Função aleatória intrínseca

Uma função aleatória de ordem intrínseca k (abreviada como FAI k ) é uma classe de equivalência de funções aleatórias em certas condições.

Esta propriedade estende aquela da função aleatória intrínseca. Uma função aleatória intrínseca estrita é uma representação de FAI- 0 .

As seguintes notações serão usadas no seguinte:

• Z uma função aleatória, definida em um suporte limitado
• λ uma medida, ou seja, um sistema de pesos λ i associados aos pontos x i do espaço.
• Z̃ o FAI- k do qual Z é uma representação
• τ h a tradução de acordo com um vetor h

Combinações lineares permitidas

Uma combinação linear é dita autorizada (CLA) se admite uma variação e, além disso, é estacionária de ordem 2 . Podemos mostrar que isso implica que, para uma família completa f l de polinômios exponenciais (de combinações lineares de produtos de polinômios e exponenciais de formas lineares nas coordenadas). ∑euλeufeueu=0{\ displaystyle \ sum _ {i} \ lambda _ {i} f_ {l_ {i}} = 0}

Na prática, esta família será considerada como a família completa de monômios de grau menor que um certo k , e então falaremos de combinações lineares autorizadas de ordem k (CLA- k ). Denotamos por Λ k o conjunto de CLA- k .

Funções aleatórias intrínsecas (de ordem 0)

definição  -  Uma função aleatória é intrinsecamente estacionária ou intrínseca se seus aumentos forem estacionários de segunda ordem , ou seja, se:

• seus aumentos são de expectativa zero: E [ Z ( x + h ) - Z ( x )] = 0
• seus aumentos são de variação dependendo apenas da distância h entre os pontos:1/2Var [ Z ( x + h ) - Z ( x )] =1/2E [( Z ( x + h ) - Z ( x )) 2 ] = γ ( h )

Assim, apresentamos o variograma γ , anteriormente denominado função de dispersão intrínseca . As únicas combinações lineares permitidas são combinações em que a soma dos pesos é zero: ∑ i  λ i = 0 .

Funções aleatórias intrínsecas de ordem k

definição  -  Seja Z uma função aleatória não estacionária e um FAI- k Z̃ . As três declarações a seguir são equivalentes:

• Z é a representação de Z̃ ;
• para qualquer medição autorizada λ ∈Λ k , a combinação linear é estacionária de ordem 2 em h ;∑euλeuZ(xeu+h){\ displaystyle \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z (x_ {i} + h)}
• a qualquer medida do permitido editar Capítulo ∈Λ k , .Z~(λ)=∫λ(dx)Z(x){\ displaystyle {\ tilde {Z}} (\ lambda) {=} \ int \ lambda (\ mathrm {d} x) Z (x)}

Equivalentemente, um FAI- k é um mapa linear Z̃ de um espaço Λ k de CLA- k em um espaço de Hilbert de variáveis ​​aleatórias de expectativa zero, com Z̃ (τ h λ ) estacionário em h .

Podemos assumir na definição que a expectativa de um CLA- k é zero, mesmo que signifique ir para a ordem k +1 .

Chamamos uma derivada de FAI- k o polinômio homogêneo de grau k +1 da projeção de qualquer representação no espaço de invariantes por translação . Qualquer FAI- k é um FAI- ( k +1) sem deriva.

Teorema da representação  -  Qualquer FAI- k admite representações. Seja Z uma representação, as representações têm exatamente a forma em que A l são quaisquer variáveis ​​aleatórias, f l são monômios de grau no máximo k . Z(x)+∑euNOeufeu(x){\ displaystyle Z (x) + \ sum _ {l} A_ {l} f_ {l} (x)}

Na geoestatística intrínseca , uma variável regionalizada será considerada como a realização de uma representação de um FAI- k . Uma característica intrínseca será qualquer parâmetro do modelo probabilístico dependente do FAI- k e não da variável regionalizada. Por exemplo, a deriva não é intrínseca.

Covariância generalizada

Seja n a dimensão do espaço ℝ n de definição da variável regionalizada estudada.

Uma função K definida em ℝ n é uma covariância generalizada para o FAI- k Z̃ se:

• ∀λ∈Λk,Vnor[Z~(λ)]=∬λ(dx)K(x-y)λ(dy){\ displaystyle \ forall \ lambda \ in \ Lambda _ {k}, \ mathrm {Var} [{\ tilde {Z}} (\ lambda)] {=} \ iint \ lambda (\ mathrm {d} x) K (xy) \ lambda (\ mathrm {d} y)}
• K(h)=K(-h){\ displaystyle K (h) {=} K (-h)}

Teorema fundamental da geoestatística intrínseca  - 

• Qualquer FAI- k admite pelo menos uma covariância generalizada.
• A classe de suas covariâncias generalizadas é obtida adicionando a qualquer um dos polinômios pares de grau no máximo 2 k

Nesse caso :

∀λ,µ∈Λk,VSov[Z~(λ),Z~(µ)]=∬λ(dx)K(x-y)µ(dy){\ displaystyle \ forall \ lambda, \ mu \ in \ Lambda _ {k}, \ mathrm {Cov} \ left [{\ tilde {Z}} (\ lambda), {\ tilde {Z}} (\ mu) \ right] = \ iint \ lambda (\ mathrm {d} x) K (xy) \ mu (\ mathrm {d} y)}

e no caso sem deriva:

∀λ,µ∈Λk,E[Z~(λ)Z~(µ)]=∬λ(dx)K(x-y)µ(dy){\ displaystyle \ forall \ lambda, \ mu \ in \ Lambda _ {k}, \ mathbb {E} \ left [{\ tilde {Z}} (\ lambda) {\ tilde {Z}} (\ mu) \ direita] = \ iint \ lambda (\ mathrm {d} x) K (xy) \ mu (\ mathrm {d} y)}

Além disso , e . K(h)=h→+∞O(|h|2k+2){\ displaystyle K (h) {\ underset {h \ rightarrow + \ infty} {=}} O \ left (\ left | h \ right | ^ {2k + 2} \ right)}Z~ est snonãos de´reuve sseu limh→∞K(h)|h|2k+2=0{\ displaystyle {\ tilde {Z}} \ mathrm {~ est ~ sans ~ d {\ agudo {e}} rive ~ ssi ~} \ lim _ {h \ to \ infty} {\ frac {K (h)} {\ left | h \ right | ^ {2k + 2}}} = 0}

Função de tipo positivo condicional

Uma função simétrica K é dita ser do tipo positivo condicional em Λ se:

∀λ∈Λ,∬λ(dx)K(x-y)λ(dy)≥0{\ displaystyle \ forall \ lambda \ in \ Lambda, \ iint \ lambda \ left (\ mathrm {d} x \ right) K (xy) \ lambda \ left (\ mathrm {d} y \ right) \ geq 0}

Qualquer covariância generalizada de um FAI- k é de tipo positivo condicional em Λ k e vice- versa.

Diz-se que uma função simétrica K é do tipo positivo condicional estrito em Λ se, além disso:

∀λ∈Λ,∬λ(dx)K(x-y)λ(dy)=0⇒λ=0{\ displaystyle \ forall \ lambda \ in \ Lambda, \ iint \ lambda \ left (\ mathrm {d} x \ right) K (xy) \ lambda \ left (\ mathrm {d} y \ right) = 0 \ Rightarrow \ lambda = 0}

Mesmo polinômios de grau no máximo 2 k são as únicas funções contínuas simétricas K para as quais

∀λ∈Λ,∬λ(dx)K(x-y)λ(dy)=0{\ displaystyle \ forall \ lambda \ in \ Lambda, \ iint \ lambda \ left (\ mathrm {d} x \ right) K (xy) \ lambda \ left (\ mathrm {d} y \ right) = 0} <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">