Equação

Em matemática , e mais particularmente em álgebra , equação designa a transformação de um problema, expresso em linguagem comum, ou proveniente de outro ramo da ciência ou tecnologia, em uma equação (ou várias equações dependendo da complexidade do problema inicial). Essa transformação finalmente torna possível usar os métodos da teoria das equações para resolver o problema inicial.

Por extensão, "igualar" pode denotar qualquer matematização de um fenômeno levando a vários tipos de fórmulas matemáticas, por exemplo, equações diferenciais ou derivadas parciais . A equação de um fenômeno ocorre comumente em todas as ciências e técnicas e está ligada à modelagem .

Na França, a iniciação à equação ordinária é abordada desde o nível universitário e desempenha um papel importante no programa de matemática do ensino médio.

Os quatro estágios da equação

Os manuais distinguem quatro estágios na equação de um problema:

Escolha do desconhecido (ou incógnitas) : É uma questão de decidir qual quantidade no enunciado do problema será representada por um símbolo algébrico e usada como desconhecida. Em problemas simples, escolhemos diretamente a quantidade (ou quantidades) cujo problema pede o valor. Em problemas mais complexos, pode ser apropriado escolher as incógnitas de forma diferente, de modo a simplificar as equações a serem resolvidas.
Equação propriamente dita : consiste em expressar todos os dados relevantes do problema em função da incógnita (ou incógnitas), de forma a obter uma ou mais equações.
Resolução de equações : É puramente matemático, no sentido em que se aplicam ao caso estudado as regras do cálculo algébrico e os procedimentos de resolução geralmente estabelecidos.
Verificação : os valores (ou a (s) equação (ões) resultante (s), dependendo do tipo de problema) encontrados na terceira etapa, retranscritos se necessário na linguagem do problema, devem ser soluções do problema inicial.

Vantagens do processo

A principal vantagem da abordagem é ter uma ferramenta poderosa, no caso o cálculo algébrico, que permite organizar a busca de soluções de forma sistemática. Não é mais necessário reproduzir para cada caso particular a progressão dos cálculos numéricos que vão desde os dados do problema até sua solução. As duas primeiras etapas, a equação, permitem reduzir o problema particular a um quadro geral de resolução. A técnica de equações traz “uma forma de estruturar os dados do enunciado” e pode ser descrita como uma técnica que “pensa por nós”.

Outra vantagem potencial consiste no fato de que vários problemas de aparência muito variada podem ser reduzidos por equação à mesma equação. Isso torna possível destacar certas analogias como todas as encontradas entre a mecânica e a eletricidade.

Exemplos

Exemplo 1: Equação de um problema aritmético

Problema: um pai tem três vezes a idade da filha. Em 10 anos ele terá o dobro. Quantos anos têm os dois?
Primeiro passo: podemos escolher, por exemplo, como desconhecida x a idade da menina.
Segunda etapa (equação): todos os dados do problema são expressos em função de x . A idade atual do pai é 3x , a idade dela em 10 anos é 3x + 10 , a idade da filha em 10 anos é x + 10 . Portanto, temos a equação 3x + 10 = 2 (x + 10) .
Terceiro passo: resolvemos esta equação usando cálculo algébrico. Temos 3x-2x = 20-10 ou x = 10 .
Quarta etapa: verificamos se o valor encontrado dá solução para o problema, a filha tem 10 anos e o pai 30.

Nota: poderíamos ter escolhido como desconhecida na primeira fase a idade do pai, ou escolher duas desconhecidas (idade do pai e idade da filha). As equações intermediárias podem ser diferentes, mas o resultado final permanece inalterado.

Exemplo 2: Equação de um problema geométrico

Problema: Damos pontos distintos A, B, C, D, E, de modo que ABCD é um quadrado , ABE é um triângulo retângulo em A e o comprimento AE é de 3 cm. Qual deve ser o comprimento do lado do quadrado ABCD para que a área do quadrado e a área do triângulo sejam iguais?

Primeiro passo: podemos escolher por exemplo como desconhecido x a medida em cm do lado do quadrado.

Segunda etapa: colocamos em uma equação expressando os dados do problema como uma função de x . A área do quadrado ABCD é x 2 e a área do triângulo ABE é (x.3) / 2. O problema então passa a ser encontrar x de forma que essas duas áreas sejam iguais, ou então que x satisfaça a equação x 2 -1,5 x = 0 .

Terceiro passo: resolvemos a equação usando o cálculo algébrico padrão, encontramos dois valores possíveis x = 0 ou x = 1,5 .

Quarta etapa: retorna-se à formulação inicial para verificar se os valores encontrados são soluções do problema inicial. A solução x = 0 não é adequada, pois então o quadrado ABCD se reduziria a um único ponto, a solução do problema é o valor 1,5.

Exemplo 3: Equação de um problema com parâmetros

Problema: Uma mistura, da qual conhecemos a massa m , é composta de dois constituintes. Conhecendo o preço P da mistura total, bem como o preço por unidade de massa de cada um dos constituintes, podemos determinar as quantidades de cada um dos constituintes que entram na composição da mistura?
Primeiro passo: se escolhe como incógnitas x e y , as quantidades desejadas de cada constituinte, expressos em unidades de massa.
Segunda etapa: chamando e os preços unitários constantes de cada componente, colocamos o problema em uma equação: $P_ {1}$ $P_ {2}$

- a soma x + y expressa a massa m da mistura.

- a soma dos produtos expressa o preço P da mistura geral. $xP_ {1} + yP_ {2}$

O resultado é um sistema de duas equações de 1 r grau com duas incógnitas, com parâmetros.

\ left \ {{\ begin {matrix} x + y = m \\ xP_ {1} + yP_ {2} = P \ end {matrix}} \ right.

Terceira e quarta etapas: este sistema de duas equações com duas incógnitas pode então ser tratado como um problema de álgebra elementar, e os valores encontrados (de acordo com os parâmetros e ) verificados. $P_ {1}$ $P_ {2}$

Exemplo 4: Otimização do volume de um tanque paralelepípedo

Problema: Otimizando as dimensões de um recipiente paralelepipédico feito de uma peça retangular cujo comprimento e largura são conhecidos. Para fazer essa bandeja, será necessário, portanto, cortar um quadrado de cada canto do molde, cujo comprimento da lateral corresponderá à altura da bandeja.

Primeiro passo: escolhemos o x desconhecido para representar a altura do tanque.

Segunda etapa (equação): com a = o comprimento do espaço em branco eb = a largura do espaço em branco, a equação para o volume do tanque, em função de x, é dada pela fórmula

V (x) = (a-2x) (b-2x) x

V (x) = 4x ^ {3} -2 (a + b) x ^ {2} + abx

Terceiro passo: o problema é tratado usando as ferramentas matemáticas apropriadas.

O volume atinge um ótimo local quando a derivada desaparece e muda de sinal: $V '(x)$

V '(x) = 3x ^ {2} - (a + b) x + {\ frac {1} {4}} ab = 0

Esta derivada é uma equação quadrática. Suas raízes são:

x_ {1} = {\ frac {a + b + {\ sqrt {a ^ {2} -ab + b ^ {2}}}} {6}} \ quad {\ text {and}} \ quad x_ { 2} = {\ frac {a + b - {\ sqrt {a ^ {2} -ab + b ^ {2}}}} {6}}

A altura ideal do compartimento é um de dois valores

x_ {1} \ quad {\ text {ou}} \ quad x_ {2}.

Quarta etapa: podemos então verificar se esses valores são adequados.

Exemplo 5: a curva do cachorro

Essa curva, também chamada de curva de perseguição, é aquela descrita por um cão que tenta alcançar seu dono, direcionando sua trajetória em direção a ele o tempo todo. A equação deste problema resulta em uma equação diferencial de segunda ordem. Ao contrário dos exemplos 1 a 4, o resultado não é expresso na forma de números, mas de uma equação de caminho.

Equação na educação

Na França, o programa atual da faculdade (2014) inclui:

para a classe 4 th , "o uso da equação de cálculo literal para definir e resolver vários problemas" e a capacidade de "equate e resolver um problema que conduz a um primeiro grau equação com uma incógnita".
para a 3 ª classe , na seção sobre equações e sistemas de equações do primeiro grau, aprendendo a "equacionar um problema".

No entanto, álgebra e equação não fazem parte da base comum.

A equação está, portanto, ligada à resolução de problemas. Depois de ter aparecido regularmente nos livros didáticos, esse procedimento desapareceu quase completamente durante a chamada reforma matemática moderna. Abordagens didáticas recentes, que encorajam a aprendizagem baseada em problemas, trouxeram-no de volta aos holofotes.

Ao mesmo tempo, trabalhos e grupos de trabalho foram dedicados às múltiplas dificuldades encontradas pelos alunos em assimilar esta abordagem. Vários fatores foram assim identificados: a relutância dos alunos em desviarem-se das equações para resolver um problema, a ruptura que essa abordagem representa com as abordagens mais diretamente aritméticas, a dúvida sobre a escolha das incógnitas e sua interpretação, a implementação do simbólico a linguagem, o estatuto de igualdade, a complexidade de voltar ao problema inicial e a representação da situação correspondente aos valores encontrados, etc.

Um estudo realizado na Tunísia também destacou a interferência nas diferentes línguas utilizadas (no caso, árabe, francês e simbolismo algébrico).

Notas e referências

Philippe Lombard , " Palimpseste ", Bulletin de l'APMEP , vol. 466,2006( leia online ).
Manuel Sésamath, 3ª classe, novo programa , Geração 5, 2012, 276 p. , p. 40.
Boletim oficial especial n ° 6 de 28 de agosto de 2008, ver online http://cache.media.education.gouv.fr/file/special_6/52/5/Programme_math_33525.pdf .
Relatório final do grupo de pesquisa, “ajudar os alunos em dificuldade de colocar em equação”, GIR 79 da IREM de Rennes de 2007 .
Relatório final do grupo de pesquisa, “ajudar os alunos em dificuldade de colocar em equação”, GIR 79 da IREM de Rennes de 2005 .
R. Sutherland (ed.) , Abordagens para álgebra, perspectivas para pesquisa e ensino , Dordrecht, Kluwer,1996e J. Gascon , “ Um novo modelo de álgebra elementar como alternativa à aritmética generalizada ”, Petit x , vol. 37,1995, p. 43-63.
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Sonia Ben Nejma A equação definição 1 st ano do tunisiano secundário faculdade de transição de educação / ensino médio, tese de mestrado em matemática, Universidade de Tunis 2004, Sonia Ben Nejma , " As dificuldades encontradas na resolução algébrica de problemas de primeiro grau ”, RADISMA , vol. 5,2010( leia online )