Meandro (matemática)
Um meandro é, em matemática , uma configuração no plano ℝ 2 formada por duas curvas planas simples que se cruzam transversalmente. Intuitivamente, um meandro pode ser visto como uma estrada que corta um rio através de várias pontes. Dizemos meandro aberto quando as duas curvas são isotópicas para linhas retas do plano e meandro fechado quando uma curva é fechada e a outra isótopo para uma linha reta.
No caso aberto, podemos sempre encontrar uma isotopia que envia uma das duas curvas em uma linha reta L , e o número de pontos de cruzamento é um inteiro positivo n .
No caso fechado, podemos sempre encontrar uma isotopia que envia a curva não compacta em uma linha reta L , e o número de pontos de cruzamento é um inteiro positivo par 2n .
Dois meandros são considerados equivalentes se forem isotópicos no plano ℝ 2 .
Meandros são objetos difíceis de contar. Nenhuma fórmula é conhecida para o número M n de meandros com n interseções.
Você pode colorir em preto e branco as regiões do plano determinadas por um meandro alternando.
Números sinuosos
Um número é considerado um número sinuoso quando faz parte da série de números que indica o número de maneiras de representar as interseções entre uma linha reta e uma curva fechada com um ou mais meandros.
O número de meandros distintos de ordem n é o número de meandros M n . Mais A005316 de OEIS de números sinuosos começando com 1, 1, 1, 2, 3, 8, 14, 42, 81, 262.
Meandro aberto
No caso aberto, podemos sempre encontrar uma isotopia que envia uma das duas curvas em uma linha reta L , e o número de pontos de cruzamento é um inteiro estritamente positivo n .
Dada uma linha fixa orientada L no plano ℝ 2 , um meandro aberto de ordem n é uma curva orientada que não se cruza em ℝ 2 que cruza transversalmente a linha em n pontos para um certo inteiro positivo n . Dois meandros abertos são considerados equivalentes se forem homeomórficos no plano.
Exemplos
O meandro aberto de ordem 1 cruza a linha uma vez:
O meandro aberto de ordem 2 cruza a linha duas vezes:
Números sinuosos abertos
O número de meandros abertos distintos de ordem n é o número de meandros abertos m n . A lista de números sinuosos abertos começa com:
m 1 = 1, m 2 = 1, m 3 = 2, m 4 = 3, m 5 = 8, m 6 = 14 .Meandro fechado
Números sinuosos fechados
Mais A005315 de OEIS de números sinuosos fechados começa:
M 1 = 1, M 2 = 1, M 3 = 2, M 4 = 8, H 5 = 42, H 6 = 262.Semi-meandro
Dada uma meia-linha R em ℝ 2 , um meio-meandro de ordem n é uma curva sem interseção em ℝ 2 que cruza transversalmente a meia-linha em n pontos para algum inteiro positivo n . Dois semimandros são considerados equivalentes se forem homeomórficos no plano.
Exemplos
O semi-meandro de primeira ordem corta a meia-linha uma vez.
O semi-meandro de segunda ordem corta a meia-linha duas vezes:
Números semi-sinuosos
O número de semimeandros distintos de ordem n é o número do semimeandro M n (geralmente indicado com uma linha acima em vez de uma linha abaixo). Mais A000682 de números semi- meandrantes OEIS começam com:
M 1 = 1, M 2 = 1, M 3 = 2, M 4 = 4, M 5 = 10, M 6 = 24.Propriedades de números sinuosos
Há uma função injetiva de números sinuosos para números sinuosos abertos: M n = m 2 n -1 .
Cada número sinuoso pode ser enquadrado por números semi-sinuosos:
M n ≤ M n ≤ M 2 nPara n > 1, os números sinuosos são pares .