Quadratura (matemática)
Em matemática , a quadratura de uma superfície é a busca por um quadrado com a mesma área da superfície em questão. Se na linguagem cotidiana o termo quadratura assume o significado de operação impossível, isso vem do fato de que a quadratura mais famosa (a quadratura do círculo ) acaba sendo impossível de ser alcançada com uma régua e um compasso . Mas, em matemática, o termo quadratura tomará muito rapidamente a direção do cálculo da área. Até o final do XVII ° século, o cálculo é desconhecida e estas áreas de cálculos pode ser feito por meio de cálculos aproximados por métodos de aplicação, tais como método da exaustão de Arquimedes , o indivisível método de Cavalieri ...
A pesquisa dessas quadraturas deu um salto prodigioso (1669-1704) graças a Leibniz e Newton que, com o cálculo infinitesimal , fizeram a ligação entre quadratura e derivada .
Desde então, a busca por quadraturas tem sido associada à de primitivas: a área da superfície delimitada pelas linhas da equação e , o eixo ( Ox ) e a curva da equação , onde está uma função positiva ; a unidade de área é dada pela área do retângulo unitário OINJ onde I é o ponto das coordenadas (1, 0) e J o das coordenadas (0, 1).
Quadraturas famosas
Quadrando o círculo
É um problema de mais de 2.000 anos, colocado pela escola pitagórica : podemos desenhar com uma régua e um compasso um quadrado com a mesma área de um determinado círculo? A resposta a essa pergunta virá apenas mais de 19 séculos depois, graças a Pierre-Laurent Wantzel , Joseph Liouville e Ferdinand von Lindemann : a resposta é não. O cálculo da área de um disco de raio r é, entretanto, viável: é π r 2 . Porém, o quadrado que deveria ser construído teria o lado r √ π , uma construção impossível com uma regra e um compasso porque π não é um número algébrico .
Quadrando a parábola
A parábola não é uma superfície. O quadrado da parábola consiste em determinar a área da superfície entre uma corda e uma porção da parábola.
Foi resolvido por Arquimedes (287-212 aC ). Este é o primeiro exemplo de cálculo de área pelo método da exaustão (o erro cometido diminui em mais de 50% a cada etapa). O resultado é conhecido hoje em dia com muita facilidade graças ao cálculo do primitivo:
A área sob a curva da equação entre os pontos e é . A área sob a string correspondente é . A área delimitada por esta mesma parábola e o acorde é . Se e forem opostos, então a área delimitada pela parábola e o acorde são . Essa fórmula se generaliza para qualquer parábola de equação , o devir da área .
Quadraturas de funções de kx m
Eles dizem respeito ao cálculo da área da superfície entre o eixo x , a curva e a linha da equação x = a (para m > 0), ou a área da superfície entre o eixo des x , o curva, e localizado à direita da linha da equação x = a (para m ≤ –2).
Eles são desenvolvidos por Fermat para qualquer número inteiro relativo diferente de –1, bem como para qualquer m racional positivo. Ele mostra que essa área é sempre igual a .
Quadrando o ciclóide
A ciclóide é uma curva particularmente estudada por Galileu (1599). Muitos matemáticos procuraram calcular a área sob um arco ciclóide. O próprio Galileu tentou uma resolução experimental cortando um ciclóide e pesando-o. A quadratura da ciclóide é resolvida quase simultaneamente por Roberval (1634) e Torricelli, que demonstram que a área sob um arco é igual a 3 vezes a área do círculo que gera a ciclóide.
Quadratura da hipérbole y = 1 / x
É a área entre a curva, o eixo x e as linhas das equações x = a e x = 1.
Foi descoberto por Grégoire de Saint-Vincent (1647) que demonstrou a propriedade L ( ab ) = L ( a ) + L ( b ) se chamarmos L ( a ) a área entre 1 e a , classificando esta área na família de funções de logaritmo . Esta é, por definição, a função de logaritmo natural .