle \ mu - \ beta \, \ ln (\ ln (2)) \!}
Moda	µ{\ displaystyle \ mu \!}
Variância	π26β2{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} \, \ beta ^ {2} \!}
Assimetria	126ζ(3)π3≈1,14{\ displaystyle {\ frac {12 {\ sqrt {6}} \, \ zeta (3)} {\ pi ^ {3}}} \ approx 1,14 \!}
Curtose normalizada	125{\ displaystyle {\ frac {12} {5}}}
Entropia	em⁡(β)+γ+1{\ displaystyle \ ln (\ beta) + \ gamma +1 \!} para β>exp⁡(-(γ+1)){\ displaystyle \ beta> \ exp (- (\ gamma +1)) \!}
Função geradora de momento	Γ(1-βt)exp⁡(µt){\ displaystyle \ Gamma (1- \ beta \, t) \, \ exp (\ mu \, t) \!}
Função característica	Γ(1-euβt)exp⁡(euµt){\ displaystyle \ Gamma (1-i \, \ beta \, t) \, \ exp (i \, \ mu \, t) \!}

Na teoria da probabilidade , a lei de Gumbel (ou distribuição de Gumbel ), em homenagem a Emil Julius Gumbel , é uma lei de probabilidade contínua. A lei de Gumbel é um caso especial da lei extrema generalizada, da mesma forma que a lei de Weibull ou a lei de Fréchet . A lei de Gumbel é uma aproximação satisfatória da lei máxima de uma amostra de variáveis ​​aleatórias independentes todas de uma mesma lei, desde que essa lei pertença, justamente, ao domínio de atração da lei de Gumbel. Dentre as leis pertencentes ao domínio da atração da lei de Gumbel, está a lei exponencial .

A lei de Gumbel pode, por exemplo, ser usada para prever o nível de inundação de um rio, se tivermos um registro das vazões ao longo de dez anos. Também pode ser usado para prever a probabilidade de um evento crítico, como um terremoto .

Funções características

A função de distribuição da lei de Gumbel é:

F(x;µ,β)=exp⁡(-eµ-xβ).{\ displaystyle F (x; \ mu, \ beta) = \ exp \ left (-e ^ {\ frac {\ mu -x} {\ beta}} \ right).}

Para μ = 0 e β = 1 , obtemos a lei padrão de Gumbel.

Distribuições associadas

• Se X segue uma lei de Gumbel, então a distribuição condicional de Y = - X no caso em que Y é estritamente positivo, ou equivalentemente, no caso em que X é estritamente negativo, segue uma lei de Gompertz . A função de distribuição G de Y está relacionada a F, a função de distribuição de X , pela seguinte fórmula: para y > 0 . As densidades são, portanto, relacionadas por  : a densidade de Gompertz (in) é proporcional à densidade de Gumbel refletida e restrita a valores estritamente positivos.G(y)=P(Y≤y)=P(X≥-y|X≤0)=(F(0)-F(-y))/F(0){\ displaystyle G (y) = \ mathbb {P} (Y \ leq y) = \ mathbb {P} (X \ geq -y | X \ leq 0) = (F (0) -F (-y)) / F (0)}g(y)=f(-y)/F(0){\ displaystyle g (y) = f (-y) / F (0)} 
• Se X segue um exponencial com média igual a 1, então –log ( X ) segue uma distribuição Gumbel padrão.
• Se sim .X,Y∼Gvocêmbeeu(α,β){\ displaystyle X, Y \ sim \ mathrm {Gumbel} (\ alpha, \ beta)}X-Y∼euogeusteuvs(0,β){\ displaystyle XY \ sim \ mathrm {Logística} (0, \ beta) \,}

A teoria associada às leis generalizadas multivariadas log-gama  (in) fornece uma versão multivariada da distribuição de Gumbel.

Veja também

• Lei extrema generalizada
• Gráfico aleatório
• Problema de colecionador de adesivos

Notas

• (fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado "  Distribuição Gumbel  " ( ver a lista de autores ) .

1. Variação regular , Bingham, Goldie e Teugels.
2. WJ Willemse e R. Kaas , “  A reconstrução racional dos modelos de mortalidade baseados na fragilidade por uma generalização da lei da mortalidade de Gompertz  ”, Insurance: Mathematics and Economics , vol.  40, n o  3,2007, p.  468 ( DOI  10.1016 / j.insmatheco.2006.07.003 )

Bibliografia

• (pt) NH Bingham , CM Goldie e JL Teugels , Regular Variation , Cambridge, Cambridge University Press , col.  "Enciclopédia de Matemática e suas Aplicações" ( n o  27)Junho de 1989, 1 r  ed. , 516  p. ( ISBN  978-0-521-37943-4 , DOI  10.2277 / 0521379431 , leia online )

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