Problema de Prouhet-Tarry-Escott

Em matemática , especialmente em teoria dos números e combinatória , o problema de Prouhet-Tarry-Escott é encontrar, para cada número inteiro , dois conjuntos e de números inteiros cada, tais como: não{\ displaystyle n}NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}não{\ displaystyle n}

∑no∈NOnoeu=∑b∈Bbeu{\ displaystyle \ sum _ {a \ in A} a ^ {i} = \ sum _ {b \ in B} b ^ {i}}

para cada um dos até um determinado número inteiro . Se e verificar essas condições, nós escrevemos . eu{\ displaystyle i}1{\ displaystyle 1}k{\ displaystyle k}NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}NO=kB{\ displaystyle A = _ {k} B}

Procuramos uma solução de tamanho mínimo para um determinado grau . Este problema ainda em aberto tem o nome de Eugène Prouhet , que o estudou em 1851, e Gaston Tarry e Edward Brind Escott, que o considerou no início dos anos 1910. não{\ displaystyle n}k{\ displaystyle k}

O maior valor para o qual conhecemos uma solução é . Uma solução correspondente é dada pelos seguintes conjuntos: k{\ displaystyle k}não=k+1{\ displaystyle n = k + 1}k=11{\ displaystyle k = 11}

NO={±22,±61,±86,±127,±140,±151} ,B={±35,±47,±94,±121,±146,±148}{\ displaystyle A = \ {\ pm 22, \ pm 61, \ pm 86, \ pm 127, \ pm 140, \ pm 151 \} \, \ qquad B = \ {\ pm 35, \ pm 47, \ pm 94, \ pm 121, \ pm 146, \ pm 148 \}}

Exemplo

O inteiro da definição é o grau e o inteiro é o tamanho . É fácil ver que, para qualquer solução, nós temos . Procuramos, portanto, uma solução de tamanho mínimo. k{\ displaystyle k}não{\ displaystyle n}não>k{\ displaystyle n> k}

Para tamanho e grau , ambos os conjuntos não=6{\ displaystyle n = 6}k=5{\ displaystyle k = 5}

{0,5,6,16,17,22}{\ displaystyle \ {0,5,6,16,17,22 \}} e {1,2,10,12,20,21}{\ displaystyle \ {1,2,10,12,20,21 \}}

são uma solução para o problema, pois:

0+5+6+16+17+22=66=1+2+10+12+20+21{\ displaystyle 0 + 5 + 6 + 16 + 17 + 22 = 66 = 1 + 2 + 10 + 12 + 20 + 21}02+52+62+162+172+222=1090=12+22+102+122+202+212{\ displaystyle 0 ^ {2} + 5 ^ {2} + 6 ^ {2} + 16 ^ {2} + 17 ^ {2} + 22 ^ {2} = 1090 = 1 ^ {2} + 2 ^ { 2} + 10 ^ {2} + 12 ^ {2} + 20 ^ {2} + 21 ^ {2}}03+53+63+163+173+223=19998=13+23+103+123+203+213{\ displaystyle 0 ^ {3} + 5 ^ {3} + 6 ^ {3} + 16 ^ {3} + 17 ^ {3} + 22 ^ {3} = 19998 = 1 ^ {3} + 2 ^ { 3} + 10 ^ {3} + 12 ^ {3} + 20 ^ {3} + 21 ^ {3}}04+54+64+164+174+224=385234=14+24+104+124+204+214{\ displaystyle 0 ^ {4} + 5 ^ {4} + 6 ^ {4} + 16 ^ {4} + 17 ^ {4} + 22 ^ {4} = 385234 = 1 ^ {4} + 2 ^ { 4} + 10 ^ {4} + 12 ^ {4} + 20 ^ {4} + 21 ^ {4}} 05+55+65+165+175+225=7632966=15+25+105+125+205+215{\ displaystyle 0 ^ {5} + 5 ^ {5} + 6 ^ {5} + 16 ^ {5} + 17 ^ {5} + 22 ^ {5} = 7632966 = 1 ^ {5} + 2 ^ { 5} + 10 ^ {5} + 12 ^ {5} + 20 ^ {5} + 21 ^ {5}}.

Uma solução ideal é uma solução cujo tamanho é igual ao grau +1.A solução acima é, portanto, ideal.

História

Em 1851, Eugène Prouhet propôs o problema mais geral de dividir os inteiros x de 1 a n m em n classes, de modo que a soma das potências k -ths dos inteiros de cada classe seja a mesma, para k = 0,1 , ... O processo que ele propõe equivale a numerar as classes de 0 a n - 1, para decompor cada inteiro x - 1 no número de base n , para somar seus dígitos, para calcular o resto r desta soma módulo n e atribua o inteiro x à classe r .

No caso em que n = 2, a colocação do inteiro x em uma das duas classes de índice 0 ou 1 é feita de acordo com se o x -ésimo termo da sequência de Prouhet-Thue-Morse é 0 ou 1. Por exemplo, os primeiros 8 inteiros são divididos em: 1, 4, 6, 7 por um lado e 2, 3, 5, 8 por outro lado, e a soma das potências k -ésimo dos inteiros dessas duas classes coincidem até k = 2.

Leonard Eugene Dickson dedica um capítulo de sua História da Teoria dos Números a "  Conjuntos de inteiros com somas iguais de poderes semelhantes  " e lista nada menos que 70 artigos sobre o assunto. Em seu artigo histórico, Edward Maitland Wright observa que o artigo de Prouhet não foi redescoberto até 1948.

Desenvolvimentos recentes são descritos por Peter Borwein e seus co-autores; veja também o artigo de Filaseta e Markovich. Uma versão bidimensional foi estudada por Alpers e Tijdeman (2007) .

Propriedades e resultados

• Se o casal e é uma solução de grau , em seguida, para todos e todos o casalNO={no1,no2,...,nonão}{\ displaystyle A = \ {a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n} \}}B={b1,b2,...,bnão}{\ displaystyle B = \ {b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {n} \}}k{\ displaystyle k}NÃO≠0{\ displaystyle N \ neq 0}M{\ displaystyle M}NO′={NÃOno1+M,NÃOno2+M,...,NÃOnonão+M}etB′={NÃOb1+M,NÃOb2+M,...,NÃObnão+M}{\ displaystyle A '= \ {Na_ {1} + M, Na_ {2} + M, \ ldots, Na_ {n} + M \} \ quad {\ rm {e}} \ quad B' = \ {Nb_ {1} + M, Nb_ {2} + M, \ ldots, Nb_ {n} + M \}}ainda é uma solução do mesmo grau. Então a solução{0,5,6,16,17,22}=5{1,2,10,12,20,21}{\ displaystyle \ {0,5,6,16,17,22 \} = _ {5} \ {1,2,10,12,20,21 \}}também dá a solução{1,6,7,17,18,23}=5{2,3,11,13,21,22}.{\ displaystyle \ {1,6,7,17,18,23 \} = _ {5} \ {2,3,11,13,21,22 \}.}Esta observação permite uniformizar as soluções, impondo, por exemplo, que contenham apenas inteiros positivos ou zero, e que nelas apareça zero.
• Não conhecemos uma solução ideal para cada grau, mas sabemos que para cada grau existe uma solução de tamanho .k{\ displaystyle k}não≤k(k+1)/2+1{\ displaystyle n \ leq k (k + 1) / 2 + 1}
• Soluções simétricas: uma solução de tamanho par é simétrica se cada componente for da formanão=2m{\ displaystyle n = 2m}{±vs1,±vs2,...,±vsm}.{\ displaystyle \ {\ pm c_ {1}, \ pm c_ {2}, \ ldots, \ pm c_ {m} \}.}A solução dada na introdução é desta forma.
• Uma solução de tamanho ímpar é simétrica se os componentes da solução forem opostos, ou seja,NO={no1,no2,...,nonão}{\ displaystyle A = \ {a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n} \}} e B={-no1,-no2,...,-nonão}.{\ displaystyle B = \ {- a_ {1}, - a_ {2}, \ ldots, -a_ {n} \}.}

Soluções ideais e simétricas

Soluções ideais e simétricas são conhecidas por graus , exceto por  : k≤11{\ displaystyle k \ leq 11}k=10{\ displaystyle k = 10}

• k=1{\ displaystyle k = 1}

{±2}=1{±1}{\ displaystyle \ {\ pm 2 \} = _ {1} \ {\ pm 1 \}}

• k=2{\ displaystyle k = 2}

{-2,-1,3}=2{2,1,-3}{\ displaystyle \ {- 2, -1,3 \} = _ {2} \ {2,1, -3 \}}

• k=3{\ displaystyle k = 3}

{±3,±11}=3{±7,±9}{\ displaystyle \ {\ pm 3, \ pm 11 \} = _ {3} \ {\ pm 7, \ pm 9 \}}

• k=4{\ displaystyle k = 4}

{-8,-7,1,5,9}=4{8,7,-1,-5,-9}{\ displaystyle \ {- 8, -7,1,5,9 \} = _ {4} \ {8,7, -1, -5, -9 \}}

• k=5{\ displaystyle k = 5}

{±4,±9,±13}=5{±1,±11,±12}{\ displaystyle \ {\ pm 4, \ pm 9, \ pm 13 \} = _ {5} \ {\ pm 1, \ pm 11, \ pm 12 \}}

• k=6{\ displaystyle k = 6}

{-51,-33,-24,7,13,38,50}=6{51,33,24,-7,-13,-38,-50}{\ displaystyle \ {- 51, -33, -24,7,13,38,50 \} = _ {6} \ {51,33,24, -7, -13, -38, -50 \}}

• k=7{\ displaystyle k = 7}

{±2,±16,±21,±25}=7{±5,±14,±23,±24}{\ displaystyle \ {\ pm 2, \ pm 16, \ pm 21, \ pm 25 \} = _ {7} \ {\ pm 5, \ pm 14, \ pm 23, \ pm 24 \}}

• k=8{\ displaystyle k = 8}

{-98,-82,-58,-34,13,16,69,75,99}=8{98,82,58,34,-13,-16,-69,-75,-99}{\ displaystyle \ {- 98, -82, -58, -34,13,16,69,75,99 \} = _ {8} \ {98,82,58,34, -13, -16, - 69, -75, -99 \}}

• k=9{\ displaystyle k = 9}

{±99,±100,±188,±301,±313}=9{±71,±131,±180,±307,±308}{\ displaystyle \ {\ pm 99, \ pm 100, \ pm 188, \ pm 301, \ pm 313 \} = _ {9} \ {\ pm 71, \ pm 131, \ pm 180, \ pm 307, \ pm 308 \}}

Esta última solução é dada, com outras, em Borwein et al. (2003) . Nenhuma solução ideal é conhecida . k=10{\ displaystyle k = 10}

Uma formulação algébrica

Existe uma maneira mais algébrica de formular o problema:

Proposta  -  As seguintes condições são equivalentes:

1. ∑eu=1nãonoeuj=∑eu=1nãobeuj,(j=1,...,k){\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {j} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} ^ {j}, \ quad (j = 1, \ ldots, k)}
2. deg⁡(∏eu=1não(x-noeu)-∏eu=1não(x-beu))≤não-(k+1){\ displaystyle \ deg \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} (x-a_ {i}) - \ prod _ {i = 1} ^ {n} (x-b_ {i}) \ direita) \ leq n- (k + 1)}
3. (x-1)k+1|∑eu=1nãoxnoeu-∑eu=1nãoxbeu.{\ displaystyle (x-1) ^ {k + 1} \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} x ^ {a_ {i}} - \ sum _ {i = 1} ^ {n} x ^ {b_ {i}} \ certo ..}

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado “  Prouhet - Tarry - Escott problem  ” ( ver a lista de autores ) .

Notas

1. Borwein (2002) , p.  85
2. Solução dada por Nuutti Kuosa, Jean-Charles Meyrignac e Chen Shuwen, em 1999, ver The Prouhet-Tarry-Escott problem .
3. ME Prouhet, Memória sobre algumas relações entre os poderes dos números , CR Acad. Sci. Paris, série I, vol. 33, 1851, pág.  225 .
4. (in) Leonard Eugene Dickson , História da Teoria dos Números  (en) [ edições detalhadas ], voar. 2, 1919, c. XXIV, pág.  705-716 .
5. Wright (1959)
6. Borwein e Ingalls (1944)
7. Borwein (2002)
8. Borwein, Lisonĕk e Percival 2003
9. (em) Michael Filaseta e Maria Markovich , "  Newton polygons and the Prouhet-Tarry-Escott problem  " , Journal of Number Theory , vol.  174, 2017, p.  384-400 ( DOI  10.1016 / j.jnt.2016.10.009 ).
10. Borwein (2002) e The Prouhet-Tarry-Escott problem .
11. Consulte Borwein e Ingalls (1944) para referências.

Referências

• (pt) Andreas Alpers e Robert Tijdeman , “  The bidimensional Prouhet-Tarry-Escott problem  ” , J. Number Theor. , vol.  123,2007, p.  403-412
• (pt) Peter Borwein , Computational Excursions in Analysis and Number Theory , New York / Berlin / Heidelberg, Springer , coll.  "CMS Books in Mathematics",2002, 220  p. ( ISBN  0-387-95444-9 , leia online )O capítulo 11: O problema Prouhet - Tarry - Escott (páginas 85-96) é dedicado ao problema.
• (pt) Peter Borwein e Colin Ingalls , “  The Prouhet-Tarry-Escott problem revisited  ” , Teacher. Matemática. , vol.  40, n osso  1-2,1994, p.  3-27 ( ler online )
• (pt) Peter Borwein , Petr Lisonĕk e Colin Percival , “  Investigações computacionais do problema de Prouhet-Tarry-Escott  ” , Matemática. Comp. , vol.  72, n o  244,2003, p.  2063-2070 ( ler online )
• (de) Albert Gloden  (lb) , Mehrgradige Gleichungen: Mit einem Vorwort von Maurice Kraitchik , Groningen, P. Noordhoff,1944( Avaliações de matemática  0019638 )
• GH Hardy e EM Wright ( traduzido  do inglês por F. Sauvageot), Introdução à teoria dos números ["  Uma introdução à teoria dos números  "], Paris e Heidelberg, Vuibert e Springer,2007A seção 20.5 “O Teorema dos Quatro Quadrados” trata desse tópico. Seções 21.9 “O problema de Prouhet e Tarry: o número  ” e 21.10, p. 423-427, são dedicados ao problema de Prouhet-Tarry.P(k,j){\ displaystyle P (k, j)}
• (pt) Edward M. Wright , "  Prouhet's 1851 solution of the Tarry-Escott problem of 1910  " , Amer. Matemática. Mensalmente , vol.  66,Março de 1959, p.  199-201

Veja também

Artigos relacionados

• Suite Prouhet-Thue-Morse
• Conjectura de Euler
• Teorema Erdős-Suranyi

links externos

• (pt) Chen Shuwen, The Prouhet-Tarry-Escott problem
• (en) Eric W. Weisstein , “  Prouhet-Tarry-Escott problem  ” , no MathWorld

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