Lei de Sutherland
A lei de Sutherland expressa a viscosidade de um gás em função da temperatura usando um potencial interatômico particular introduzido por William Sutherland que desejava uma expressão mais realista do que a obtida a partir do potencial de esferas elásticas infinitamente duras .
Potencial Sutherland
O potencial usado, conhecido como potencial de Sutherland , estende o das esferas duras por um termo além do raio de não penetração :
r-γ{\ displaystyle r ^ {- \ gamma}}
r{\ displaystyle r}
σ{\ displaystyle \ sigma}![\ sigma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36)
Ep={∞seur≤σ-ε(σr)γseur>σ{\ displaystyle E _ {\ mathrm {p}} = \ left \ {{\ begin {array} {cl} \ infty & \ mathrm {si} \ quad r \ leq \ sigma \\ - \ varejpsilon \, \ left ({\ dfrac {\ sigma} {r}} \ right) ^ {\ gamma} & \ mathrm {si} \ quad r> \ sigma \ end {array}} \ right.}![{\ displaystyle E _ {\ mathrm {p}} = \ left \ {{\ begin {array} {cl} \ infty & \ mathrm {si} \ quad r \ leq \ sigma \\ - \ varejpsilon \, \ left ({\ dfrac {\ sigma} {r}} \ right) ^ {\ gamma} & \ mathrm {si} \ quad r> \ sigma \ end {array}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/330086a1ff202884fb47cdddd0f9c99ec8d5e36a)
onde está o valor atrativo máximo do potencial.
ε{\ displaystyle \ varepsilon}![\ varejpsilon](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173)
A viscosidade dinâmica obtida é escrita:
η=η01+ST,η0=516(kBπNÃONO)12(MT)12σ2,S=f(γ)εkB{\ displaystyle \ eta = {\ frac {\ eta _ {0}} {1 + {\ frac {S} {T}}}} \ ,, \ quad \ eta _ {0} = {\ frac {5} {16}} \ left ({\ frac {k _ {\ mathrm {B}}} {\ pi N _ {\ mathrm {A}}}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} { \ frac {(MT) ^ {\ frac {1} {2}}} {\ sigma ^ {2}}} \ ,, \ quad S = f (\ gamma) {\ frac {\ varepsilon} {k _ { \ mathrm {B}}}}}![{\ displaystyle \ eta = {\ frac {\ eta _ {0}} {1 + {\ frac {S} {T}}}} \ ,, \ quad \ eta _ {0} = {\ frac {5} {16}} \ left ({\ frac {k _ {\ mathrm {B}}} {\ pi N _ {\ mathrm {A}}}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} { \ frac {(MT) ^ {\ frac {1} {2}}} {\ sigma ^ {2}}} \ ,, \ quad S = f (\ gamma) {\ frac {\ varepsilon} {k _ { \ mathrm {B}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7b895098d090fac1896e2a817e735e79fc6f24c)
onde é a viscosidade obtida com um modelo de esferas duras ( é a massa molar ) e um coeficiente numericamente calculável. Para (valor típico para um potencial fisicamente realista), 0,1667.
η0{\ displaystyle \ eta _ {0}}
M{\ displaystyle M}
f(γ){\ displaystyle f (\ gamma)}
γ=6{\ displaystyle \ gamma = 6}
f(γ)={\ displaystyle f (\ gamma) =}![{\ displaystyle f (\ gamma) =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/327df6b7abada81b087f3281bdb1083f1e5d2cbd)
Lei de Sutherland
A expressão anterior é a origem da lei de Sutherland, uma fórmula semi-empírica para expressar a viscosidade dinâmica de um fluido:
η(T)≈η(Tref)(TTref)3/2Tref+ST+S{\ displaystyle \ eta (T) \ approx \ eta (T _ {\ mathrm {ref}}) \, \ left ({\ frac {T} {T _ {\ mathrm {ref}}}} \ right) ^ {\! 3/2} \, {\ frac {T _ {\ mathrm {ref}} + S} {T + S}}}![{\ displaystyle \ eta (T) \ approx \ eta (T _ {\ mathrm {ref}}) \, \ left ({\ frac {T} {T _ {\ mathrm {ref}}}} \ right) ^ {\! 3/2} \, {\ frac {T _ {\ mathrm {ref}} + S} {T + S}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b05691f5f1597afa4715af635b1251a7cb54a561)
Tref{\ displaystyle T _ {\ mathrm {ref}}}
é uma temperatura de referência, geralmente 273,15 K , e uma constante numérica que depende do gás considerado. Esta expressão é deduzida da anterior substituindo por .
S{\ displaystyle S}
T12{\ displaystyle T ^ {\ frac {1} {2}}}
T32{\ displaystyle T ^ {\ frac {3} {2}}}![{\ displaystyle T ^ {\ frac {3} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0672569c39574eb3d3a0946d74d9f465299bce77)
Por exemplo, o ar é tomado = 110,4 K e = 1,715 × 10 -5 Pa s , o que dá uma boa aproximação em uma faixa de temperatura da ordem de 170 a 1500 K aproximadamente.
S{\ displaystyle S}
η(Tref){\ displaystyle \ eta (T _ {\ mathrm {ref}})}
Referências
-
(em) William Sutherland, " The viscosity of gases and molecular forces " , The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science , 5 th series, vol. 36,1893, p. 507-531 ( DOI 10.1080 / 14786449308620508 , leia online [PDF] )
-
(en) Joseph Oakland Hirschfelder , Charles Francis Curtiss e Robert Byron Bird , Teoria Molecular de Gases e Líquidos , John Wiley and Sons ,1966( ISBN 978-0-471-40065-3 ).
Veja também
Artigos relacionados
links externos
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