Primeiro quádruplo

Na teoria dos números , um quádruplo primo é uma sequência de quatro números primos consecutivos da forma ( p , p +2, p +6, p +8). Essa é a única forma possível para quatro números primos consecutivos de diferenças mínimas entre eles, além dos quádruplos (2,3,5,7) e (3,5,7,11). Por exemplo, (5, 7, 11, 13) e (11, 13, 17, 19) são quádruplos primos.

Quádruplo de números primos separados por desvios mínimos constantes

Um quádruplo de primos ímpares consecutivos tem uma diferença entre o menor e o maior desses números de pelo menos 6, IL não pode ser 6 porque o único tripleto de primos consecutivos da forma ( p , p +2, p +4) é ( 3, 5, 7) (ver tripleto principal ). Essa diferença é, portanto, pelo menos 8. Se for 8, está escrito ( p , p +2, p +4, p +8), e sempre pelo mesmo motivo, é necessariamente (3, 5, 7, 11 ), ou está escrito ( p , p +2, p +6, p +8).

Na verdade, não pode ser escrito ( p , p +4, p +6, p +8), porque teríamos ( p +4, p +6, p +8) = (3, 5, 7).

A única forma possível para quádruplos de números primos consecutivos com uma diferença mínima de 8 entre o primeiro e o último, e para a qual não há razão óbvia de que haja um número finito de quádruplos desta forma é ( p , p +2, p +6, p +8), e são esses quádruplos que chamamos de quádruplos primos. Um quádruplo primo é uma constelação de quatro números primos.

Os quádruplos primos são compostos de dois pares de primos gêmeos , ( p , p +2) e ( p +6, p +8).

Propriedades características

O menor quádruplo principal é (5, 7, 11, 13). Os seguintes quádruplos primos são todos da forma (30 n +11, 30 n +13, 30 n +17, 30 n +19), onde n é um número natural. Esses quatro números têm como centro de simetria 30 n + 15, múltiplo ímpar de 15.

Lista dos quádruplos principais

Os quádruplos principais até 100.000 são:

de 0 a 100, 2 ocorrências: (5, 7, 11, 13); ( 11 , 13 , 17 , 19 );
de 101 a 250, 2 ocorrências: ( 101 , 103 , 107 , 109 ); (191, 193, 197, 199);
de 251 a 500, 0 ocorrências;
de 501 a 1000, 1 ocorrência: (821, 823, 827, 829);
de 1.001 a 2.000, 2 ocorrências: (1.481, 1.483, 1.487, 1.489); (1.871, 1.873, 1.877, 1.879);
de 2001 a 5000, 3 ocorrências: (2.081, 2.083, 2.087, 2.089); (3.251, 3.253, 3.257, 3.259); (3.461, 3.463, 3.467, 3.469);
de 5.001 a 10.000, 2 ocorrências: (5.651, 5.653, 5.657, 5.659); (9.431, 9.433, 9.437, 9.439);
de 10.001 a 25.000, 9 ocorrências: (13 001, 13 003, 13 007, 13 009); (15641, 15643, 15647, 15649); (15.731, 15.733, 15.737, 15.739); (16.061, 16.063, 16.067, 16.069); (18.041, 18.043, 18.047, 18.049); (18 911, 18 913, 18 917, 18 919); (19.421, 19.423, 19.427, 19.429); (21011, 21013, 21017, 21019); (22271, 22273, 22277, 22279);
de 25.001 a 50.000, 4 ocorrências: (25 301, 25 303, 25 307, 25 309); (31.721, 31.723, 31.727, 31.729); (34.841, 34.843, 34.847, 34.849); (43.781, 43.783, 43.787, 43.789);
de 50.001 a 75.000, 6 ocorrências: (51 341, 51 343, 51 347, 51 349); (55.331, 55.333, 55.337, 55.339); (62.981, 62.983, 62.987, 62.989); (67.211, 67.213, 67.217, 67.219); (69.491, 69.493, 69.497, 69.499); (72 221, 72 223, 72 227, 72 229);
de 75.001 a 100.000, 7 ocorrências: (77.261, 77.263, 77.267, 77.269); (79.691, 79.693, 79.697, 79.699); (81 041, 81 043, 81 047, 81 049); (82 721, 82 723, 82 727, 82 729); (88 811, 88 813, 88 817, 88 819); (97 841, 97 843, 97 487, 97 489); (99131, 99133, 99137, 99139).

Constante marrom

A constante de Brun , denotada B 4 para esses quádruplos de números primos , é a soma dos inversos de todos os números primos desses quádruplos:

{\ displaystyle B_ {4} = \ left ({\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {13}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {13}} + {\ frac {1} {17}} + {\ frac {1} {19}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {101}} + {\ frac {1} {103}} + {\ frac {1} {107}} + {\ frac {1} {109}} \ right) + \ cdots}

O valor aproximado desta constante é:

B 4 = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005.

Enumeração de quádruplos principais

Não se sabe se existe um número infinito desses quádruplos de números primos .

Provar a conjectura dos primos gêmeos não é suficiente para mostrar que também existe uma infinidade de quádruplos de números primos .

Determinação de quádruplos primos

Usando o Mathematica , podemos encontrar os múltiplos de 15 que centralizam esses quádruplos de números primos , executando os seguintes comandos (podemos substituir outro inteiro por 10.000 na função Range [] , se desejar):

Select[Range[10000], PrimeQ[# * 15 - 4] && PrimeQ[# * 15 - 2] && PrimeQ[# * 15 + 2] && PrimeQ[# * 15 + 4] &] % * 15

Registros de tamanho para quádruplos principais

Um dos maiores quádruplos primos conhecidos está centrado em torno de: 10 699 + 547 634 621 255 .

Em abril de 2012 , o maior quádruplo primo conhecido tinha 3.024 dígitos (base 10). Foi encontrado por Peter Kaiser e começa com: p = 43 697 976 428 649 × 2 9 999-1 .

Menor distância entre dois quádruplos

A menor distância possível entre dois quádruplos primos ( p , p +2, p +6, p +8) e ( P , P +2, P +6, P +8) é P - p = 30 (nós o verificamos para exemplo estudando as unidades do anel Z / 30Z ). As três primeiras ocorrências de tais pares de quádruplos estão em p = 1.006.301, p = 2.594.951 e p = 3.919.211.

Curiosidade arqueológica

Acredita-se que os números primos 11, 13, 17 e 19 que formam o número primo quádruplo (11, 13, 17, 19) apareçam em um osso de Ishango , de acordo com o geólogo Jean de Heinzelin e o jornalista científico Alexander Marshack; esta tese é, entretanto, contestada pelo historiador da matemática Olivier Keller.

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Prime quadruplet " ( veja a lista de autores ) .

( ) Tony Forbes. anthony.d.forbes.googlepages.com k-tuplets premium . Página visitada em 05-04-2012.
Olivier Keller, " Pré-história da geometria: o problema das fontes " , sobre IREM da Reunião . Ver também “As fábulas de Ishango, ou a tentação irresistível da ficção matemática” , agosto de 2010, análise de O. Keller em Bibnum .

Veja também

links externos

Suite A007530 de OEIS , topo da lista dos primeiros termos dos primeiros quádruplos ( p tal que ( p , p 2, p 6, p 8) é um primeiro quádruplo);
OEIS suite A136162 , início da lista dos quádruplos primos;
OEIS suite A014561 , lista de números naturais n , tal que (30 n + 11, 30 n +13, 30 n +17, 30 n +19) é um quádruplo primo.