Na matemática , e mais precisamente na geometria plana , o problema da quadratura do círculo de Tarski , colocado por Alfred Tarski em 1925, consiste em determinar se é possível cortar um disco do plano em um número finito de pedaços e remontá-los .para obter um quadrado de área igual.
É impossível realizar tal dissecção formada por pedaços que poderiam ser cortados com tesoura (ideal), ou seja, cuja borda seria uma curva de Jordan : foi mostrado em 1963 que um disco não poderia ser transformado em nenhum outro convexo. superfície cortando com uma tesoura.
Em 1990, Miklós Laczkovich mostrou que era possível se essas peças não fossem mensuráveis ; a decomposição usa o axioma da escolha e, portanto, não é construtiva; além disso, a decomposição de Laczkovich requer cerca de 10 50 conjuntos distintos.
Laczkovich mostrou, por outro lado, que a recomposição pode ser feita apenas com traduções; as rotações das peças não são necessárias. De passagem, ele também mostrou que qualquer polígono no plano pode ser decomposto da mesma maneira em partes que podem ser reorganizadas apenas por translações para formar um quadrado com a mesma área. O teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien é um resultado análogo muito mais simples, afirmando que essa dissecção pode ser realizada com peças de formato poligonal, desde que também se permita a rotação das peças durante a recomposição.
Resulta do trabalho de T. Wilson ( Wilson 2005 ) que é até possível escolher as partes para que não se encontrem durante essas traduções, consideradas como movimentos contínuos.
Esses resultados devem ser comparados às decomposições muito mais paradoxais fornecidas no espaço pelo paradoxo de Banach-Tarski : o último pode até mesmo modificar o volume do conjunto inicial. Tais decomposições são impossíveis no plano, devido à existência em R 2 de uma medida de Banach (in) , ou seja, de uma função simplesmente aditiva e invariante por translação, definida sobre todos os subconjuntos.