Numero brasileiro

Na aritmética , um número brasileiro é um número natural da forma

{\ displaystyle n \ = \ a {\ frac {b ^ {c} -1} {b-1}}, \ qquad a <b <n-1, \ quad c \ geq 2}

Seja a soma geométrica :

{\ displaystyle n \ = \ a + a \ times b + a \ times b ^ {2} + ... + a \ times b ^ {c-1}}

Um número brasileiro n, portanto, tem, em uma base b satisfazendo 1 < b < n - 1, uma representação que é escrita como c dígitos todos iguais.

Mais precisamente, n = ( aaa ... aaa ) b com c vezes a presença do número a na base b .

A condição b < n - 1 é importante porque qualquer número n é escrito: n = 11 n –1 e, portanto, qualquer número seria brasileiro.

Exemplos

20 é um número brasileiro porque 20 está escrito como 22 na base 9: 20 = 22 9 .

9 não é um número brasileiro porque 9 = 1001 2 = 100 3 = 21 4 = 14 5 = 13 6 = 12 7 e nenhum desses scripts é brasileiro.

Histórico

Em 1994, durante a nona Olimpíada Ibero-americana de Matemática, realizada em Fortaleza, no Brasil, o primeiro problema, proposto pelo México, foi abordado por Pierre Bornsztein em seu livro Hypermath : "Um número n > 0 se diz" brasileiro "se existe um inteiro b satisfazendo 1 < b < n - 1 para o qual a representação de n na base b é escrita com todos os dígitos sendo iguais. Mostre que 1994 é brasileiro e que 1993 não é. "

Seduzido por esta afirmação, Bernard Schott propôs como um tópico para reflexão em 2007 no fórum les-mathematiques.net então escreveu um artigo em 2010 sobre esses números na revista Quadrature . Nesse ínterim, Neil JA Sloane aprovou esta sequência numérica brasileira na Enciclopédia Online de Sequências Inteiras , conhecida em inglês como OEIS .

Algumas propriedades

O menor número brasileiro é 7 (= 111 2 ), que é, portanto, também o menor número primo brasileiro .
Qualquer número par ≥ 8 é brasileiro porque n = 2 × k = 22 k –1 com k - 1 ≥ 3. Assim, há uma infinidade de números brasileiros e números compostos brasileiros.
Qualquer número ímpar n ≥ 15 escrevendo n = a × c com a ≥ 3 ec > a + 1 também é brasileiro porque n = c × a = ( aa ) c –1 .
A sequência dos números brasileiros é 7 , 8 , 10 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 18 , 20 , 21 , etc. (continuação A125134 do OEIS ).
A sequência dos números compostos brasileiros é 8 , 10 , 12 , 14 , 15 , 16 , 18 , 20 , 21 , etc. (continuação A220571 de OEIS ).
Um número super-brasileiro é um número uniforme em uma base igual a este número uniforme. O menor exemplo é 22 22 = 46 . No site Numbers Gerard Villemin, esses números são chamados de super repdigits porque a escrita 11 11 = 12 é aceita. A seqüência numérica super-brasileira corresponde a A287767 .
Se n > 7 não for brasileiro, então n é um número primo ou o quadrado de um número primo.
Existem números primos brasileiros, números compostos brasileiros, números primos não brasileiros e números compostos não brasileiros. Com 0 e 1, esses quatro conjuntos formam uma partição do conjunto de números naturais. $\ mathbb {N}$

Números primos e respostas

Qualquer número primo brasileiro p maior ou igual a 7 é uma resposta que é escrita com um número primo ímpar de 1 em uma base b , mas o inverso é falso como mostrado em 21 = 111 4 = 3 × 7 ou 111 = 111 10 = 3 × 37.

Exemplos dos primeiros brasileiros: 13 = 111 3 e 127 = 1111111 2 .

A sequência de números primos brasileiros é 7 , 13 , 31 , 43 , 73 , 127 , 157 , 211 , 241 , 307 , 421 , 463 , etc. (continuação A085104 ).

Enquanto a série de primos inversos é divergente , a série de primeiros números brasileiros inversos converge para um número denominado "primeiros números brasileiros constantes" (continuação A306759 ) e ligeiramente maior que 0,33.

A sequência de números primos não brasileiros é 2 , 3 , 5 , 11 , 17 , 19 , 23 , 29 , 37 , 41 , 47 , 53 , etc. (continuação A220627 ). Esta suíte é infinita.

As respostas de base dez, definidas por e, portanto, maiores ou iguais a 111, são todas brasileiras. Os índices das primeiras respostas brasileiras na base dez podem ser encontrados na seqüência A004023 (exceto 2 porque 11 não é brasileiro). Nós conjecturar que há uma infinidade de respostas primos dez bases (portanto, uma infinidade de números primos brasileiros), embora estes são relativamente raros. Seu número de dígitos é necessariamente primo, caso contrário, seriam múltiplos de 11, 111, 11 111, etc. Por exemplo, R 2047 pode ser dividido por, entre outros, R 23 e R 89 . ${\ displaystyle R_ {n} = {\ frac {10 ^ {n} -1} {9}} \ {\ mbox {com}} n \ geq 3}$

Todos os números de Mersenne , portanto maiores ou iguais a 7, são brasileiros, pois são respostas de base 2 . Em particular, todo número primo de Mersenne é brasileiro. Por exemplo ,. ${\ displaystyle M_ {n} = 2 ^ {n} -1, n \ geq 3}$ ${\ displaystyle M_ {5} = 2 ^ {5} -1 = 31 = 11111_ {2}}$

Um número Fermat é brasileiro se e somente se for composto. $F_n = 2 ^ {2 ^ n} + 1$

A conjectura proposta de que nenhum número primo de Sophie Germain é brasileiro está errada. Na verdade, Giovanni Resta mostrou que a 141,385 th número primo de Sophie Germain, 28.792.661 = 11111 73 , é brasileiro (continuação A085104 ).

Quanto à escassez de números primos brasileiros: dos 10 3 , 10 6 , 10 9 e 10 12 primeiros números naturais, há respectivamente 16,8%, 7,8%, 5,1% e 3,7% de números primeiros. E entre esses números primos, há apenas 8,3%, 0,26%, 0,007 6% e finalmente 0,000 235% dos primos brasileiros. Especificamente, do primeiro trilhão de inteiros naturais, 37.607.912.018 são primos e apenas 88.285 são primos brasileiros.

Números compostos não brasileiros

Os números pares ≥ 8 e os números ímpares ≥ 15 que possuem dois ou mais fatores distintos são todos brasileiros. No entanto, existem números compostos não brasileiros, como os quadrados dos primeiros números primos: 4 , 9 , 25 , 49 , mas há apenas uma exceção entre esses quadrados.

Se p 2 é brasileiro, então p linha deve verificar a equação diofantina

p 2 = 1 + b + b 2 + ... + b q –1 com p , q linha ≥ 3 e b > = 2.

O matemático norueguês Trygve Nagell demonstrou que esta equação tem apenas uma solução, quando p é primo, correspondendo a ( p , b , q ) = (11, 3, 5) assim, 11 2 = 121 = 11111 3 e o único quadrado de o número primo brasileiro é, portanto, 121.

Esta equação tem outra solução com p não primo correspondendo a ( p , b , q ) = (20, 7, 4), ou seja: 20 2 = 400 = 1111 7 . Existem apenas dois quadrados de números naturais encontrados em uma certa base, 121 e 400 .

Se ampliarmos a busca aos poderes puros que estão disponíveis em uma determinada base, somos levados a resolver a equação Diofantina de Nagell-Ljunggren.

n t = 1 + b + b 2 + ... + b q –1 com b, n, t > 1 e q > 2.

Yann Bugeaud e Maurice Mignotte conjeturam que existem apenas três poderes puros que são respunities e, portanto, respunham os números brasileiros: 121 , 343 e 400 . A única solução nova é o cubo 343 = 7 3 = 111 18 .

Como resultado, há um número infinito de números compostos não brasileiros, conforme mostrado pela sequência de quadrados de números primos ≥ 13. Mais precisamente, a sequência de números compostos não brasileiros: 4 , 6 , 9 , 25 , 49 , 169 , 289 , 361 , 529 , ... é dado na sequência A190300 e os quadrados dos números primos não brasileiros são encontrados na sequência A326708 .

Números várias vezes brasileiros

Existem números que não são brasileiros e números que são brasileiros; destes, alguns são brasileiros uma vez, outros duas, ou três vezes, ou quatro ... Um número k vezes brasileiro será chamado de número k-brasileiro .
Com exceção dos números 1 e 6 , os números não brasileiros ou 0 - números brasileiros consistem apenas em números primos e quadrados de números primos. A sequência de números não brasileiros começa com 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 11 , 17 , 19 , 23 , 25 , etc. (veja a continuação A220570 ).
A sequência de números 1 brasileiros consiste em números primos, o único quadrado do número primo que é 121 brasileiro , e números compostos ≥ 8 que são o produto de apenas dois fatores tais que n = a × b = aa b - 1 < a < b - 1. Encontramos esta sequência aqui: A288783 .
Entre os 2 números brasileiros (ver continuação A290015 ), encontramos apenas números compostos e apenas dois números primos: 31 e 8191 . Na verdade, de acordo com a conjectura de Goormaghtigh , as únicas soluções da equação diofantina : p=xm-1x-1=ynão-1y-1{\ displaystyle p = {\ frac {x ^ {m} -1} {x-1}} = {\ frac {y ^ {n} -1} {y-1}}} ${\ displaystyle p = {\ frac {x ^ {m} -1} {x-1}} = {\ frac {y ^ {n} -1} {y-1}}}$ com x , y > 1 e n , m > 2 estão :
- ( p , x , y , m , n ) = (31, 5, 2, 3, 5) correspondendo a 31 = 11111 2 = 111 5 , e,
- ( p , x , y , m , n ) = (8191, 90, 2, 3, 13) correspondendo a 8191 = 1111111111111 2 = 111 90 , onde 11111111111 é a lacuna composta por treze vezes o número 1.
Existe para cada seqüência de números k-brasileiros , um número que é o menor elemento dela. A sequência desses números menores k tempos brasileiros começa com 1, 7 , 15 , 24 , 40 , 60 , 144 , 120 , 180 , 336 , 420 , 360 , etc. e pode ser encontrado em A284758 . Portanto, 40 é o menor número inteiro 4 brasileiro com 40 = 1111 3 = 55 7 = 44 9 = 22 19 .
No Dicionário de (quase) todos os inteiros , Daniel Lignon sugere que um inteiro é altamente brasileiro se tiver mais scripts que o definam como um número brasileiro do que qualquer inteiro menor que ele. Esta definição é inspirada pela de número altamente composto, introduzida por Srinivasa Ramanujan em 1915.
Os primeiros números altamente brasileiros são 1, 7 , 15 , 24 , 40 , 60 , 120 , 180 , 336 , 360 , 720 , etc. e estão localizados exatamente em A329383 . Observe que de 360 a 321 253 732 800 (talvez mais), existem 80 números altamente compostos sucessivos que também são altamente brasileiros (consulte A279930 ).

Notas e referências

P. Bornsztein, Hypermath , Paris, Vuibert ,2001, exercício a35 , p. 7.
[1] .
B. Schott, " The Brazilian Numbers ", Quadrature , vol. 76,2010, Disponível no link após A125134 da OEIS .
[2] .
Gérard Villemin, “ Números repbase & numbers super-repdigits ” .
Trygve Nagell, “ Na equação indeterminada (x n -1) / (x-1) = y 2 ”, Norsk Matematisk Forenings Skrifter , i, vol. 3,1921, p. 17.
(não) Wilhelm Ljunggren , “ Noen setninger om ubestemte likninger av formen (x n -1) / (x-1) = y q ” , Norsk matematisk tidsskrift , vol. 25,1943, p. 17-20.
Yann Bugeaud e Maurice Mignotte, “ A equação de Nagell-Ljunggren (x n -1) / (x-1) = y q ”, Mathematical Education , vol. 48,2002, p. 147-168 ( ler online ).
Daniel Lignon, Dicionário de (quase) todos os inteiros , Elipses ,2012, p. 420.