Número hiperreal

Em matemática , o campo ordenado dos números hiperreais constitui uma extensão * ℝ dos números reais usuais, tornando possível dar um significado rigoroso às noções de quantidade infinitamente pequena ou infinitamente grande. Podemos então evitar o uso de cruzamentos de limites e expressões condicionadas por um valor ε “tão pequeno quanto quisermos”. Não há exclusividade do conjunto * ℝ, mas a escolha de uma extensão específica tem pouco efeito na prática.

Assim como podemos construir o conjunto de números reais a partir de sequências de números racionais , podemos construir um modelo de números hiperreais a partir de sequências de números reais. Tecnicamente, usamos um ultra-poder para construir esta extensão. De forma equivalente, pode-se definir números hiperreais por meio de um modelo não padronizado de números reais.

Introdução: por que o hiperreal?

O "  infinitesimal  análise" da XVII th  século , as quais foram sistematicamente explorada por Leibniz , Johann Bernoulli , Euler , e outros, despertaram crítica forte , muito semelhantes aos causados pela introdução de "  números imaginária  “quadrados negativo. Mas ao contrário deste último, os problemas técnicos correspondentes (como a negação do axioma de Arquimedes ) não puderam ser resolvidos, o que levou ao desaparecimento gradual dos infinitesimais e sua substituição, devido a Bolzano , Cauchy e Weierstrass , pelas noções modernas de limite , continuidade , etc.

No entanto, poderíamos ainda considerar a adição de novos objetos aos reais tornando possível tornar o raciocínio rigoroso usando o infinitamente pequeno, e várias tentativas foram feitas neste sentido (por exemplo, por Hadamard e du Bois-Reymond ), mas sem muito sucesso. ., por razões que apenas a lógica matemática deveria esclarecer.

Já em 1930, no entanto, o trabalho de Skolem mostrou que uma extensão dos reais permitindo um verdadeiro cálculo infinitesimal era possível. Na verdade, existem várias dessas extensões, mas a escolha exata de uma delas não tem grandes consequências práticas (embora nem todas sejam isomórficas); geralmente chamamos de "números hiperreais" qualquer um deles.

Um número hiperreal (não real) poderia, portanto, representar, por exemplo, uma quantidade "maior que qualquer todo" (portanto "infinitamente grande") ou "menor que o inverso de qualquer todo" (portanto infinitesimal), ou mesmo uma quantidade infinitamente perto de 1, mas estritamente menor que ele.

Histórico

Em 1948, Edwin Hewitt , como parte de seu trabalho sobre anéis de funções reais, definiu objetos identificáveis ​​com esses números e deu-lhes o nome de "  hiper-real  ". Jerzy Łoś  (en) mostrou em 1955 que esses corpos tinham todas as propriedades de uma extensão elementar  (en) dos reais.

Foi no início da década de 1960 que Abraham Robinson , como parte de seu trabalho de análise fora do padrão , teve que definir os números hiperreais e dar-lhes seu nome atual, fazendo referência explícita ao trabalho de Hewitt. Robinson juntou as preocupações de Leibniz (e outros analistas do XVII °  século ) procurando fazer sentido do infinitamente pequeno e infinitamente grandes números, números vistos como tendo "quase" todas as propriedades do verdadeiro convencional (ou padrão).

A construção de Robinson usou principalmente a teoria do modelo . Uma construção mais explícita usando ultraprodutos (e que se juntou às construções de Hewitt) foi descoberta alguns anos depois e é a que será exposta aqui. Posteriormente, uma abordagem axiomática mais geral para a análise não padronizada, a Teoria dos Conjuntos Internos (IST), foi proposta por Edward Nelson  : ela é baseada na axiomática de Zermelo-Fraenkel à qual são adicionados três novos axiomas; a descrição detalhada desses axiomas e suas consequências é dada no artigo: análise não padronizada . Nesta última abordagem (que aliás tem aplicações muito mais gerais do que a construção de infinitesimais), a rigor, não criamos novos reais, mas distinguimos entre os reais uma coleção (que não é um conjunto) padrões reais, comportando-se os demais em relação a estes como infinitamente pequeno ou infinitamente grande, por exemplo.

Construção

O objetivo é construir um overbody * ℝ de ℝ tendo números infinitamente grandes e infinitamente pequenos. Este overbody deve permanecer completamente ordenado e verificar que qualquer número x que não seja infinitamente grande é escrito x * + ε com x * um número real e ε um número infinitesimal.

Esta construção envolve naturalmente sequências de números reais; assim, a sequência é interpretada como um número infinitamente pequeno e ( n 2 ) como um número infinitamente grande. Os números reais são preservados em sequências constantes. A adição e multiplicação de sequências fornecem uma boa base para a obtenção de uma estrutura corporal. Infelizmente, falta a ordem total: não está claro se o número hiperreal correspondente à sequência oscilante (1; -1; 1; -1; ...) é estritamente positivo ou estritamente negativo. Observamos o que disse que dadas duas séries de números reais, os conjuntos de índices onde um é maior que o outro são complementares. Escolher uma ordem total nos números hiperreais é, portanto, equivalente a escolher uma parte de ℕ em cada par de partes (A; ℕ \ A). Esta última escolha leva diretamente à noção de ultrafiltro em ℕ, da qual todas as construções a seguir se seguem.

A construção das hiper -realidades é feita a partir de um ultrafiltro U em ℕ que não contém nenhuma parte finita de ℕ (dizemos que é um ultrafiltro livre ). Infelizmente, não podemos exibir tal ultrafiltro U , cuja existência repousa no refinamento do filtro das partes co-acabadas por ℕ pelo lema de Zorn e, portanto, em última análise, no axioma da escolha .

Construímos o conjunto M de séries de números reais incluindo o conjunto de índices n onde é um elemento do ultrafiltro. Podemos escrever de forma condensada . Tal conjunto M é um ideal máximo do anel comutativo de séries de números reais ℝ ℕ . Assim, o anel quociente ℝ ℕ / M é um campo comutativo ordenado que contém ℝ. Este conjunto (fornecido com as leis induzidas pelo quociente) é um corpo superior totalmente ordenado de ℝ. Ele contém, por exemplo, o infinitamente pequeno (1; 1/2; 1/3;…; 1 / n  ;…) (ou mais precisamente a classe de equivalência desta sequência). Por outro lado, perdemos o teorema do limite superior nos números hiperreais.

Notamos que o cardinal de * ℝ é e, portanto, este conjunto é equipotente a ℝ; entretanto, o conjunto exato obtido depende do ultrafiltro escolhido: todos os sistemas numéricos hiperreais construídos dessa forma não são necessariamente isomórficos entre si. Eles são, no entanto, isomórficos se aceitarmos a hipótese do contínuo .

Definições

Um número hiperreal x é dito

Em particular, qualquer que seja o número real de uma estritamente positivo, x um infinitesimal estritamente positivo, e X um infinitamente grande positiva, temos: -X <-a <-x <0 <x <a <X .

Para qualquer x apreciável, existe um real único, a parte padrão (ou a sombra) de x, observada x *, tal que xx * é infinitesimal; a escrita em x * + ε de qualquer número hiperreal não infinitamente grande vem de uma dicotomia simples (em ℝ) autorizada pela ordem total em * ℝ. Na verdade, um número hiperreal não infinitamente grande está contido em um segmento com limites reais; este segmento é sucessivamente cortado em 2 para enquadrar o número hiperreal com mais e mais precisão. Pelo teorema dos segmentos aninhados, obtemos assim o número real único x *.

Um exemplo de uso

Com as definições anteriores, muitas noções de análise clássica são expressas de forma mais simples: assim, se for um infinitesimal diferente de zero, a derivada de f em a é a sombra (a parte padrão) do hiperreal  : tudo acontece como se nós não precisava mais da noção de limite. Outros exemplos (e detalhes sobre a validade desses argumentos) podem ser encontrados na análise não padronizada do artigo .

Notas e referências

Notas

  1. Na realidade, também exigimos que todas as propriedades de ℝ sejam mantidas, o que pode parecer absurdo (ℝ é de fato o maior campo ordenado de Arquimedes), mas modificando ligeiramente o significado de propriedades como o do limite superior, a construção que se segue torna possível o sucesso, como mostrou Robinson.
  2. Deve-se notar, no entanto, que construções muito mais simples são suficientes para obter extensões de ℝ possuindo infinitesimais, por exemplo o campo de frações racionais ℝ (X); mas essas extensões não permitem uma análise verdadeiramente fora do padrão; assim, em ℝ (X), não temos uma função exponencial ...

Referências

  1. (in) Edwin Hewitt, Rings of Continuous Real-Valued Functions .
  2. Robinson ( Non-standard Analysis , 1966, p. 278) fala da “  teoria dos campos hiperreais (Hewitt [1948]) que [...] pode servir como modelos de análise não padronizados  ” . Ver também (em) H. Jerome Keisler , "The hyperreal line" , em P. Ehrlich, Real Numbers, Generalizations of the Reals, and Theories of the Continua , Kluwer Academic Publishers,1994( leia online ) , p.  207-237.
  3. André Pétry, "Uma caminhada na análise fora do padrão nas pegadas de A. Robinson" .
  4. Goldblatt 1998 , p.  33
  5. Esta é uma consequência fácil de um argumento da teoria do modelo  ; veja esta resposta (in) em mathoverflow .

Apêndices

Bibliografia

Artigos relacionados

Número surreal