Modelagem de turbulência
A modelagem de turbulência é um ramo da mecânica dos fluidos usada para prever o comportamento de um fluxo no qual todo ou parte do fluido é turbulento .
Introdução
A presença de uma vorticidade em um fluxo não o torna necessariamente um fluxo turbulento. O termo é reservado para situações em que muitas escalas de vórtice estão presentes e interagem na cachoeira turbulenta . Isso é limitado a pequenas escalas pela dimensão de Kolmogorov , abaixo da qual os vórtices são dissipados pela viscosidade.
Tal fluxo é descrito pelas equações de Navier-Stokes, mas o pequeno tamanho da dimensão de Kolmogorov proíbe na prática uma simulação numérica direta (em inglês DNS para Direct Numerical Simulation ), exceto para experimentos numéricos destinados a entender os mecanismos envolvidos.
Além da simulação direta, os métodos implementados para resolver este problema baseiam-se na física estatística : a turbulência é considerada um processo estatístico que se assume que pode ser descrito apenas pela distribuição do tempo em cada ponto. A abordagem é baseada em uma série de etapas:
- escrever equações que descrevem valores médios e flutuações,
- modelagem de termos relacionados a flutuações,
- se necessário, conecte esses termos às descrições padrão das leis que descrevem o fluxo nas proximidades da parede.
Também é possível usar métodos híbridos conhecidos como simulação em grande escala ( LES para Large Eddy Simulation ) em que o espectro de turbulência é filtrado: as escalas grandes são capturadas pelo cálculo, as pequenas modeladas como acima.
Equações médias de Navier-Stokes
Estamos interessados em um fluido incompressível descrito pelas equações de Navier-Stokes correspondentes
∂vocêeu∂xeu=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial x_ {i}}} = 0}ρ(∂vocêeu∂t+vocêj∂vocêeu∂xj)+∂p∂xeu-∂σeuj∂xj=0{\ displaystyle \ rho \ left ({\ frac {\ parcial u_ {i}} {\ parcial t}} + u_ {j} {\ frac {\ parcial u_ {i}} {\ parcial x_ {j}}} \ right) + {\ frac {\ partial p} {\ partial x_ {i}}} - {\ frac {\ partial \ sigma _ {ij}} {\ partial x_ {j}}} = 0}Denotamos por p a pressão, ρ a densidade, μ a viscosidade dinâmica e
Seuj=12(∂vocêeu∂xj+∂vocêj∂xeu){\ displaystyle S_ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial x_ {j}}} + {\ frac {\ partial u_ { j}} {\ parcial x_ {i}}} \ direita)} |
o tensor de deformação
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σeuj=2µSeuj{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = 2 \ mu S_ {ij}} |
o tensor das tensões viscosas
|
Ao levar em consideração a equação de incompressibilidade, nota-se que
∂σeuj∂xj=µ∂2vocêeu∂xk∂xk{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ sigma _ {ij}} {\ partial x_ {j}}} = \ mu {\ frac {\ partial ^ {2} u_ {i}} {\ partial x_ {k} \ parcial x_ {k}}}}Definimos o operador Υ (u i ) para a equação de conservação do momento (a mudança de índice será usada mais tarde)
Y(vocêeu)=ρ(∂vocêeu∂t+vocêk∂vocêj∂xk)+∂p∂xeu-µ∂2vocêeu∂xk∂xk=0{\ displaystyle Y (u_ {i}) = \ rho \ left ({\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial t}} + u_ {k} {\ frac {\ partial u_ {j}} { \ parcial x_ {k}}} \ direita) + {\ frac {\ parcial p} {\ parcial x_ {i}}} - \ mu {\ frac {\ parcial ^ {2} u_ {i}} {\ parcial x_ {k} \ parcial x_ {k}}} = 0}O meio é descrito por uma distribuição estatística das velocidades e assume-se que este meio pode ser caracterizado pela média de tempo e a flutuação da velocidade em um ponto r
vocêeu(t,reu)=você¯eu(t,reu)+vocêeu′(t,reu){\ displaystyle u_ {i} (t, r_ {i}) = {\ overline {u}} _ {i} (t, r_ {i}) + u '_ {i} (t, r_ {i}) }A energia cinética da turbulência é
k=12vocêeu′vocêeu′¯{\ displaystyle k = {\ frac {1} {2}} \, {\ overline {u '_ {i} u' _ {i}}}}Ao introduzir esta expressão da velocidade nas equações de Navier-Stokes, obtemos as equações médias introduzidas por Osborne Reynolds em 1895:
∂vocêeu¯∂xeu=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ bar {u_ {i}}}} {\ partial x_ {i}}} = 0}ρ(∂você¯eu∂t+você¯k∂você¯eu∂xk)+∂p¯∂xeu-∂∂xj(σeuj+τeuj)=0{\ displaystyle \ rho \ left ({\ frac {\ parcial {\ bar {u}} _ {i}} {\ parcial t}} + {\ overline {u}} _ {k} {\ frac {\ parcial {\ bar {u}} _ {i}} {\ parcial x_ {k}}} \ direita) + {\ frac {\ parcial {\ bar {p}}} {\ parcial x_ {i}}} - { \ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ left (\ sigma _ {ij} + \ tau _ {ij} \ right) = 0}Definimos o tensor de tensão de Reynolds:
τeuj=-ρvocêeu′vocêj′¯{\ displaystyle \ tau _ {ij} = - \ rho {\ overline {u '_ {i} u' _ {j}}}}Como qualquer tensor de tensão, este tensor é simétrico. O problema da turbulência consiste em expressar as 6 grandezas independentes que contém.
Equação de transporte de restrição
Julius C. Rotta introduziu em 1951 uma equação de transporte nas restrições de Reynolds. Para conseguir isso, usamos o operador definido acima, escrevendo
vocêeu′Y(vocêj)+vocêj′Y(vocêeu)¯=0{\ displaystyle {\ overline {u '_ {i} Y (u_ {j}) + u' _ {j} Y (u_ {i})}} = 0}é
∂τeuj∂t+∂∂xk(você¯kτeuj)=-Peuj⏟Prodvocêvsteuonão+Teuj-Πeuj+Deuj⏟Deuffvocêseuonão+ρϵeuj⏟Deusseupnoteuonão{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ tau _ {ij}} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}} ({\ overline {u}} _ {k } \ tau _ {ij}) = \ underbrace {- {\ mathcal {P}} _ {ij}} _ {Production} \ underbrace {+ {\ mathcal {T}} _ {ij} - \ Pi _ {ij } + {\ mathcal {D}} _ {ij}} _ {Difusão} \ underbrace {+ \ rho \, \ epsilon _ {ij}} _ {Dissipação}}com
Expressão |
Significado físico
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---|
Peuj=τjk∂você¯eu∂xk+τeuk∂você¯j∂xk{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {ij} = \ tau _ {jk} \, {\ frac {\ partial {\ overline {u}} _ {i}} {\ partial x_ {k}}} + \ tau _ {ik} \, {\ frac {\ partial {\ overline {u}} _ {j}} {\ partial x_ {k}}}} |
Produção: transferência de energia da vazão média para a turbulência
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Teuj=∂∂xk(ρvocêeu′vocêj′vocêk′¯+p′vocêeu′¯δjk+p′vocêj′¯δeuk){\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {ij} = {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}} (\ rho {\ overline {u '_ {i} u' _ {j} u '_ {k}}} + {\ overline {p'u' _ {i}}} \ delta _ {jk} + {\ overline {p'u '_ {j}}} \ delta _ {ik} )} |
Transporte de turbulência (contém correlação tripla)
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Πeuj=p′∂vocêeu′∂xj¯+p′∂vocêj′∂xeu¯{\ displaystyle \ Pi _ {ij} = {\ overline {p '{\ frac {\ partial u' _ {i}} {\ partial x_ {j}}}}} + {\ overline {p '{\ frac {\ parcial u '_ {j}} {\ parcial x_ {i}}}}}} |
Redistribuição de energia turbulenta (retorno ao estado isotrópico)
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Deuj=∂∂xk(ν∂τeuj∂xk){\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {ij} = {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}} \ left (\ nu {\ frac {\ partial \ tau _ {ij}} { \ parcial x_ {k}}} \ direita)} |
Difusão da restrição
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ϵeuj=2ν∂vocêeu′∂xk∂vocêj′∂xk¯{\ displaystyle \ epsilon _ {ij} = 2 \ nu {\ overline {{\ frac {\ parcial u '_ {i}} {\ parcial x_ {k}}} {\ frac {\ parcial u' _ {j }} {\ parcial x_ {k}}}}}} |
Dissipação viscosa
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onde δ ij é o símbolo de Kronecker .
Essas 6 equações contêm 22 novas incógnitas. Portanto, é necessário simplificar (modelar) substituindo esses termos por expressões das variáveis já presentes como os componentes de τ ij . A abordagem clássica foi introduzida por Kemal Handjalić e Brian Launder (1972).
Modelos com N equações de transporte
Esses modelos são chamados em inglês de Reynolds Averaged Navier-Stokes ou abreviados RANS .
Hipótese de Boussinesq
Em 1877, Joseph Boussinesq propôs escrever este tensor como o tensor de tensão no caso de um fluido newtoniano , envolvendo uma viscosidade de turbulência μ t
τeuj=µt(∂você¯eu∂xj+∂você¯j∂xeu)-23µt∂você¯k∂xkδeuj-13ρvocêeu′vocêeu′¯⏟23ρkδeuj{\ displaystyle \ tau _ {ij} = \ mu _ {t} \ left ({\ frac {\ partial {\ bar {u}} _ {i}} {\ partial x_ {j}}} + {\ frac {\ parcial {\ bar {u}} _ {j}} {\ parcial x_ {i}}} \ direita) - {\ frac {2} {3}} \ mu _ {t} {\ frac {\ parcial {\ bar {u}} _ {k}} {\ parcial x_ {k}}} \ delta _ {ij} - \ underbrace {{\ frac {1} {3}} \ rho {\ overline {u'_ {i} u '_ {i}}}} _ {{\ frac {2} {3}} \ rho k} \ delta _ {ij}}O problema se reduz ao conhecimento de k e μ t , não sendo este último valor uma propriedade do fluido.
Modelos de duas equações
Tomando os traços da equação tensão de Reynolds acima, obtém-se uma equação de transporte para k
ρ∂k∂t+ρvocêj∂k∂xj=τeuj∂vocêeu∂xj⏟Prodvocêvsteuonão-ρϵ⏟Deusseupnoteuonão+∂∂xj(µ∂k∂xj)⏟Deuffvocêseuonão moeuevsvocêeunoeure-∂∂xj(12ρvocêeu′vocêeu′vocêj′¯)⏟Trnonãosport-∂∂xj(p′vocêj′¯)⏟Deuffvocêseuonão presseuonão{\ displaystyle \ rho {\ frac {\ partial k} {\ partial t}} + \ rho u_ {j} {\ frac {\ partial k} {\ partial x_ {j}}} = \ underbrace {\ tau _ {ij} {\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial x_ {j}}}} _ {Production} - \ underbrace {\ rho \ epsilon} _ {Dissipation} + \ underbrace {{\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {j}}} \ left (\ mu {\ frac {\ partial k} {\ partial x_ {j}}} \ right)} _ {Difusão ~ molecular} - \ underbrace {{\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ left ({\ frac {1} {2}} \ rho \, {\ overline {u '_ {i} u' _ {i} u '_ { j}}} \ right)} _ {Transport} - \ underbrace {{\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ left ({\ overline {p'u '_ {j}}} \ direita)} _ {Difusão ~ pressão}}onde ε é a dissipação
ϵ=ν∂vocêeu′∂xk∂vocêeu′∂xk¯{\ displaystyle \ epsilon = \ nu {\ overline {{\ frac {\ parcial u '_ {i}} {\ parcial x_ {k}}} {\ frac {\ parcial u' _ {i}} {\ parcial x_ {k}}}}}}Isso pode ser obtido escrevendo a equação
2ν∂vocêeu′∂xk∂∂xkY(vocêeu)¯=0{\ displaystyle {\ overline {2 \ nu {\ frac {\ partial u '_ {i}} {\ partial x_ {k}}} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}} Y ( u_ {i})}} = 0}é
ρ∂ϵ∂t+ρvocêj∂ϵ∂xj=...{\ displaystyle \ rho {\ frac {\ partial \ epsilon} {\ partial t}} + \ rho u_ {j} {\ frac {\ partial \ epsilon} {\ partial x_ {j}}} = ...}Na verdade, esta expressão compreende, no segundo membro, termos muito difíceis de modelar e nos contentamos em escrever um segundo membro análogo à equação da energia cinética turbulenta.
A viscosidade turbulenta é deduzida da análise dimensional
νt=VSµk2ϵ{\ displaystyle \ nu _ {t} = C _ {\ mu} \, {\ frac {k ^ {2}} {\ epsilon}}}onde C μ é uma constante de modelagem.
O modelo mais conhecido usado neste campo é o modelo k - ε de William P. Jones e Brian Launder publicado em 1972 e posteriormente reformulado.
Também é possível trabalhar na taxa de dissipação
ω=ϵk{\ displaystyle \ omega = {\ frac {\ epsilon} {k}}}Este tipo de modelo conhecido como modelo k - ω foi introduzido por Andrei Kolmogorov em 1942 numa época em que não era possível resolvê-lo. Sua forma atual é devida a David C. Wilcox.
Um modelo de equação de transporte
Este tipo de modelo foi introduzido na década de 1960. Partimos da viscosidade turbulenta acima com C μ = 1 e derivamos
DνtDt=1ωDkDt-kω2DωDt{\ displaystyle {\ frac {D \ nu _ {t}} {Dt}} = {\ frac {1} {\ omega}} {\ frac {Dk} {Dt}} - {\ frac {k} {\ omega ^ {2}}} {\ frac {D \ omega} {Dt}}}O mais conhecido desses modelos é, sem dúvida, o modelo Spalart-Allmaras (1992) de Philippe R. Spalart e Steven R. Allmaras para problemas de camada limite em escoamento compressível.
Modelo de comprimento de mistura
O modelo usando um comprimento de mistura, também chamado de equação de transporte zero, foi introduzido por Ludwig Prandtl em 1925. Por analogia com a teoria cinética dos gases, ele assumiu que se poderia construir uma viscosidade cinemática a partir do produto d 'uma velocidade característica u por um comprimento de mistura l m e que o tempo característico formado a partir dessas duas quantidades era da mesma ordem de magnitude que aquele associado com o cisalhamento médio
νt≃vocêeum,vocêeum≃|∂vocêeu¯∂xj|,eu≠j⇒νt=eum2|∂vocêeu¯∂xj|{\ displaystyle \ nu _ {t} \ simeq ul_ {m} \ ,, \; \; \; \; \; {\ frac {u} {l_ {m}}} \ simeq \ left | {\ frac { \ partial {\ overline {u_ {i}}}} {\ partial x_ {j}}} \ right |, \; \; \; i \ neq j \; \; \; \ Rightarrow \; \; \; \ nu _ {t} = l_ {m} ^ {2} \ left | {\ frac {\ partial {\ overline {u_ {i}}}} {\ partial x_ {j}}} \ right |}portanto, o componente correspondente do tensor de Reynolds
-ρvocêeu′vocêj′¯=ρeum2|∂vocêeu¯∂xj|∂vocêeu¯∂xj{\ displaystyle - \ rho {\ overline {u '_ {i} u' _ {j}}} = \ rho l_ {m} ^ {2} \ left | {\ frac {\ partial {\ overline {u_ { i}}}} {\ partial x_ {j}}} \ right | {\ frac {\ partial {\ overline {u_ {i}}}} {\ partial x_ {j}}}}Esta expressão pode ser generalizada por:
νt=eum22Seuj¯Seuj¯{\ displaystyle \ nu _ {t} = l_ {m} ^ {2} {\ sqrt {2 {\ overline {S_ {ij}}} \, {\ overline {S_ {ij}}}}}}A expressão para l m é específica para um determinado problema.
Modelos de simulação em grande escala
O método SGS ou em inglês LES consiste em separar as escalas de turbulência em
- escalas grandes calculadas diretamente,
- pequenas escalas, modeladas.
A primeira etapa do processo é definir um filtro passa-baixa por meio do produto de convolução
você¯eu(r,t)=∫G(r,r′)vocêeu(r-r′,t)dr′≡G∗vocêeu{\ displaystyle {\ overline {u}} _ {i} (\ mathbf {r}, t) = \ int G (\ mathbf {r}, \ mathbf {r} ') u_ {i} (\ mathbf {r } - \ mathbf {r} ', t) \ mathrm {d} \ mathbf {r}' \ equiv G * u_ {i}}O filtro é padronizado:
∫G(r,r′)dr′=1{\ displaystyle \ int G (\ mathbf {r}, \ mathbf {r} ') \ mathrm {d} \ mathbf {r}' = 1}Este não é um projetor : . Além disso, este operador não comuta com a derivada.
vocêeu¯¯≠vocêeu¯{\ displaystyle {\ overline {\ overline {u_ {i}}}} \ neq {\ overline {u_ {i}}}}
O exemplo mais simples é o filtro "chapéu" (em cartola em inglês ) baseado no tamanho da malha Δ
G={1Δ3seu|reu-reu′|<Δ20seunãoonão{\ displaystyle G = \ left \ {{\ begin {array} {lcl} {\ frac {1} {\ Delta ^ {3}}} & si & | r_ {i} -r '_ {i} | < {\ frac {\ Delta} {2}} \\ [0.6em] 0 & caso contrário \ end {array}} \ right.}Escrevemos a solução como a soma do valor filtrado e uma perturbação de pequena escala, que não tem o significado de uma flutuação temporal.
vocêeu=você¯eu+vocêeu′{\ displaystyle u_ {i} = {\ overline {u}} _ {i} + u '_ {i}}podemos, então, escrever as equações filtradas de Navier-Stokes:
∂você¯eu∂xeu=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ overline {u}} _ {i}} {\ partial x_ {i}}} = 0}∂∂t(ρvocê¯eu)+∂∂xj(ρvocê¯euvocê¯j)+∂p¯∂t-∂τ¯euj∂xj-∂teuj∂xj=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ rho {\ overline {u}} _ {i}) + {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} (\ rho {\ overline {u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {j}) + {\ frac {\ partial {\ overline {p}}} {\ partial t}} - {\ frac { \ parcial {\ overline {\ tau}} _ {ij}} {\ parcial x_ {j}}} - {\ frac {\ parcial t_ {ij}} {\ parcial x_ {j}}} = 0}onde t ij é o tensor introduzido por Anthony Leonard:
teuj=ρ(você¯euvocê¯j-vocêeuvocêj¯)=ρ(você¯euvocê¯j-você¯euvocê¯j¯-vocêeu′você¯j¯-vocêj′você¯eu¯-vocêeu′vocêj′¯){\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} t_ {ij} & = & \ rho ({\ overline {u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {j} - {\ overline {u_ {i} u_ {j}}}) \\ [0,6em] & = & \ rho ({\ overline {u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {j} - {\ overline {{ \ overline {u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {j}}} - {\ overline {u '_ {i} {\ overline {u}} _ {j}}} - {\ overline {u '_ {j} {\ overline {u}} _ {i}}} - {\ overline {u' _ {i} u '_ {j}}}) \ end {array}}}Observe que se G fosse o operador médio de Reynolds, os primeiros quatro termos seriam cancelados. Além disso, se t ij respeita a invariância galileana , isso não é verdade para cada um dos termos que o compõem.
Para fechar o problema, é necessário definir uma aproximação na malha, por exemplo do tipo comprimento da mistura (ver acima), como fez Joseph Smagorinsky (1963)
eum=VSSΔ{\ displaystyle l_ {m} = C_ {S} \ Delta}onde C s ~ 0,1 é uma constante de modelagem ligada à constante de Kolmogorov .
Referências
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